1、FFT 结果的物理意义原创FFT 结果的物理意义FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说 FFT 结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率
2、的两倍，这些我就不在此罗嗦了。采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经过 FFT 之后，就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT运算，通常 N 取 2 的整数次方。假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。那么 FFT之后结果就是一个为 N 点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A的 N/2 倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率
3、下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即 0Hz） ，而最后一个点 N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第 N+1 个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率 Fs，这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率依次增加。例如某点 n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到频率为为 Fs/N，如果采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024 点，则可以分辨到 1Hz。1024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就是说，采样 1 秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到
4、1Hz，如果采样 2 秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设 FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是An=根号 a*a+b*b，相位就是 Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出 n 点（n1，且 n=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于 n=1 点的信号，是直流分量，幅度即为 A1/N。由于 FFT 结果的对称性，通常我们只使用前半部分
5、的结果，即小于采样频率一半的结果。好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有 2V 的直流分量，频率为 50Hz、相位为-30 度、幅度为 3V 的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为 90 度、幅度为 1.5V 的交流信号。用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中 cos 参数为弧度，所以-30 度和 90 度要分别换算成弧度。我们以 256Hz 的采样率对这个信号进行采样，总共采样 256 点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*F
6、s/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是 1Hz，第 n 个点的频率就是 n-1。我们的信号有 3 个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第 1 个点、第 51 个点、第 76 个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何呢？我们来看看 FFT 的结果的模值如图所示。图 1 FFT 结果从图中我们可以看到，在第 1 点、第 51 点、和第 76 点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：1 点： 512+0i2 点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3 点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 点：-6.2076E-1
7、3 - 2.1713E-12i51 点：332.55 - 192i52 点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i76 点：3.4315E-12 + 192i77 点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明显，1 点、51 点、76 点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是 0，即在那些频率点上的信号幅度为 0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：1 点： 51251 点：38476 点：192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz 信号的幅度
8、为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz 信号的幅度为 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算 50Hz 信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算 75Hz 信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708 弧度，换算成角度就是 180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据 FFT 结果以及上面的分析计算，我
9、们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。总结：假设采样频率为 Fs，采样点数为 N，做 FFT 之后，某一点 n（n 从 1 开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以 N/2 就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N） ；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数 atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi 到 pi。要精确到 xHz，则需要采样长度为 1/x 秒的信号，并做 FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决
10、这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的 0，使其长度达到需要的点数，再做 FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。附录：本测试数据使用的 matlab 程序close all; %先关闭所有图片Adc=2; %直流分量幅度A1=3; %频率 F1 信号的幅度A2=1.5; %频率 F2 信号的幅度F1=50; %信号 1 频率(Hz)F2=75; %信号 2 频率(Hz)Fs=256; %采样频率(Hz)P1=-30; %信号 1 相位(度)P2=90; %信号相位(度)N=256; %采样点数t=0:1/F
11、s:N/Fs; %采样时刻%信号S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);%显示原始信号plot(S);title(原始信号);figure;Y = fft(S,N); %做 FFT 变换Ayy = (abs(Y); %取模plot(Ayy(1:N); %显示原始的 FFT 模值结果title(FFT 模值);figure;Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度Ayy(1)=Ayy(1)/2;F=(1:N-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2); %显示换算后的 FFT 模值结果title(幅度-频率曲线图);figure;Pyy=1:N/2;for i=“1:N/2“Pyy(i)=phase(Y(i); %计算相位Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度end;plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2); %显示相位图title(相位-频率曲线图);系统分类: 测试测量 | 用户分类: 测试测量 | 来源: 原创 | 【推荐给朋友】
