1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 16 页三原县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 设函数 21ln31fxgxax， ，若对任意 10)x， ，都存在 2xR，使得2fx，则实数的最大值为（ ）A 94 B C. 92 D42 若 ， ，且 ，则 与 的值分别为（ ）A B5 ，2 C D5， 23 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 m1，且 am1+am+1am2=0，S 2m1=38，则 m 等于（ ）A38 B20 C10 D94 江岸边有一炮台高 30 米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而
2、且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距（ ）A10 米 B100 米 C30 米 D20 米5 已知函数 f（x）=2x +cosx，设 x1，x 2（0，）（x 1x2），且 f（x 1）=f（x 2），若 x1，x 0，x 2成等差数列，f （x）是 f（x）的导函数，则（ ）Af（x 0）0 Bf（x 0）=0Cf（x 0）0 Df（x 0）的符号无法确定6 抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点为 F，点 A（0，2），若线段 AF 的中点 B 在抛物线上，则|BF|= （ ）A B C D7 已知 0 ，0 ，直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条
3、相邻的对称轴，则=（ ）A B C D8 若等边三角形 的边长为 2， 为 的中点，且 上一点 满足 ，ANABMCxAyB则当 取最小值时， （ ）14xyM精选高中模拟试卷第 2 页，共 16 页A6 B5 C4 D39 一个椭圆的半焦距为 2，离心率 e= ，则它的短轴长是（ ）A3 B C2 D610下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ）(0,)A B C D3yx21yx|1yx2xy11设 aR，且（a i） 2i（i 为虚数单位）为正实数，则 a 等于（ ）A1 B0 C 1 D0 或112已知定义域为 的偶函数 满足对任意的 ，有 ，且当)(xfRx)1()2(fx
4、f时， .若函数 在 上至少有三个零点，则3,2x82)(xf 1log)(fya,0实数的取值范围是（ ）111A B C D),0( )3,0( )5,( )6,0(二、填空题13某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 =0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为 20 亿元，则年支出估计是 亿元14下列命题：集合 的子集个数有 16 个；,abcd定义在 上的奇函数 必满足 ；R()fx(0)f 既不是奇函数又不是偶函数；2()1)fx ， ， ，从集合 到集合 的对应关系 是映射；AB1:|fABf 在定义域上是减函数()fx其中真命题的序号
5、是 15已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，若对 ，na1mnnS213nSnN1na恒成立，则 的取值范围是_【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力16已知 z， 为复数，i 为虚数单位，（1+3i）z 为纯虚数，= ，且|=5 ，则复数 = 精选高中模拟试卷第 3 页，共 16 页17长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB=AD=4cm，AA 1=2cm，则点 A1到平面 AB1D1的距离等于 cm18有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色
6、的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _元三、解答题19已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，5，B=1，3，5，7（1）求 AB；（2）求（ UA）B；（3）求 U（AB）20已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=3，且 2Sn=an+1+2n（1）求 a2；（2）求数列a n的通项公式 an；（3）令 bn=（2n 1）（a n1），求数列 bn的前 n 项和 Tn精选高中模拟试卷第 4 页，共 16 页21 已知等比数列 中， 。（1）求数列 的通项公式;（2）设等差数列 中， ，求数列 的前 项和 .22如图，在四棱锥 PABCD 中
7、，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2， BAD=60（）求证：BD平面 PAC；（）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长23如图，四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 BCD，AC=AB，CB=CD ，DCB=120 ，点 E 在 BD 上，且CE=DE（）求证：ABCE；精选高中模拟试卷第 5 页，共 16 页（）若 AC=CE，求二面角 ACDB 的余弦值24【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考（10 月）】设 ,函数 .1a21xfxea（1）证明 在 上仅有一个零点；0,1a（2）若曲
8、线 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行,（O 是坐标原点）,证明: 32me精选高中模拟试卷第 6 页，共 16 页三原县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】A111.Com【解析】试题分析：设 2ln31gxax的值域为 A，因为函数 1fx在 0)， 上的值域为 (0， ，所以 (0A， ，因此 2h至少要取遍 (0， 中的每一个数，又 1h，于是，实数需要满足 a或 94，解得 94考点：函数的性质.【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归
9、能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。首先求出 A，再利用转化思想将命题条件转化为 (0A， ，进而转化为 231hxa至少要取遍 (01， 中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组： a或 094，从而解得 942 【答案】A【解析】解：由 ，得 又 ， ， ，解得 故选：A【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题3 【答案】C【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m1+am+1=2am，则 am1+am+1am2=am（2 am）=0，解得：a
10、 m=0 或 am=2，若 am等于 0，显然 S2m1=（2m1）a m=38 不成立，故有 am=2，精选高中模拟试卷第 7 页，共 16 页S 2m1=（2m 1）a m=4m2=38，解得 m=10故选 C4 【答案】C【解析】解：如图，过炮台顶部 A 作水平面的垂线，垂足为 B，设 A 处观测小船 C 的俯角为 45，设 A 处观测小船 D 的俯角为 30，连接 BC、BDRtABC 中，ACB=45，可得 BC=AB=30 米RtABD 中，ADB=30 ，可得 BD= AB=30 米在BCD 中，BC=30 米，BD=30 米，CBD=30，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2
11、2BCBDcos30=900CD=30 米（负值舍去）故选：C【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键5 【答案】 A【解析】解：函数 f（x）=2x +cosx，设 x1，x 2（0 ， ）（x 1x2），且 f（x 1）=f（x 2）， ，存在 x1ax 2，f （a）=0， ， ，解得 a= ，假设 x1，x 2在 a 的邻域内，即 x2x10 ，精选高中模拟试卷第 8 页，共 16 页 ，f（x）的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正
12、，x 0a，又xx 0，又xx 0时，f （x）递减， 故选：A【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用6 【答案】D【解析】解：依题意可知 F 坐标为（ ，0）B 的坐标为（ ，1）代入抛物线方程得 =1，解得 p= ，抛物线准线方程为 x= ，所以点 B 到抛物线准线的距离为 = ，则 B 到该抛物线焦点的距离为 故选 D7 【答案】A【解析】解：因为直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin（x+ ）图象的两条相邻的对称轴，所以 T= =2所以 =1，并且 sin（ +）与 sin（ +）分别是最大值与最小值，0，所以 = 故
13、选 A【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力8 【答案】D【解析】精选高中模拟试卷第 9 页，共 16 页试题分析：由题知 ， ；设 ，则(1)CBBMCxAyABMkA，可得 ，当 取最小值时， ，最小值,1xky1xy44145xyxyxy在 时取到，此时 ，将 代入，则42,3,N2MC.故本题答案选 D.2 133xyCNxACBABxy 考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式9 【答案】C【解析】解：椭圆的半焦距为 2，离心率 e= ，c=2，a=3，b=2b=2 故选：C【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题10【答案】C【解析】试题分析
14、：函数 为奇函数，不合题意；函数 是偶函数，但是在区间 上单调递减，3yx21yx0,不合题意；函数 为非奇非偶函数。故选 C。2考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。11【答案】B【解析】解：（ai） 2i=2ai+2 为正实数，2a=0，解得 a=0故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题12【答案】B【解析】试题分析： ，令 ，则 ， 是定义在 上的偶函数,1)2(fxfx11ffxfR则函数 是定义在 上的，周期为的偶函数，又当 时，01f R32，令 ，则 与 在 的部分图象如下图，82xlogaxfg,0精选高中模拟试卷第 10 页，共 16
15、页在 上至少有三个零点可化为 与 的图象在 上至少有三个交点，1logxfya,0xfg,0在 上单调递减，则 ，解得： 故选 Ax,023log1a 30a考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得是周期函数,其周期为,要使函数 在 上至少有三个零点,等价于函数 的xf 1logxfya0xf图象与函数 的图象在 上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的1logxya0范围.二、填空题13【答案】 18.2 【解析】解：某城市近 10 年居民的年收入 x 和支出 y 之间的关系大致是 =0
16、.9x+0.2，x=20，y=0.920+0.2=18.2（亿元）故答案为：18.2【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题14【答案】【解析】试题分析：子集的个数是 ，故正确.根据奇函数的定义知正确.对于 为偶函数，故错2n 241fx误.对于 没有对应，故不是映射.对于减区间要分成两段，故错误.0x考点：子集，函数的奇偶性与单调性精选高中模拟试卷第 11 页，共 16 页【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是 个；对于2n奇函数来说，如果在 处有定义，那么一定有 ，偶函数没有这个性质
17、；函数的奇偶性判断主要0x0f根据定义 ，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合 中任意一个,fffx A元素在集合 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1B15【答案】 15(,)4316【答案】 （7 i） 【解析】解：设 z=a+bi（a，b R），（1+3i）z=（1+3i）（a+bi ）=a3b+（3a+b）i 为纯虚数，又 = = = ，|= ，把 a=3b 代入化为 b2=25，解得 b=5，a=15= =（7 i）故答案为（7i）【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出17【答案】 【解析】解：由题意可
18、得三棱锥 B1AA1D1的体积是 = ，三角形 AB1D1的面积为 4 ，设点 A1到平面 AB1D1的距离等于 h，则 ，则 h=精选高中模拟试卷第 12 页，共 16 页故点 A1到平面 AB1D1的距离为 故答案为： 18【答案】1464【解析】【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间 A 用涂料 1，房间 B 用涂料 3，房间 C 用涂料 2，即最低的涂料总费用是 元。故答案为：1464三、解答题19【答案】 【解析】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，5，B=1，3，5，7（1）AB=1 ，2，3，4，5，7（2）（ UA）=
19、1，3，6，7（ UA）B=1 ，3，7（3）AB=5U（AB）=1，2，3，4，6，7 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键20【答案】 【解析】解：（1）当 n=1 时，2S 1=2a1=a2+2，a2=41；（2）当 n2 时， 2an=2sn2sn1=an+1+2nan2（n1）=a n+1an+2，an+1=3an2，an+11=3（a n1）4， ，an1从第二项起是公比为 3 的等比数列5， ， ，精选高中模拟试卷第 13 页，共 16 页 ；（3） 8 9 得： ，= ，=（22n ） 3n4，11 12【点评】本题考查等比数列的通
20、项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法” 求数列的前 n 项和，考查计算能力，属于中档题21【答案】 【解析】解：（1）设等比数列 的公比为由已知，得 ，解得（2）由（1）得设等差数列 的公差为 ，则 ，解得22【答案】 【解析】解：（I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，PAAC=A所以 BD平面 PAC（II）设 ACBD=O，因为BAD=60，PA=AB=2 ，所以 BO=1，AO=OC= ，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC 为 x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O
21、xyz，则精选高中模拟试卷第 14 页，共 16 页P（0， ，2），A（0， ，0），B（1，0，0），C（ 0， ，0）所以 =（1， ， 2），设 PB 与 AC 所成的角为 ，则 cos=|（III）由（ II）知 ，设 ，则设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z）则 =0，所以 令 ，平面 PBC 的法向量所以 ，同理平面 PDC 的法向量 ，因为平面 PBC平面 PDC，所以 =0，即6+ =0，解得 t= ，所以 PA= 【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及
22、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力23【答案】 【解析】解：（）证明：BCD 中，CB=CD，BCD=120，CDB=30，EC=DE，DCE=30，BCE=90，ECBC，又平面 ABC平面 BCD，平面 ABC 与平面 BCD 的交线为 BC，EC平面 ABC，ECAB （）解：取 BC 的中点 O，BE 中点 F，连结 OA，OF，AC=AB，AOBC，平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCD=BC，AO平面 BCD，O 是 BC 中点，F 是 BE 中点，OFBC ，以 O 为原点，OB 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 DE=2，则 A（0，0，1
23、），B （0， ，0），精选高中模拟试卷第 15 页，共 16 页C（0， ，0 ），D（3，2 ，0）， =（0， ，1）， =（3， ，0），设平面 ACD 的法向量为 =（x，y，z），则 ，取 x=1，得 =（1， ，3），又平面 BCD 的法向量 =（0，0，1），cos = = ，二面角 ACDB 的余弦值为 【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求24【答案】（1） 在 上有且只有一个零点（2）证明见解析fx（ ） （ ， ）【解析】试题分析：试题解析：（
24、1） ， ，221xxfee0fx在 上为增函数a,， ，a0f精选高中模拟试卷第 16 页，共 16 页又 ，11aafee，即 ，0,a0f由零点存在性定理可知， 在 上为增函数，且 ，x,010fa在 上仅有一个零点。fx,1（2） ，设点 ，则 ，2xe0,Py02xfe在点 处的切线与 轴平行， ， ，yf x0101x， ，1,PaeOPke点 处切线与直线 平行，M点 处切线的斜率 ，21mfae 又题目需证明 ，即 ，321mae3则只需证明 ，即 。2m令 ，则 ，ge1ge易知，当 时， ，单调递减，,00当 时， ，单调递增，,mm，即 ，ing10mge，1e，得证。32a
