1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页上思县高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是原点，若|AF|=3，则AOF 的面积为（ ）A B C D22 某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见，从中抽取 1 个容量为 50 的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111A B C D10520303 已知向量 =（1，n）， =（1，n2），若 与 共线则 n 等于（ ）A1 B C2 D44 在二项式 的展开式中，含 x4的项的系数是（ ）A10 B10
2、 C 5 D55 由小到大排列的一组数据 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于1，则样本 1，x 1， x2，x 3，x 4，x 5的中位数为（ ）A B C D6 若偶函数 y=f（x），xR，满足 f（x+2）=f（x），且 x0，2时，f （x）=1 x，则方程 f（x）=log8|x|在 10，10内的根的个数为（ ）A12 B10 C9 D87 设 m，n 是正整数，多项式（ 12x） m+（15x） n中含 x 一次项的系数为16，则含 x2项的系数是（ ）A13 B6 C79 D378 实数 x，y 满足不等式组 ，则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的
3、是（ ）A（1，1） B（0，3） C（ ，2） D（ ，0）9 已知 a=log23，b=8 0.4，c=sin ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页Aabc Ba cb Cba c Dcba10直线 l 过点 P（2，2），且与直线 x+2y3=0 垂直，则直线 l 的方程为（ ）A2x+y 2=0 B2x y6=0 Cx 2y6=0 Dx2y+5=011ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB=（ ）A B C D12为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批 108 套住房，
4、已知 三个社区分别有低收入CBA,家庭 360 户，270 户，180 户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从 社C区抽取低收入家庭的户数为（ ）A48 B36 C24 D18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题二、填空题13函数 在区间 上递减，则实数的取值范围是 2()(1)2fxax(,414不等式 恒成立，则实数的值是_.015设 ，记不超过 的最大整数为 ，令 .现有下列四个命题: Rx对任意的 ，都有 恒成立；xx若 ，则方程 的实数解为 ；(1,3)22sincos16若 （ ），则数列 的前 项之和为
5、 ；naNna321n当 时，函数 的零点个数为 ，函数 的0x22()siifxxm()13xgx零点个数为 ，则 .10mn其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。16椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点为（2，0），且点（ 2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 17已知点 A（1，1），B （1，2），C （2，1），D（3，4），求向量 在 方向上的投影18已知函数 f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论：精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页若 f
6、（x 1）= f（x 2），则 x1=x2；f（x）的最小正周期是 2；f（x）在区间 ， 上是增函数；f（x）的图象关于直线 x= 对称其中正确的结论是 三、解答题19已知数列a n满足 a1=1， an+1= （ nN*）（）证明：数列 + 是等比数列；（）令 bn= ，数列b n的前 n 项和为 Sn证明：b n+1+bn+2+b2n证明：当 n2 时，S n22（ + + ）20某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将 A，B 两种产品的
7、利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式（2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到 1 万元）精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页21已知函数 y=x+ 有如下性质：如果常数 t0，那么该函数在（0， 上是减函数，在 ，+）上是增函数（1）已知函数 f（x）=x+ ，x1 ，3，利用上述性质，求函数 f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数 g（x）= 和函数 h（x）=x 2a，若对任意 x10 ，1，总存在 x20，1，使得h（x 2）=g（x 1）成立，求实数 a
8、 的值22设函数 ，若对于任意 x1，2都有 f（x）m 成立，求实数 m 的取值范围精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页23已知 f（x）=x 2（a+b ）x+3a（1）若不等式 f（x）0 的解集为1，3 ，求实数 a，b 的值；（2）若 b=3，求不等式 f（x）0 的解集24已知函数 f（x）=e xax1（a0，e 为自然对数的底数）（1）求函数 f（x）的最小值；（2）若 f（x）0 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的值精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页上思县高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】B【解析】解：抛
9、物线 y2=4x 的准线 l：x=1|AF|=3，点 A 到准线 l：x= 1 的距离为 31+x A=3x A=2，y A=2 ，AOF 的面积为 = 故选：B【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定 A 的坐标是解题的关键2 【答案】 D【解析】试题分析：分段间隔为 ，故选 D.5031考点：系统抽样3 【答案】A【解析】解：向量 =（1，n）， =（1，n2），且 与 共线1（n2）= 1n，解之得 n=1故选：A4 【答案】B【解析】解：对于 ，对于 103r=4，r=2，则 x4的项的系数是 C52（ 1） 2=10故选项为 B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开
10、式的特定项问题的工具5 【答案】C精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页【解析】解：因为 x1x 2x 3x 4x 51，题目中数据共有六个，排序后为 x1x 3x 51 x4 x2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是 （x 5+1）故选：C【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数6 【答案】D【解析】解：函数 y=f（x）为偶函数，且满足 f（x+2 ）= f（x），f（ x+4）=f（x+2+2）= f（x+2）=f（x），偶
11、函数 y=f（x）为周期为 4 的函数，由 x0，2 时，f（x）=1 x，可作出函数 f（x）在10，10的图象，同时作出函数 f（x）=log 8|x|在 10，10的图象，交点个数即为所求数形结合可得交点个为 8，故选：D7 【答案】 D【解析】精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】由含 x 一次项的系数为16 利用二项展开式的通项公式求得 2m+5n=16 ，再根据 m、n 为正整数，可得 m=3、n=2，从而求得含 x2项的系数【解答】解：由于多项式（12x） m+（15x） n中含 x 一次项的系数为 （2）+ （5）= 16，可得 2m
12、+5n=16 再根据 m、n 为正整数，可得 m=3、n=2，故含 x2项的系数是 （ 2） 2+ （5） 2=37，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8 【答案】 D【解析】解：由题意作出其平面区域，将 u=2x+y 化为 y=2x+u，u 相当于直线 y=2x+u 的纵截距，故由图象可知，使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=32x 上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（ ，2）成立，而点（ ，0）在直线 y=32x 上但不在阴影区域内，故不成立；故选 D精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页【点评】本题考查了简
13、单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题9 【答案】B【解析】解：1log 232，0 8 0.4=21.2 ，sin =sin ，acb，故选：B精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键10【答案】B【解析】解：直线 x+2y3=0 的斜率为 ，与直线 x+2y3=0 垂直的直线斜率为 2，故直线 l 的方程为 y（ 2）=2（x2），化为一般式可得 2xy6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题11【答案】B【解析】解：ABC 中，a、b、c 成
14、等比数列，则 b2=ac，由 c=2a，则 b= a，= ，故选 B【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用12【答案】 C【解析】根据分层抽样的要求可知在 社区抽取户数为 C2491082736081二、填空题13【答案】 3a【解析】试题分析：函数 图象开口向上，对称轴为 ，函数在区间 上递减，所以fx1xa(,4.14,考点：二次函数图象与性质14【答案】 1a【解析】试题分析：因为不等式 恒成立，所以当 时，不等式可化为 ，不符合题意；210xa0a10x精选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页当 时，应满足 ，即 ，解得 .10a20(1)40aa2(
15、1)01a考点：不等式的恒成立问题.15【答案】【解析】对于，由高斯函数的定义，显然 ，是真命题；对于，由xx得， ，即 .当 时， ，22sincos1x22sin1cos22insix1201x，此时 化为 ，方程无解；当 时，0()ii(1)3， ，此时 化为 ，所以 或0()x22ixi()sin2，即 或 ，所以原方程无解.故是假命题；对于， （ ），2x4 aN， ， ， ， ，13a23a31a413a3113n，所以数列 的前 项之和为 ，故是真命nnn2() 2n题；对于，由精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页16【答案】 【解析】解：椭圆 C： + =1（ab0）的右
16、焦点为（ 2，0），且点（2，3）在椭圆上，可得 c=2，2a= =8，可得 a=4，b2=a2c2=12，可得 b=2 ，精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页椭圆的短轴长为：4 故答案为：4 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力17【答案】 【解析】解：点 A（1，1），B（1，2），C （2，1），D（3，4），向量 =（1+1 ，21）=（2，1），=（3+2，4+1 ）= （5，5）；向量 在 方向上的投影是= = 18【答案】 【解析】解：函数 f（x）=cosxsinx= sin2x，对于，当 f（x 1）= f（x 2）时，sin2x 1=sin
17、2x2=sin（2x 2）2x1=2x2+2k，即 x1+x2=k，kZ，故错误；对于，由函数 f（x）= sin2x 知最小正周期 T=，故错误；对于，令 +22x +2k，kZ 得 +kx +k，kZ当 k=0 时，x ， ，f（x）是增函数，故 正确；对于，将 x= 代入函数 f（x）得，f（ ）= 为最小值，故 f（x）的图象关于直线 x= 对称， 正确综上，正确的命题是故答案为：三、解答题19【答案】 【解析】（）证明：数列a n满足 a1=1，a n+1= （nN *），精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页na n=3（n+1）a n+4n+6，两边同除 n（n+1）得， ，
18、即 ，也即 ，又 a1=1， ，数列 + 是等比数列是以 1 为首项，3 为公比的等比数列（）（）证明：由（）得， =3n1， ， ，原不等式即为： ，先用数学归纳法证明不等式：当 n2 时， ，证明过程如下：当 n=2 时，左边= = ，不等式成立假设 n=k 时，不等式成立，即 ，则 n=k+1 时，左边= += ，当 n=k+1 时，不等式也成立因此，当 n2 时， ，当 n2 时， ，当 n2 时， ，精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页又当 n=1 时，左边= ，不等式成立故 bn+1+bn+2+b2n （）证明：由（i）得，S n=1+ ，当 n2， =（1+ ） 2（1+
19、） 2=2 ，=2 ，将上面式子累加得， ，又 =1=1 ， ，即 2（ ），当 n2 时，S n22（ + + ）【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高20【答案】 【解析】解：（1）投资为 x 万元，A 产品的利润为 f（x ）万元，B 产品的利润为 g（x）万元，由题设 f（x）=k 1x，g（x）=k 2 ，（k 1，k 20；x 0）精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页由图知 f（1）= ，k 1=又 g（4）= ，k 2=从而 f（x）= ，g
20、（x）= （x0）（2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10x 万元，设企业的利润为 y 万元y=f（x）+g（10 x）= ，（0x10），令 ， （0t ）当 t= ，y max4，此时 x=3.75当 A 产品投入 3.75 万元， B 产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润约为 4 万元【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解21【答案】 【解析】解：（1）由已知可以知道，函数 f（x）在 x1，2上单调递减，在 x2，3 上单调递增，f（x） min=f（2）=2+2
21、=4，又 f（1）=1+4=5，f（3）=3+ = ；f（1）f （3）所以 f（x） max=f（1）=5所以 f（x）在 x1，3 的值域为4 ，5（2）y=g（x）= =2x+1+ 8设 =2x+1，x0，1，13，则 y= 8，由已知性质得，当 1u2，即 0x 时，g （x）单调递减，所以递减区间为 0， ；当 2u3，即 x1 时，g （x）单调递增，所以递增区间为 ，1；由 g（0）= 3，g（ ）=4，g（1）= ，得 g（x）的值域为 4， 3因为 h（x）= x2a 为减函数，故 h（x） 12a， 2a，x0，1 根据题意，g（x）的值域为 h（x）的值域的子集，精选高中
22、模拟试卷第 17 页，共 18 页从而有 ，所以 a= 22【答案】 【解析】解： ，f（x）=3x 2x2=（3x+2）（x1），当 x1， ），（1，2时，f（x）0；当 x（ ，1）时，f （x） 0；f（x）在 1， ），（1， 2上单调递增，在（ ，1）上单调递减；且 f（ ）= +2 +5=5+ ，f（2）=8 422+5=7；故 fmax（x）=f（2）=7；故对于任意 x1，2都有 f（ x）m 成立可化为 7m；故实数 m 的取值范围为（7， +）【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题23【答案】 【解析】解：（1）函数 f（x）=x 2（a+b）
23、x+3a，当不等式 f（x）0 的解集为1，3 时，方程 x2（a+b ）x+3a=0 的两根为 1 和 3，由根与系数的关系得，解得 a=1，b=3；（2）当 b=3 时，不等式 f（x）0 可化为x2（ a+3）x+3a0，即（xa）（x 3）0；当 a3 时，原不等式的解集为：x|x3 或 xa；当 a3 时，原不等式的解集为：x|xa 或 x3；当 a=3 时，原不等式的解集为：x|x3，xR【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页24【答案】 【解析】解：（1）f（x）=e xax1（a0），f（x）=e x
24、a，由 f（x）=e xa=0 得 x=lna，由 f（x）0 得，xlna，此时函数单调递增，由 f（x）0 得，xlna，此时函数单调递减，即 f（x）在 x=lna 处取得极小值且为最小值，最小值为 f（lna ）=e lnaalna1=aalna1（2）若 f（x）0 对任意的 xR 恒成立，等价为 f（x） min0，由（1）知，f（x） min=aalna1，设 g（a）=aalna1，则 g（a ）=1lna1= lna，由 g（a ）=0 得 a=1，由 g（x）0 得，0x1，此时函数单调递增，由 g（x）0 得，x1，此时函数单调递减，g（ a）在 a=1 处取得最大值，即 g（1）=0，因此 g（a） 0 的解为 a=1，a=1
