1、可以培养、测试学生创新能力的可以培养、测试学生创新能力的八类数学问题如何培养、测试学生的创新能力，是当前学科教育的一个热门话题。数学教学离不开例题、习题、考试题，所以数学问题教学是培养、考查学生创新能力的重要途径。那么，什么样的数学问题才有利于培养、测试学生创新能力？ 本文例谈如下：一、归纳型问题。这类问题，主要是让学生用归纳的方法通过观察、实验、探究进行发现，实现从模仿到创造（有关新结果）的过程。例 1 右边三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有 n（n1）盆花，每个图案花盆总数为 S，按此规律推断，S 与 n 的关系式是 。 呼和浩特市 2002 年中考题例 1 要求
2、学生用归纳的方法从具体的特例中探索规律，并将这一规律用数学语言表示，以考查学生有条理的思考能力、数学语言的表达能力和创新能力。发现是创新的前提，只要学生经历了探求规律的过程，创新能力就得以培养；只要学生找到了这一规律，创新的过程就得以完成。二、猜想型问题。这类问题，就是让学生通过观察、类比、归纳，大胆地猜想问题的结论、或解决问题的策略与方法。猜想既是数学发现的重要途径，也是解决问题的主要方法。例 2 阅读下列材料：关于 x 的方程：x+= c+的解是 x1= c,x2= ;x-= c-(即 x+= c+)的解是 x1= c,x2=-;x+= c+的解是 x1= c,x2= ;x+= c+的解是
3、 x1= c,x2= ;（1）观察上述方程与解的特征，比较关于 x 的方程 x+= c+(m0)与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解“的概念进行验证。（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可直接得解。请用这个结论解 x 的方程：x+= a+. 2002 年山西中考题例 2 说明：猜想并不是不顾事实的胡思乱想，它有一定的事实根据，又不受现成事实的束缚。一般来说，知识容量越大，猜想的领域也就越广，因而产生新思想、新方法的机会也就越多。所以，培养学生的数学猜想能
4、力，必须让学生掌握坚实的基础知识；否则，就成无源之水，无本之木。三、探究性问题。这类问题，是指题目的结论不确定，需要学生作出判断或肯定的假设，并给出理由。例 3 一辆卡车高 3 米、宽 2 米。要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道，这辆卡车能通过这个隧道吗？说明你的理由。学生解答这一问题，需要先将其抽象为平面几何问题、或解析几何问题，再进行分析、判断，并通过计算提供论据，支持自己的判断。四、开放性问题。这类问题，常常题目条件不足、或结论不唯一、或思维方法与解题途径多种多样。例 4 某初一学生做作业时，不慎打翻了墨水瓶，使一作业题只能看到如下字样：“甲乙两地相距 400 千米，摩托车速度为
5、45 千米/时，运货车速度为 35 千米/时“。请按自己的理解将此题补充完整并解答。解：这是一个条件与结论都开放的问题，可以给出如下两种答案：（1）相遇问题：补充条件“两车从两地出发相向而行，两车何时相遇？“设两车经过 t 小时后相遇，则 45t+35t=400.解得 t=5 小时。 （2）追及问题：补充条件“运货车从甲地出发 10 分钟后，检查人员从甲地骑摩托车追赶，问能否在运货车到达乙地之前追上送货车？“设运货车经过 t 小时后到达乙地，则 35（1/6+t）=400,得t=473/42 小时。因为 473/4245400,所以检查人员从甲地骑摩托车追赶，能在运货车到达乙地之前追上送货车。
6、五、方案设计型问题。这类问题，常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案；或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣。例 5 如图，A、B 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B 楼不能到达。由于建筑物密集，在 A 的周围没有开阔地带，为了测量 B 的高度只能充分利用 A 楼的空间，A 的各层楼都可达到且能看见 B。现仅有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可以测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线之间的夹角。（1）请你设计一个测量 B 楼高度的方法：要求写出测量的步骤和必须的测量数据（用字母表示） ，并画出测量图形；（2）用你测量的数据（用字母表示） ，写出计算 B 楼高度的表
7、达式。 2002 年重庆中考题六、提出问题型。这类问题，主要是让学生由给定的范围、条件和要求，编拟一个数学问题、或将实际问题抽象为数学问题。例 6 请根据所给方程 - =2，联系实际，编写一道应用题。（要求：题目完整，题意清楚，不要求解方程）例 7 近年来，随着城乡经济的迅速发展，不少大型商场不断涌现.那么，商场的受欢迎程度与什么因素有关？它的吸引力有多大? 解：商场占地面积愈大，可供选购的品种就愈多，投资者也会投入更多的资金去宣传以吸引顾客光顾；因此，商场占地面积可视为商场的受欢迎程度的重要因素。另一方面，所谓“近水楼台先得月“，距离居民区近的商场无疑具“地利“的条件；所以，商场与民居之间的
8、距离也是商场的受欢迎程度的重要因素。如果不考虑主观心理因素的影响，那么我们可以尝试建立一个函数来表示商场的受欢迎程度。设 S每季度的平均购物次数（它的大小反映了商场的受欢迎程度） ，A商场的占地面积,d居民区与商场之间的距离，则由以上讨论知 S 与 A 成正比、与 d 成反比(S0，d0).所以 S （k 为常数）.七、课题研究与小论文写作。课题研究与小论文写作，最大限度地给学生提供了或动手实践、或自主探索、或合作交流的机会；从而，使学生的自主性得到最充分地发挥，使学生的各种潜能得到最好地展示，使学生的协作意识和团队精神得到培养。最终，使学生在知识与技能、能力与方法、情感、态度、价值观方面都得
9、到发展。例 8 请给你家所在的居民小区设计一个保安巡逻路线，使保安巡逻时既能看到每栋家属楼的楼道入口，又用的时间较短。例 9 请调查你所在居民小区职工或村庄农民近年来家庭收入的情况，并写一篇有关这方面的小论文。八、阅读材料。阅读材料既可以拓展学生的知识面与深度，增加学习兴趣，又可以使学生在陌生领域施展才华，学会用数学的眼光看待社会、人生、世界，使批判性思维能力、创新能力得到充分地发挥。例 10 阅读下面的材料，完成后边的问题。文汇报2001 年 1 月 13 日报道： 曾辅佐“飞人“乔丹开创了公牛王朝的皮大将军-皮蓬，改换门庭转投开拓者后，仍继续着自己的开拓和进取近来，皮蓬平均每场有 16 分
10、进账，枪下 5.7 个篮板球，并助攻 53 次NBA 官方杂志篮圈根据每位球员在 7 项技术统计上的成绩进行了总排名，据最新公布的资料显示，皮蓬是整个九十年代最全面的球员。虽然无人在出场次数、得分、篮板、助攻、抢断、盖帽及上场时间上全部进入前 25 名，但有一位球员在其中的 6 项中进入了前 25 名，此人就是皮蓬，他的 7 项技术统计分别为：出场第 21 位(732 场)，得分第十位(13.937 分)，蓝板球第 21 位(5226 次)，助攻第 10 位(4330 次)，抢断第 4 位(1608 次)，上场时间第 3 位(27752 分钟)，仅盖帽一项榜上无名反观“飞人“乔丹的大名，仅出现
11、在得分(17102 分，列第 2)、抢断(1277 次，列第 6)两项上根据上面报道中提供的数据，你如何评价乔丹与皮蓬的技术水平?（1）分析与解答： 报道中似乎在为皮蓬鸣不平，认为皮蓬不比乔丹逊色但作为读者，我们应当正确分析所提供的信息，按照自己的判断得出合理的结论。思路一：打篮球最重要的是能够得分，以此为依据，可以看出乔丹的技术水平好.思路二：得分和助攻在打篮球中都很重要，助攻一次如果与得1 分相当；把助攻转化为得分，则皮蓬得 18267 分，乔丹助攻次数没有给出，但可以肯定在 25 名之后，两项加起来，应当不会超出18267 分很多；我们推断两者水平相当.思路三：以 7 项进入前 25 名
12、的项数做为标准，则皮蓬优于乔丹，不过 7 项简单相加是不太符合实际的.思路四：皮蓬辅佐乔丹，乔丹的进球应有皮蓬的功劳，而皮的个人技术也是很强的，近来的表现就是证明，这样看来，皮蓬的技术水平不比乔丹逊色.所以，学习了统计知识后，对于报刊杂志上出现的一些图表数据，应当从中获得有用的信息，对事物作出自己的判断，不能人云亦云总之，为了培养学生的创新能力，科学地测试学生的创新能力，教师必须具有学习意识、研究意识、创新意识与创新能力。在教学与考试中，不要只追求题目的“新“，关键是要给学生营造发挥创新能力的时间与空间，引导学生经历创造、发现的过程，亲身体验成功的乐趣，以激发学生的创新欲望，真正培养学生的创新能力。（甘肃省教科所 王志亮）
