1、1第一章 集合与命题一、集合11 集合及其表示法例 1、 设 都是非零实数，试用列举法将 可能取得值组成的集合表示出来。yx, |xyx分析：讨论 的正负。,解：当 都是正数时，原式等于 3；当 仅有一个正数时，原式等于 ；当 都是负数时，原式等于 。yxyx, 1yx, 1故所求集合为 1,3说明：由集合元素的无序性可知： ,1,例 2、集合 ， ， 又,2|ZkxA,2|ZkxB,14|ZkxC，则有（ ）Bba,（A） （B）ba（C） （D） 不属于 A、B 、C 中任意一个分析：A 中元素的性质是：被 2 整除的数；B 中元素的性质是：被 2 除余 1 的数；C 中元素的性质是：被
2、4 除余1 的数。解：因为 ，所以存在 使得 ，又 ，所以存在 使得 ，则aZk11kabZk212kb，而 所以 。)(221kb2 B说明：怎样判断集合 中以何为元素？只要看分隔符前的字母即可。,|kxA例 3、 已知集合 03|2Raa（1） 若 A 是空集，求 的取值范围；（2） 若 A 中只有一个元素，求 的值，并把这个元素写出来；（3） 若 A 中最多只有一个元素，求 的取值范围。分析：注意方程 未必是一元二次方程，应分类讨论。0232xa解：集合 A 是方程 在实数范围内的解集。（1） A 是空集，即方程 无解，得 所以 。2x08)3(2a89（2） 当 时，方程只有一个解为
3、；当 时， 即 时，方程有 2 个相等的实根，这0a320a时 A 中只有一个元素为 。所以当 或 时， A 中只有一个元素，分别为 或 。34x89342A 中最多只有一个元素，包括 A 是空集和 A 中只有一个元素两种情形。由 (1)、 （2）可得 或 。0a89例 4、设 是整数，集合 ，点 E，但点 ，求ba, 63)(|,2ybaxyE)1,(,),(E)23(的值。,分析：集合 E 是有序数对构成的点集，考虑到 是整数可以求得解。,解：因为 E，所以 （1）)1,2(63)2(ba因为 所以 （2）00因为 ，所以 （3）),3()(2由（1） ， （2）得 ，展开并整理得 。2)
4、1(6a23a由（1） ， （3）得 。所以 。2a又 是整数，所以 。代入（1） ， （2）得 ，所以 。b,34b1综上所述， 。,b说明：不等式具有传递性：即若 且 ，则 。acba二、 理解与巩固（一） 填空题1、 方程 的解集可表示为。0652x2、 设 ，且 ， ，则 ， 4|),(nymMM)1,2()5,2(m。n3、 已知 ，则用列举法表示 。12,60|NxAA4、 若 ，则 。 （填 或 ）,| ZbaRx231A（二） 选择题6、集合 是指（ ）,0|),(Ryy（A）第二象限内的点； （B）第四象限内的点；（C）第二象限或第四象限内的点； （D）不在第一象限、第三象限
5、内的所有点。312 集合之间的关系二、典型例题解析例 1、 选用适当的记号表示 与 0，0 与 ， 与 之间的关系。分析：由概念出发，区分元素与集合、集合与集合之间的关系所用的不同数学符号。解： 为空集，不含任何元素，因此 0 不是 中的元素，即 ； 0是一个单元素集合，0 是它的元素，因此有 ； 和 都是集合，空集是任何非空集合的真子集，所以 说明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若 ，不要忘了考虑 A 为空集的情况。BA例 2、 若集合 , ,则( ),42|ZkxA,24|Zkx(A)A=B (B) (C) (D)A 与 B 无相同的元素B分析：考察集合 A、B 中的元素，
6、可判断集合 A、B 的关系。解：因为集合 A 中的任意一个元素， （ ）即 ，所以 。24)1(42kkx ZkxBA又 但 ，所以 。说明：若集合 A 是集合 B 的子集，在判断集合 A 是集合 B 的真子集时，只要在集合 B 中找出一个元素不属于集合 A 即可。例 3、 设集合 ， 。若 ，求实数 a 的取值范围。2|ax12|xA分析：将集合 A、B 化简，利用数轴可将问题简单化。解： ，2|ax由 得 ，即 ，所以120023x32x故 ，因为 ，所以 解得3|xBBAa10a所以实数 a 的取值范围是 。10a说明：若 ，则解 即可。 （显然 ）A32例 4、 设集合 不是空集， ，
7、|ax ,32|AxyB，且 ，求实数 a 的取值范围。,|2AxzCBC4分析：集合 B、C 均表示函数值的取值范围。解：由题设知： 321|ay当 时，02a34|z当 时，|zC当 时，|2a由于 所以 或 或B3403432a得 或 即 21aa1所以 的取值范围是 1说明：由于 是一次函数，故根据集合 A 可直接写出 的范围集合 B。但 （ ）写出集合3xy y2xzAC 时必须对 进行分类讨论。a三、 理解与巩固（一）填空题1. 若 ，则 的值为_。2,41,21, aa2集合 M= 满足 ，则 所取的一切值为集合中有_个元0106xQx与 MQa素。3. 满足 的集合 M 共有_
8、个。,dcbaM4. 集合 ， ，其中 且 ，则 q=_。2,2aqP0P5. 集合 A= ，且 B= 且 A B。则实数 a 的取值范围是_。,|Rx|Rx（二）选择题6、下列写法正确的是 （ ）（A） （B） （C）0 （D）007、集合 ,集合 ,则 A 与 B 的关系是( )21|x(A) (B) (C) (D)B58、已知集合 ， ，且 ，那么 的取值范围是（ 023|2xA 034|22axBBAa）（A） （B） 或1a1a（C） （D） 或32 32（三）解答题10、设 ， ，求 的值。baxf2)( )(|axfAb,11、已知集合 ， 若 ，求实数 p 的所有元素的集合。0
9、2|04|2pBAB12、已知 ， ，求证：A=B,|2ZyxmA ,4,1|Zkmk或1. 3 集合的运算性质：（1） BABAB，（2）若 ，则（3） ，（4）若 ， 则（5） ， ，UC)()()(CU )()()(BCAU二、典型例题解析例 1、 若集合 ， 。问： 何值时， ？045|2xA 04|2mxB分析： AB解： ，A 的子集有,1,1,将 或 代入 均可得x4042x5但若 ，则 ，所以B6m4m故本题的解为 或 。5例 2、 集合 ，31|xA|axB（1） 若 ，求 的取值范围；a（2） 若 ，求 的取值范围。B6分析：一般来说，这样的题目均应画数轴观察。解：（1）
10、，即AB要使 B 包含 A， 必须落在“3”的右方，即 。a3a（2） 使 ， 必须落在“1”的左方，若 ，则 ，此时1a|xBBA所以 的取值范围是 。a说明：数形结合在集合运算中是一个重要的思想方法。例 3、 满足条件 的集合 A 有多少个?8,7654,321,A分析：集合 A 必须含集合 中的所有元素。8765,4解： 且 B8,7654,由于满足条件的集合 B 有 8 个，所以满足条件的集合 A 有 8 个。说明：集合 的子集有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空真子集有,21naAn212n 12n个。2n例 4、 已知集合 ， ，03|2x 0)(|2axB，且 ， ，求实数
11、 和 的取值范围。02|2mxCABCm分析：由于 ，对 C 为空集要分类讨论。A解：由 可知 ，由方程 得 或 ，B0232x12x所以 2,1方程 的两个根为 1 或 ，0)(axa所以 B 中元素 可能为 1 或 2；当 ，即 时， ；1B当 ，即 时，2a3,所以 的值为 2 或 3。又由 可知CAA那么 C 中元素有 3 种可能性：若方程 有两个不同的根 1 或 2，则 ；02mx 3m7若方程 有两个相同的根，则 ， ，此时方程的根为 ，则 ，022mx 082m22AC故 ；若方程 无实根，即 ， 时， ，满足 。2x2C所以 或 。3m说明：欲求 或 ，只有从 ， 中去确定 B
12、 与 A 或 C 与 A 的关系，从而再判断 B，C 中aABC元素的可能性，求得 或 ；另外不能记为 ，因为 可能为 1。1,a例 5、已知 ， ，当 为何实数时123|),(axyA5)()(|),2yaxyx a。B解：因为 ，所以方程组 无解。A15)()1(23yaxy若 ，可得 ，化简得： 2x 3)1(2ax 1632)1(2axa（1）若 ，方程（1）左边为 0，右边不为 0，所以方程（1）无解，从而方程组无解；a令（1）中 得 。解得 或x23225a4因为方程组中 ，所以 或 时方程组无解。5a4综上所述： ， 或 时，1a2BA例 6、设全集 U=x|01， ，已知 AB
13、=x|x2, A B=x|10，则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实数根。试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假。解：否命题：若 m0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 无实数根。逆命题：若关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实数根，则 m0。逆否命题：若关于 x 的方程 x2+x-m=0 无实数根，则 m0。 =1+4m, 时方程有实数根。41m m0 时， ， 方程有实数根，原命题为真，逆否命题也为真。但方程有实数根， ，却推不出 m0，逆命题为假，否命题也为假例 5、 写出(1)命题：“若 x+y0，则 x0 或 y0”的否命题。(2)命题：“在整数范围内，a,
14、b 是偶数，则 a+b 是偶数”的逆否命题。解：(1)否命题是：若 x+y0，则 x0 且 y0。(2)逆否命题是：在整数范围内，若 a+b 不是偶数，则 a,b 不都是偶数。说明：(1)“x0 或 y0”的否定是“x0 且 y0”，注意与集合性质的比较： )()()(BACAUU(2)“a,b 是偶数”指“a,b 都是偶数”，其否定为“a,b 不都是偶数”。三、理解与巩固（一） 填空题1、 设原命题是为“对顶角相等” ，把它写成“若 p 则 q”形式为_;它的逆命题为_;否命题为_;逆否命题为_。3、把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式对顶角相等 _平行四边形的对角线相交于一点且互相平分
15、_偶数能被 2 整除_二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若判别式0，则方程有两个不等实根_114、x 24_x3b，则 a-5b-5”的逆否命题是（ ）。（A）若 ab-5，则 ab（C）若 ab，则 a-5b-5 （D）若 a-5b-5，则 ab8、下列各组中的两个命题互为等价命题的是（ ）。（A）AB=A 与 AB=B （B）aA 与 aAB（C）aA 与 aAB （D）aAB 与 aAB（三）解答题9、设原命题是“若 x=2 或 x=3，则 x2-5x+6=0”，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题。三、 充分条件与必要条件15 充分条件，必要条件例 1指出下列各题中，p 是 q 的
16、什么条件？(1) p: 0b”是“a 2b2”的（ ） “a=b”是“ac=bc”的（ ）“ab”是“ac 2bc2”的（ ） “ab”是“a+cb+c”的（ ）“|x|1”是“x1”的（ ） “x=1”是“x 2-2x+1=0”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件（7）a 2-2ab+b2=0 是 a=b 的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件 C（8）“在ABC 中，a 2+b2=c2”是“ABC 为以 C 为斜边的直角三角形”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件（三
17、） 解答题（9）(1)写出|x|0, q: x2-2x+1-a20, 若 p 是 q 的充分而不必要条件，求正实数 a 的取值范围。（11）证明：实系数方程 ax2bxc0(a0) 有两个不相等实根的充要条件是b 24ac0集合与命题单元练习一、选择题2、 下列命题中正确的是（ ）（A） 集合x | x 21,x R中有两个元素 （B） 集合 0中没有元素（C） （D） 1，2与 2，1是不同的集合3|153、 已知 U 为全集，集合 ，若 MNN，则（ ）U,（A） （B） （C） （D）NNUMCU4、 下列表述正确的是（ ）（A） 0 （B） 0 （C） （D） 5、 已知集合 M0，1
18、 ，N1，2 ，则 MN（ ）（A） 0，1，2 （B） 1，0，1，2 （C） 1 （D）不能确定6、 设集合 ， 集合 ，集合 MN（ ）|x01|x（A） x|0x2, P=x|x2，Bx| 4xp0=x|x0 AB=x|6x1x|x02x=RAB=x|6x1x|x0= x|6x3，或 02，且 AB=x|10，则该方程有两个不等实根 4、 5、解：T T F T 6、D 7、D 8、A,9、逆命题：若 x2-5x+6=0,则 x=2 或 x=3。 否命题：若 x2 且 x3，则 x2-5x+60。逆否命题：若 x2-5x+60, 则 x2 且 x3。提示：“p 或 q”的否定是“(非
19、p)且(非 q)”，“p 且 q”的否定是“(非 p)或(非 q)”。10、若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上 若两个数是有理数，则它们的商仍为有理数11、可证明其逆否命题为真，即若 a+b=1, 则 a2+2ab+b2+a+b-2=0。证： a+b=1, a 2+2ab+b2+(a+b)-2=(a+b)2+(a+b)-2=1+1-2=0。 原命题得证。12、这个结论非常明显，但要直接说明两条直线相交没什么依据而在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，对于平行线的理论依据较多，因此，用反证法证明证明：假设 bc a b ac 这与 c，a 相交矛盾 b 与 c 相交1.5 理解与巩固解答:解答：（1）必要非充分条件 （2）充要 （3）1）p 是 q 的必要而不充分条件。 2）p 是 q 的既不充分也不必要的条件 （4）必要非充分条件 （5）必要条件；充分条件；充要条件 （6）D、A 、B、C 、B、C （7）C （8）C （9）(1)此题为开放题，只要写出x|-2-1的集合即可，如x|x-2即 x-2，(3) （10）解不等式 x2-8x-200 得：p: 210xA=x|x10 或 x0 得 q: B=x|x1+a 或 x2，且 AB， 1 p44p
