1、近代物理论文辽宁工业大学电气工程学院测控 073 班周培松070301079薛定谔方程建立前理论和实验上的准备摘要：薛 定 谔 方 程 是 量 子 力 学 的 基 本 方 程 ， 它 揭 示 了 微 观 物 理 世界 物 质 运 动 的 基 本 规 律 ， 薛定谔方程的建立有很多理论和实验上的准备。薛 定 谔 方 程 是 量 子 力 学 最 基 本 的 方 程 ， 亦 是 量 子 力 学 的 一个 基 本 假 定 ， 它 的 正 确 性 只 能 靠 实 验 来 检 验 。关键词：德布罗意物质波，波动方程，量子力学。德布罗意物质波理论提出以后,人们希望建立一种新的原子力学理论来描述微观客体的运动
2、.完成这一工作的是奥地利物理学家薛定谔.他在德布罗意物质波理论的基础上,以波动方程的形式建立了新的量子理论-波动力学.1925 年夏秋之际,薛定谔正在从事量子气体的研究.这时,正值爱因斯坦和玻色关于量子统计理论的著作发表不久.爱因斯坦在1924 年发表的一文,薛定谔表示不能理解,于是经常与爱因斯坦通信进行讨论.可以说,爱因斯坦是薛定谔直接的领路人,正是爱因斯坦的这篇文章,引导了薛定谔的研究方向.爱因斯坦曾大力推荐德布罗意的论文,所以薛定谔就设法找到了一份德布罗意的论文来读.在深入研究之后,薛定谔萌发了用新观点来研究原子结构的想法.他决心立即把物质波的思想推广到描述原子现象.另外,著名化学物理学
3、家德拜对薛定谔也有积极的影响.薛定谔曾在苏黎士工业大学的报告会上向与会者介绍德布罗意的工作,作为会议主持人的德拜教授问薛定谔:物质微粒既然是波,那有没有波动方程?没有波动方程!薛定谔明白这的确是个问题,也是一个机会,于是他立刻伸手抓住了这个机会,终于获得了成功.可见,能够长期坚持做好准备,一有机会就立即抓住,是获得成功的一个关键.薛定谔认为德布罗意的工作“没有从普遍性上加以说明“.因此他试图寻求一个更普遍的规律.同时,他看到矩阵力学采用了十分抽象的艰深的超越代数,因而缺乏直观性时,他决定探索新的途径.刚开始时,薛定谔试图建立一个相对论性的运动方程.他经过紧张地研究,克服了许多数学上的困难,从相
4、对论出发,终于在 1925 年得到了一个与在电磁场中运动的电子相联系的波的波动方程.但是他随即发现这个波动方程在计算氢原子的光谱时得出的结果却和实验值不符合,也不能得到氢原子谱线的精细结构.他当时十分沮丧,以为自己的路线错了.过了几个月,他才从沮丧情绪中恢复过来,重新回到这一工作中来.1926 年 1-6 月间,薛定谔连续发表四篇论文,以为总标题,系统地阐述了他的新理论.他发现只要略去与相对论有关的效应,改用非相对论性波动方程来处理电子,他的理论的计算结果就和实验完全符合.他从上世纪中叶哈密顿发现的经典力学与几何光学之间的数学相似性出发,进一步引申出了物质波与光波的相似性,从而提出了对应于波动
5、光学的波动方程.他在第一篇论文中引入波函数$psi$的概念,利用变分原理,得到不含时间的氢原子波动方程: abla2psi+frac2mhbar2(E+frace2r)psi=0 或 abla2psi+frac8pi2mh2(frace2r)psi=0这个方程今天称为薛定谔方程.薛定谔从这个方程得到的解正是氢原子的能级公式.这样量子化就成了薛定谔方程的必然结果,而不是象玻尔和索末菲那样需要人为地规定某些量子化条件.在随后的三篇论文中,薛定谔相继提出了一般的含时间的波动方程,定态微扰理论以及含时间的微扰理论.结果与海森堡的矩阵力学所得结果相同.同时,在研究过程中,薛定谔还证明了波动力学与矩阵力学
6、是等价的.同年六月,玻恩提出了波函数的统计解释.这一组论文奠定了非相对论量子力学的基础.薛定谔把自己的新理论称为波动力学.总括起来,薛定谔的思想是从以下四个方面的前提得出的:1.原子领域中电子的能量是分立的;2.在一定的边界条件下,波动方程的振动频率只能取一系列分裂的本征频率;3.哈密顿-雅可比方程不仅可用于描述粒子的运动,也可用于描述光波;4.最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二象性的思想.电子可以看成是一种波,其能量$E$和动量$p$可用德布罗意公式与波长$lambda$和频率$ u$联系在一起.波动力学形式简单明了,数学方法基本上是解偏微分方程,对大家都比较熟悉,也易于掌握.所以,人们
7、普遍欢迎这一新理论.值得注意的是,薛定谔在建立波动方程过程中,采用了类比的方法.他认为几何光学中的费马原理与经典力学中的哈密顿原理具有相似之处,而且几何光学又是波动力学的短波长极限.那么,经典力学是否可能是某种能描述物质波动性的“波动力学“的短波极限呢?于是薛定谔仿照 18 世纪数学家拉普拉斯提出的波动方程的具体形式,得出薛定谔方程.就象波动光学中的方程在短波极限下过渡为费马原理一样,薛定谔方程在短波极限下(经典极限)下就会过渡到哈密顿方程.因此,为对称起见,有人仿几何光学的名称,将经典力学称为“几何力学“,以与波动力学相对应.薛定谔方程是量子力学的基本方程,和经典力不学中的牛顿方程相当.薛定
8、谔用它不仅解决了氢原子光谱的一系列问题,还算出了谐振子和转子的能级,导出了塞曼效应,斯塔克效应,理论计算值与实验完全符合.爱因斯坦认为薛定谔的工作“证明了真正的创造性“.德布罗意 1929 年在诺贝尔领奖台说:“这门新的力学后来发展起来了,这主要归功于薛定谔的卓越研究.“但薛定谔却常常谦逊地说:建立波动力学是受到德布罗意的影响.并在给爱因斯坦的信中说:如果不是爱因斯坦的启发,如果不是德布罗意的独创性思想,波动力学不可能建立,可能永远不会建立.的确,前辈科学家的影响是十分重要的.如果没有爱因斯坦对薛定谔的引导,没有德拜的督促,没有德布罗意物质波思想的启发,薛定谔是很难做出如此贡献的.德布罗意引入
9、了和粒子相联系的波，那么对于波就应该有一个波动方程，在德拜的启发下，薛定谔经过几个月的努力向世人拿出了一个波动方程，这就是大家称为的薛定谔方程。薛定谔注意到德布罗意波的相速与群速的不同，相速 u=E/p，而在非相对论的情况下 p=(2mEk)1/2=(2m(EU) 1/2，E 为粒子的总能量，U=U(x,y,z)为粒子在给定的保守场中的势能，对于一个波，薛定谔假设其波函数 （x,y,z,t）通过一个振动因子expit=exp 2 it=exp2i(E/h) t和时间 t 有关，i 为虚部单位，于是有（x,y,z,t） （x,y,z）exp2iE t /h（x,y,z）可以是空间坐标的复数函数，在情况下波函数 形式为（x，t）= （x）exp2iE t /h将上式代入波动方程的一般形式d2/ dx2=1/u2 d2/ dt2即可得到h/2d2/ dx2U=E粒子的概率密度为|2 |(x)|2此概率密度与时间无关，所以 (x)称为粒子的定态波函数，决定这一波函数的微分方程就是定态薛定谔方程，这一方程是研究原子系统的定态的基本方程。
