1、中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 1中国人民大学附属中学高考冲刺卷数 学(理) 试 卷（七）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 ， ，且 ，则 等于0,1A,03BaABa（A） （B） （C） （D）232.已知 是虚数单位，则复数 所对应的点落在i 2zi+i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3.在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件4.已知
2、六棱锥 的底面是正六边形， 平面 .则下列结论不正确的是PEFPAB（A） 平面 （B） 平面 （C） 平面 （D） 平面/AF/PACFPA5.双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线离心率为21xyab22()1xy（A） （B） （C） （D）3 36.函数 的部分图象如图所示，设 是图象的最高点， 是图象与 轴的交点，sin()0 ,Bx则 tP（A） （B） （C） （D）1088747第 4 题图 第 6 题图7已知数列 的通项公式为 ，那么满足 的整数na13na11902kkaa k（A）有 3 个 （B）有 2 个 （C）有 1 个 （D）不存在8设点 ， ，如果直线 与线段 有
3、一个公共点，那么(1,0)(,)xbyABb（A）最小值为 （B）最小值为 （C）最大值为 （D）最大值为5555第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9在 ABC中，若 ， ，则 _.2A:13abA10.在 的展开式中， 的系数是_.521()xx11如图， 是圆 的直径， 在 的延长线上，OPBPD切圆 于点 .已知圆 半径为 ， ，则32OOA B PD CxA BPy O中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 2_； 的大小为_.PCAD12.在极坐标系中，点 关于直线 的对称点的一个极坐标为(2,):cos1l_
4、.13定义某种运算 ， 的运算原理如右图所示.ab设 .()0)()fxx则 _；2在区间 上的最小值为_.,14.数列 满足 ， ，其中 ，na11nnaR2， ，当 时， _；020若存在正整数 ，当 时总有 ，则 的取值范围是_.m0na三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知函数 .cos2()in)4xf（ ） 求 函 数 的 定 义 域 ；f（ ） 若 ， 求 的 值 .()3xsi2x16.（本小题满分 13 分）如图，已知菱形 的边长为 ， , .将菱形 沿对角线 折ABCD660BADCB
5、OABCD起，使 ，得到三棱锥 .32（）若点 是棱 的中点，求 证 : 平 面 ；M/OM（）求 二 面 角 的 余 弦 值 ；（）设点 是线段 上一个动点，试确定 点的位置，使得 ，并证明你的结论.NN42NMab开始输入 ,否结束SSa输出是中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 317.（本小题满分 13 分）甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手，乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动.（）求选出的 4 名选手均为男选手的概率.（）记 为选出的 4 名选手中女选手的人数，求 的分布列和期望.XX18
6、.（本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.()1)e(0)xafxe（）当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积；2yf(1,)f（）若函数 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 ，求 的值.f 5ea19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三2:1xyMab(0)23角形周长为 46（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，l,ABC求 面积的最大值ABC中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 420.（本小题满分 13 分）若 为集合 且 的
7、子集，且满足两个条件：mA,21 2(,1n )*N ；对任意的 ，至少存在一个 ，使 或 .yx, ,3,1mi ,xyAiy则称集合组 具有性质 .m21 P如图，作 行 列数表，定义数表中的第 行第 列的数为nkl.)(0lkl Aka（）当 时，判断下列两个集合组是否具有性质 ，如果4P是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1： ；23,3,4A集合组 2： .1,（）当 时，若集合组 具有性质 ，请先画出所对应的 行 3 列的一个数表，再依7n1, 7此表格分别写出集合 ；123,A（）当 时，集合组 是具有性质 且所含集合个数最小的集合组，求 的值及02,t Pt的最小
8、值.（其中 表示集合 所含元素的个数）12|tA |iAi1a12 ma12 2 1na2n nma中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 5中国人民大学附属中学高考冲刺卷数学(理)试卷（七）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C A D C B B A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 10. 11. ；30 1512. （或其它等价写法） 13. ； 14. ； .(2,)42620(,)k*N注：11、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本
9、大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分 13 分）解 ： （ ） 由 题 意 ， ， 2 分sin()04x所 以 ， 3 分4xkZ所 以 ， 4 分()函 数 的 定 义 域 为 . 5 分()fxx,4kZ（ ） 7 分cos2cos2in()iin4x8 分sicox. 10 分22(si)(cosin)nx因为 ， 所 以 . 11 分4)3fx2ci3x所以， 12 分2si21(os). 13 分8916.（本小题满分 13 分）（）证明：因为点 是菱形 的对角线的交点，OABCD所以 是 的中点.又点 是棱 的中点
10、，M所以 是 的中位线， . 1 分/因为 平 面 , 平 面 ,所 以 平 面 . 3 分/（）解：由题意， ，3中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 6因为 ，32BD所以 ， . 4 分90OBD又因为菱形 ，所以 ， .ACACO建立空间直角坐标系 ，如图所示.xyz.(3,)(,3)(,0)所以,0,3B6 分设平面 的法向量为 ，ADn()xyz则有 即：,00,3令 ，则 ，所以 . 7 分1x,yz(1,3)因为 ,所以 平面 . ACOBACBOD平面 的法向量与 平行，D所以平面 的法向量为 . 8 分0(,)n，0017cos,n因 为 二 面 角 是 锐
11、 角 ，AB所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 . 9 分DO7（）解：因为 是线段 上一个动点，设 ， ，N1(,)NxyzBD则 ，1(,3)(0,)xyz所以 ， 10 分113则 ， ，0, ,)C由 得 ，即 ，11 分42C2279(4290解得 或 ， 12 分3所以 点的坐标为 或 . 13 分N(0,1)(,)（也可以答是线段 的三等分点， 或 ）BD2BNDN17.（本小题满分 13 分）解：（）事件 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知A3 分2354()CP. 5 分10（） 的可能取值为 . 6 分X,2， 7 分32541()60PC， 9 分1337
12、2ABCODxyzM中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 7， 10 分213543()062CPX. 11 分()(1)(3)PX920的分布列： 20712 分. 13 分17931()00EX18、（本小题满分 14 分）解：（） ， 3 分2()exxaf当 时， ，a2x， ，12(1)ef()ef所以曲线 在 处的切线方程为 ， 5 分()yfx, e2yx切线与 轴、 轴的交点坐标分别为 ， ， 6 分2,0)(,)所以，所求面积为 . 7 分e2（）因为函数 存在一个极大值点和一个极小值点，()fx所以，方程 在 内存在两个不等实根， 8 分0a(,)则 9 分
13、24,0.所以 . 10 分设 为函数 的极大值点和极小值点，12,x()fx则 ， ， 11 分a12因为， ，5ef所以， ， 12 分125xx即 ， ， ，121221()exa25ea5ea解得， ，此时 有两个极值点，5(f所以 . 14 分19.（本小题满分 14 分）解：（）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，M246所以 ， 1 分2462ca又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 2 分323ca23ca所以 ， . 4 分中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 8所以 ，椭圆 的方程为 . 5 分1bM192yx（）方法一：不妨设 的方程 ，则
14、的方程为 .BC(3),0nAC)3(1xny由 得 ， 6 分2(3),19ynx 16)9(22x设 ， ，),(A,2y因为 ，所以 ， 7 分283nx1372nx同理可得 ， 8 分21937所以 ， ， 10 分16|nBC296|nAC， 12 分4)(|212SAB设 ，nt则 ， 13 分236489tSt当且仅当 时取等号，t所以 面积的最大值为 . 14 分ABC83方法二：不妨设直线 的方程 .xkym由 消去 得 ， 6 分2,19xkym22(9)90设 ， ，),(A),(2xB则有 ， . 7 分129ky219yk因为以 为直径的圆过点 ，所以 .C0AB由
15、，12(3,)(3,)Cxx得 . 8 分210y将 代入上式，,kymk得 . 21212()()()0m将 代入上式，解得 或 （舍）. 10 分53所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点），5AB(,)D中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 9所以 12|2ABCSDy. 12 分212395()14()459ky设 ，21,09ttk则 .245ABCSt所以当 时， 取得最大值 . 14 分1(0,89tABCS8320.（本小题满分 13 分）（）解：集合组 1 具有性质 . 1 分P所对应的数表为：3 分集合组 2 不具有性质 . 4 分P因为存在 ，,3
16、1,4有 ，23,AAA与对任意的 ，都至少存在一个 ，有 或 矛盾，所以集合组yx, 12i,xyi y不具有性质 . 5 分1234,P（）7 分. 8 分1233,457,467,1,567AA（注：表格中的 7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（）设 所对应的数表为数表 ，t M因为集合组 为具有性质 的集合组，12,t P所以集合组 满足条件和，由条件： ，tAA可得对任意 ，都存在 有 ，x1,23,it iAx所以 ，即第 行不全为 0，1ia所以由条件可知数表 中任意一行不全为 0. 9 分M由条件知，对任意的 ，都至少存在一个 ，使 或 ，yx, 1,23
17、,it ,xyAiy所以 一定是一个 1 一个 0，即第 行与第 行的第 列的两个数一定不同.yix, y所以由条件可得数表 中任意两行不完全相同. 10 分1111111111110000000000110000110 01中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷七） 10因为由 所构成的 元有序数组共有 个，去掉全是 的 元有序数组，共有 个，又因数表0,1t2t 0t21t中任意两行都不完全相同，所以 ，M10所以 .7t又 时，由 所构成的 元有序数组共有 个，去掉全是 的数组，共 个，选择其中的,7187个数组构造 行 列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质 .1010 P所以 . 12 分t因为 等于表格中数字 1 的个数，2|tAA所以，要使 取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，1|t而 时，在数表 中，7tM的个数为 的行最多 行；7的个数为 的行最多 行；221C的个数为 的行最多 行；13375的个数为 的行最多 行；44因为上述共有 行，所以还有 行各有 个 ，98所以此时表格中最少有 个 .214352041所以 的最小值为 . 14 分12|tAA 0
