1、 高一数学试题 答案 第 1 页 （共 10 页） 保 密 启用并使用完毕前 2017 2018 学年度第二学期高一期末 考试 数 学 参考答案及评分标准 注意事项 ： 1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 （共 60 分） 一、选择题 （ 本大题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个 选
2、项符合题意） 1 已知集合 2| 2 , | l o g 2A x x B x Z x ， 则 RAB A 1,2 B 0,1,2 C 2 D | 0 2xx 2 下列四组函数表示同一函数的是 A 2( ) , ( ) xf x x g x x B 2( ) 2 lg , ( ) lgf x x g x x C ( ) c o s ( ) , ( ) s i n2f x x g x x D ( ) c o s | |, ( ) c o sf x x g x x 3某市学生鲜奶需求量巨大， 管理部门 需要调查两项数据： 供应企业生产线的鲜奶达标率， 小学 、初中、高中 学生鲜奶需求量 、 选取
3、的抽样方法 分别 是 A简单随机抽样和分层抽样 B都采用分层抽样 C简单随机抽样和系统抽样 D系统抽样和分层抽样 4 函数 11( ) ln 22f x x x x 的零点所在的区间是 A 1( ,1)e B 1,2 C 2,e D ,3e 5 关于函数 32 sin 2 1yx ，下列 选项 错误 的是 高一数学试题 答案 第 2 页 （共 10 页） A 函数 图象关于直线 12x 对称 B 函数 在区间 ,06上递减 C 函数 图象关于点 (6,1) 对称 D 函数 图象可由 2sin 2 1yx图象上所有点 向右平移 6 个单位 得到 6 已知向量 a ， b 满足 1a ， b 在
4、a 方向 上的投影是 1 ，则 (2 )a a b A 4 B 3 C 2 D 1 7 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成一个三棱锥 A BCD ， 当三棱锥 A BCD 体积最大时，直线 AC 与平面 BCD 所成的角等于 A 6 B 4 C 3 D 2 8 函数 ( ) ln( 1)f x x的 大致图 象 是 9 已知 钝角 ABC 的面积是 1， 2AB ， 2BC ，则 AC A 2 B 2 C 10 D 10 10 某 校 随机抽取 20 个班级 ， 调查各班关注 世界杯 的学生人数 把 所得数据以 5 为 组距进行 分组 ： 0 , 5 ) , 5 ,1 0 ) , 1
5、 0 ,1 5 ) , 1 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 5 ) , 2 5 , 3 0 ) , 3 0 , 3 5 ) , 3 5 , 4 0 ，得到 频率分布直方图如图所示，则原始 数据 的 茎叶图 可能 是 高一数学试题 答案 第 3 页 （共 10 页） 11 已知 1sin( )34， 则 sin(2 )6 A 78 B 78 C 1516 D 1516 12 九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面 ABC ， 2PA AB， 4AC 若 三棱锥 P ABC 四个顶点都在球 O的 表 面上 ， 则球 O 的表面积为 A
6、 8 B 12 C 20 D 24 第 II 卷 （共 90 分） 二 、 填空题（本大题 共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分） 13 过两点 ( 2, )Mt 、 (,4)Nt 的直线斜率为 1， 则 t 1 14 在 正 ABC 内任取一点，则该点落在 ABC 内切圆内的概率是 39 15 已知以 A 为直角 的 Rt ABC ，边 BC 的中垂线分别交 ,ACBC 于点 ,PQ 若 1, 2AB AC， 则 =AP BC 32 16 函数2,1() 154 , 14xaxfx x x x 的值域为 R ，则 a 的取值范围为 10 4a 高一数学试题 答案 第 4 页 （共 1
7、0 页） 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 ） 17（ 本小题满分 10 分 ） 已知 向量 s i n , c o s , 3 c o s , c o sa x x b x x ，函数 12f x a b （ 1） 求函数 fx的解析式及最小正周期； （ 2） 当 0,2x ， 求函数 fx的值域 17 解： （ 1） 2 13 s i n c o s c o s 2f x x x x = 3 1 c o s 2 1s in 22 2 2xx = 31sin 2 co s 222xx = sin 26x 5 分 所以 T 6 分 （
8、2） 因为 0 2x ， 所以 526 6 6 x ， 8分 所以 1 sin 2 126x 所以函数 ()fx的值域 为 1 ,12 10 分 18（ 本小题满分 12 分 ） 如图 ， 在 ABC 中 , 3B , 8AB ， 点 D 在 BC 边上 ， 且 2CD ， 1cos 7ADC （ 1） 求 sin BAD ； （ 2） 求 ,BDAC 的长 高一数学试题 答案 第 5 页 （共 10 页） 18 解 ： （ 1） 在 ADC 中 ， 因为 1cos 7ADC， 所以 43sin 7ADC 2 分 所以 s i n s i nB A D A D C B s i n c o s
9、c o s s i nA D C B A D C B 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 1 4 6 分 （ 2） 在 ABD 中 ,由正弦定理得338sin 14 3sin 437A B B A DBDA D B 9 分 在 ABC 中 ,由余弦定理得 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B 22 18 5 2 8 5 4 92 所以 7AC 12 分 19（ 本小题满分 12 分 ） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系 ,他们分别 采集 了 1至 6 月份每月 10号的昼夜温差情况与患感冒的人数 ,得到如下资料 : 日期 1月 2 月
10、 3 月 4 月 5 月 6 月 昼夜温差 x () 9 8 11 13 12 6 患感冒 人数 y (个 ) 19 16 25 29 26 12 该兴趣小组确定的研究方案是先从这 6 组数据中选取 2 组 ， 用剩下的 4 组数据求 得 线性回归方程 ， 再用被选取的 2 组数据进行 检 验 （ 1） 求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率 ； （ 2） 若选取 1月 和 6 月的两组数据 作为检验数据 ： （ i） 请根据 2 至 5 月份的数据 ， 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ ii） 若由 线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据 差 的 绝对值 均不超过 2 ，
11、 则认为得到的线性回归方程是 “ 理想的 ” ， 试问该小组所得线性回归方程是否 是“ 理想 的” ？ 高一数学试题 答案 第 6 页 （共 10 页） 参考公式 : 112 2 211( ) ( ) ,()nni i i iiinniiiix y n x y x x y yb a y b xx n x x x 19 解 ： （ 1） 设抽到相邻两个月的 数据 为事件 A 六组数据分别记 为 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A，从这 六 组数据中 随机抽取 2 组 ,所有可能的结果有 : 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6, , , , , , , , ,A A
12、 A A A A A A A A, 2 3 2 4 2 5 2 6, , , , , ,A A A A A A A A, 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6, , , , , , , , ,A A A A A A A A A A, 56,AA ,共有 15种 2 分 事件 A 包含得基本事件有： 12,AA , 23,AA , 3 4 4 5, , ,A A A A, 56,AA 共有 5种 3 分 所以 抽到相邻两个月份的 数据 的情 况有 5 种 ,故 5115 3PA 4 分 （ 2） （ i） 求得 11x , 24y 6 分 由公式求得 18 7b 8 分 再由 a y bx ,
13、求 得 307a 9 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 18 307 7yx 10 分 （ ii） 当 9x 时 , 1327y , 132 19 27 11 分 同样 ,当 6x 时 , 787y , 78 12 27 所以该小组所得线性回归方程是理想的 12分 20（ 本小题满分 12 分 ） 已知点 20()A, ， 圆 224O x y： ，动点 P 在圆 O 上运动，线段 AP 的中点为 M ， 点 M的轨迹为 曲线 C （ 1）求 曲线 C 的方程； （ 2）若 曲线 C 在点 M 处的切线 为 l ， l 与圆 O 相交于两点 E,F ，且 7cos 8EOF ，高一数学
14、试题 答案 第 7 页 （共 10 页） 求直线 l 的 方程 20 解：（ 1）设点 ()Mx,y ， 00()Px,y ，由于点 P 在圆 O 上，得 22004xy 由于线段 AP 的中点为 M ，得00222()xxyy 即 00222xxyy = 2分 代入 22004xy，得点 M 的轨迹 C 的方程为 2211()xy 4 分 （ 2）由于 C 的方程为 2211()xy ， 所以 轨迹 C 是以 10(), 为圆心，以 1为半径的圆 当直线 l 的斜 率不存在时，不满足题意 5分 设直线 l 的方程为 y kx b 由于直线 l 与圆 C 相切，得2 11kbk 6 分 由于
15、78EOF cos ，得 124EOF cos ， 7分 可得 原点 到 直线 l 的距离 等于 12 8 分 于是，有2121bk 9 分 联立 解得3333kb =，或者3333kb =- 11 分 所以 直线 l 的 方程为 33yx或者 33yx 12 分 21（ 本小题满分 12 分 ） 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 点 E,F,M,N 分别为 棱1 1 1C D AD AB B C1, , ,的中点 （ 1）求证： E,F,M,N 四点共面； 高一数学试题 答案 第 8 页 （共 10 页） （ 2） 求证： 1AC 平面 EFMN 21 解 ：（ 1
16、）显然 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 四边形 11BBDD 为平行四边形， 即 11BD/ / B D ， 11BD B D ； 点 E,N 分别为 1 1 11,CD BC 的中点 ， 所以1 1 1 112E N / / B D ,E N B D； 2分 同理 12F M / / B D ,F M B D； 4分 从而 EN / / FM ,EN FM， 5 分 故 四边形 EFMN 为 平行四边形， 所以 E,F,M,N 四点共面 6分 （ 2）如图连接 1 1 1 1， ， ，A E , A M ,M C E C A C E M， 因为点 E,N 分别为 正 方
17、体 棱 1 1 1 1CD,BC 的中点 ，所以 1 1AC EN ； 因为正方体中 1CC 平面 1 1 1 1ABCD ，且 EN 平面 1 1 1 1ABCD ，所以 1EN CC ； 因为 1 1AC EN ， 1EN CC ，且 1 1 1 1CC AC = C， CC AC 1 1 1, 平面 1 1ACC ， 所以 EN 平面 1 1ACC ， 7分 且 1AC 平面 1 1ACC ，所以 EN 1AC； 8分 因为点 E,M 分别为 正方体 棱 11CD,AB 的中点 ， 所以四边形 1AECM 是菱形，设 1AC EM O ，显然 1AC EM ； 10分 （同理证 1AC
18、FN 也可 ，注 ： 2 分得分点 ） 因为 1AC EM ， 1AC EN ，且 EM EN= E， EM,EN 平面 EFMN ， 所以 1AC 平面 EFMN 12分 22 （ 本小题满分 12 分 ） 已知函数 2 2 , Rf x x a x x a （ 1）若 0a ，判断 函数 ()y f x 的奇偶性，并加以证明 ； 高一数学试题 答案 第 9 页 （共 10 页） （ 2）若函数 fx在上 R 是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）若存在 实数 2,2a 使得关于 x 的方程 ( ) (2 ) 0f x tf a有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围 22 解 ：
19、 （ 1） 当 0a 时， 2 2 , Rf x x a x x a ， 定义域 Rx 所以 22f x x x x x x x f x 故 函数 ()y f x 为奇函数 2 分 （ 2） 222 2 , 22 2 , 2x a x x afx x a x x a 3 分 当 2xa 时， ()y f x 的对称轴为 1xa； 当 2xa 时， ()y f x 的对称轴为 1xa 所以 当 1 2 1a a a 即 11a 时，函数 ()y f x 在 R 上是增函数 6 分 （ 3）方程 ( ) (2 ) 0f x tf a的解即为方程 ( ) (2 )f x tf a 的解 当 11a
20、时，函数 ()y f x 在 R 上是增函数， 所以 关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a 不可能有三个不相等的实数根； 7 分 当 1a 时，即 2 1 1a a a ， 所以 ()y f x 在 ,1a 上单调 递 增， 在 1,2aa 上单调 递 减，在 2,a 上单调 递 增， 所以 当 2 2 1f a tf a f a 时，关于 x 的方程 2f x tf a 有三个不相等的实数根 ， 即 24 4 1a t a a ， 因为 1a ，所以 11124taa 设 11 24h a a a ， 因为 存在 2,2a ， 使得关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf
21、 a 有三个高一数学试题 答案 第 10 页 （共 10 页） 不相等的实数根， 所以 max1 ( )t h a ， 又 可证 11( ) ( 2)4h a a a 在 (1,2 上单调 递增，所以max 9() 8ha ，故 91 8t ； 9 分 当 1a 时，即 2 1 1a a a ， 所以 ()y f x 在 ( ,2 )a 上单调 递 增，在 (2 , 1)aa上单调 递 减，在 ( 1, )a 上单调 递 增， 所以 当 ( 1) ( 2 ) ( 2 )f a tf a f a 时，关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a 有三个不相等的实数根 ， 即 2( 1) 4 4a t a a ， 因为 1 ，所以 111 ( 2 )4taa 设 11( ) ( 2 )4g a a a ，因为 存在 2,2 ,a 使得关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a 有三个不相等的实数根， 所以 max1 ( )t g a ， 又 可证 11( ) ( 2 )4g a a a 在 2, 1) 上单调 递 减 ，所以max 9() 8ga ，故 91 8t ； 11 分 综上 可得， 91 8t 12 分
