1、 1 E D C B A 2014 年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷数学试题一、选择题（共 6 题，每题 4 分，共 24 分）1、从 1，2，3，4，5 这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）45 710 35 12解： 总数=4+3+2+1=10，符合条件的为：21；23；24；25；41；43 ；45 共 7 个（或只有 13；15；35 共 3 个例外），概率为 或710 1 310 7102、已知锐角ABC 角平分线 AD 与高线 BE 交于点 M，CDE 是等边三角形，则SDEMSABM 的值为（ ）（A） 2 （B）12 （C
2、）13 （D）142C= ，BEC= ，EBC = ，又CDE= ，BED= ，60 90 30 60 30ED=BD=CD，AD 即是BAC 的平分线，又是 BC 上的中线，AB=AC ，ABC 为正三角形，AD 与 BE 的交点为的重心SDEMSABM=14。3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 在第二象限，点 B 在 x 轴负半轴上，OAB 的面积是9，P 是 AB 中点，若函数 （x0）的图像经过点 A、P ，则 k 的值为（ ）y kx（A）6 （B）4 （C）3 （D）2设点 A 坐标为（ ， ），点 B（ ，0），SOAB=9， ，m n a 12an 9P 是 AB
3、的中点， 点 P 坐标为（ ， ）， ，代入 A、P 坐标得：m a2 n2 k xy， ， ， ， ，k mnk (m a)n4 mn (m a)n4 3mn an an 18 mn 6 k 6（本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用，中点坐标是解压轴题的重要工具） 同类测试题：如在直角坐标系中，存在一个平行四边形，其中平行四边形的三个项点的坐标为（1，3），（2，2）和（3，4），求另一顶点的坐标？21 世纪教育网版权所有4、对于任意的有理数 ，方程 的根总是有理数，则 b 的值为（ a 2x (a 1)x (3aS(2) 4a b) 0）（A）1 （B）1 （C）2 （D）0解：方程的
4、 ，当 时， (a 1) 8(3aS(2) 4a b) (5a 3) 8b 80 8b 80 2 P G F E D C B A BA1 B1APPM N E F 必定 ，即方程必有实根， ，当 时， ，0 b1 b 1 3a 4a 1 (3a 1)(a 1)十字因式分解得方程为（ ， 成立，(x a 1)(2x 3a 1) 0 b 1当 时， 不能因式分解，方程有可能为无理数解，b 2 3a 4a b 3a 4a 2（在一元二次方程中，运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根重要工具，）同类测试题：使得 是完全平方数的所有整数 的积的值。m m 7 m5、如图，ABC 内接于O，过
5、 BC 的中点 D 作直线 lAC，l 与 AB 交于点 E，与 O 交于点G、F，与O 在点 A 处的切线交于点 P，若 PE=3，ED=2，EF=3，则 PA 的长度为（ ）（ A） （B） （C） （D ）2 5 6 7解：BD =CD，DEAC ，AE=BE，又 PE=EF，四边形 PBFA 是平行四边形，PA=BF，PBAF，PFACBPF=FAC，又FBC= FAC，FBC =BPF，21 cnjycomBFDPFB， ， PF= 。DFBF BFPF BF DF 6PA=BF= 。6（考点为中位线、平行四边形的判定，与圆有关的角的运用在解决圆问题中，具有相当重要的地位）6、如图，
6、已知锐角A =B， AA1、PP 1、BB 1 均垂直于 A1B1，垂足分别是 A1、P 1、B 1，且AA1=17，AP+PB=13，BB 1=20，A 1B1=12，则 PP1 的长度为（ ）21cnjy（A）13 （B）14（C）15（ D）16延长 BP 并 于 E，过 P 作 MN ， ，AEP= B=A，PA =PEAA AB AABBBE=PB+PA=PB+PE=13，EF= 12，BF= ，AB BE EF 13 12 5 BF=20 5=15， 15，AE=2，ME=1，BF BB EA PP MA 16二、填空题（共 6 题，每题 4 分，共 24 分）7、已知 是方程 的
7、根，则 的值为 。a x 3x 1 02a 5a 2 3a 1 ， ，a 3a 1 0 a 1 3aa 1a 3原式 = ，2(aS(2) 3a 1) a 4 33a a 1a 4 3 4 1（本例代数的整式运算法，即以代数多项的值参与运算，而代数多项需根题型进行配制） 3 H G F E D C B A F E D C B A M G 同类测试：已知 ，求 的值。x 3 52 x x 1x 1x8、“*”表示一种运算，规定 * 。若 1*3 ，则 2013*2014= 。 xy1xy 1(x 1)(y A) 1121*3 ，解得 ，113 1(1 1)(3 A) 112 A 12013*20
8、14=120132014 1(2013 1)(2014 1) 09、如图，RtABC 的硬纸片， BAC=90，AB=3，BC =5，AD 为 BC 边上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形 EFGH，则正方形 EFGH 的边长为 . 21*cnjy*com解：由勾股定理得 AC=4，由面积公式得 ABAC=BCAD，AD= ，设正方形的边长为 ，HGBC ， ，125 x HGBC AHABHEAD， ，HEAD BHAD两式相加得： ，解得 。x5 x125 AH BHAB 1 x 603710、如图，在ABC 中，AB=AC ，CM 平分 ACB，与 AB 交于点 M，ADB
9、C 于点 D，ME BC 于点E，MF MC 与 BC 交于点 F，若 CF=10，则 DE= 【来源：21cnj*y .co*m】解：取 CF 的中点 G，连接 MG，设 DE= ，EF= ，x y可得 DC=CF EF DE= ， AB=AC，ADBC，10 x yBD=DC= ，BE=BD DE= 10 x y 10 2x yFG=CG=5，EG =FG EEF= 21 教育网5 yMG 是 RtMFC 斜边上的中线， FGM=2BCM=ACBFGM=B，又 MEBG， BE=EG，由 、得 ，10 2x y 5 yx 52（本例题中信息量较多，容易使从误入歧途而不得解，但题中只有一个已
10、知量即 CFED 又在 CF 上，所以我们可设想在 BC 上存在某个隐性变量，只要消去此变量即可）11、已知 ， 是不为零的实数，对于任意实数 ， ，都有a b xy其中 k 是实数，则 k 的最大值为 .(aS(2) bS(2)(xS(2) yS(2) 8bx 8ay k k 280解：不等式由两部分组，即 与 ，(aS(2) bS(2)(xS(2) yS(2) 8bx 8ay k k 28前者决定后者，(aS(2) bS(2)(xS(2) yS(2) 8bx 8ay ax ay bx by 8bx 8ay (2abxy 2abxy)， (ay bx) (ax by) 8(ay bx) (a
11、y bx 4) (ax by) 16当 时，不等式恒成立， ，解得 k k 28 16 k k 120 3k4 的最大值为 4，k 4 （本例是代数求值中非负法的应用，即代数式表达成平方式，）同类测试题：实数 满足方程 求 的值xy 3(xS(2) 2x 3)(3yS(2) 2y 1) 4 x ，y12、一个平面把空间分为 2 个部分，两个平面最多把空间分成 4 个部分，三个平面最多把空间分为 个部分，四个平面最多把空间分成 个部分三、解答题（共 4 题，每题 13 分，共 52 分）13、二次函数 （ ）的图像与 x 轴有两个交点 A( 1,0)，B（n，0），交 y 轴于点y ax bx
12、c a 0C（0，p），已知 .21cnjyp 3a(n 2)（1）求点 B 坐标；（2）若抛物线上存在点 M，使 ABM 为直角三角形，求 的取值范围.a 解： ， 是方程 的两根，故令函数为：x 1 x n ax bx c 0 y a(x 1)(x n)展开得 ，当 时， ，又已知y ax (a an)x an x 0 p an p 3a(n 2) ，得 ， 点 B 坐标（3，0）， an 3a(n 2) n 3 y a(xS(2) 2x 3)由得 AB=4，当AMB= 时，则 AB 是 AMB 的外接圆的直径，90圆心 N 坐标为（1，0），设点 M 坐标（ ， ）， ，m n MN (
13、m 1) n 2 4点 M 是抛物线上的点， ，由 得： ，a(mS(2) 2m 3) n m 2m 4 n代入 得： ， ，代入得 ， ， na nn 1a (m 1) 4 1a 4 1a0 ，得 （ ，故舍去）， 。a14 a 12 a 0 a12（根与函数系式的关系、两点距离的的确应用，它们都是解压轴题的基础和工具）两点距离的逆命题的应用：测试题：求函数 求 y 的最小值。y x 2x 2 x 4x 814、某学生为了培养自己的自主学习能力，采用级别制的自我激励方法管理，级别标志是：全天自主学习时间累计满 2 小时就算学习 1 天，学习满 5 天时，级别标志为 1 颗星星：又满 7 天时
14、，再增加 1 颗星星，级别标志为 2 颗星星；（得到第 n 颗星星要比得到第 n 1 颗星星时多耗时 2天）.每够 4 颗星星就改用 1 个月亮，每够 4 个月亮就改用 1 个太阳（即 16 颗星星为 1 个太阳）。如果从 2011 年 9 月 1 日入初中第一天开始，每天不间断学习至今天（2014 年 2 月 13 日），级别标志是什么？解：2012 年 9 月 1 日至 2014 年 8 月 31 日共 3652 天，9 月（30），10（31），11（30）12（31），1（31），2（13）共 166 天，总天数=730+166=896 天， 5 xyOE P D C B A F 每次
15、天数累计之和 S=5+7+9+ ， 2n 32n 3 52 n n(n 4) 896 ， ，即期间共得 28 个星，换算成月亮共 7 个，7=4+3(n 2) 900 n 281 太阳，3 个月亮15、如图，在四边形 ABCD 中，已知 BA=AD=DC，ACBD，AC 与 BD 交于点P， ABC+BCD=120，求证：PB=PC 。（提示：在解答本题时可能用到一下结论：对交互补的四边形内接于圆，简称四点共圆）。【来源：21世纪教育网】设ABD= ， ACD=，则AB=AD，ADB= ，www 21cnjycoma a又 AD=CD，DAC=，APD=BPC，【出处：21 教育名师】PBC+
16、PCB=DAC+ADB= +，【版权所有：21 教育】aABC+BCD=2 +2 ， + ，a 120 a 60BPC= ，120延长 BA、CD 交于点 E，可得BEC= ，60到此完成了一半的工作量，我们假设 PB=PC 成立，那么延长 BD 至 F 使 PB=PF，则有BCF = ，又得 PF=PC，PCF 是正三角形，90作延长 PD 至 F 使 PF=PC， DPC= ， PCF 是正三角形，F= ，60 60E=F，B 、C、F、E 四点共圆（同侧张角相等）， ABF=ECF，又 AB=CD，APB=F，PAB FDC，PB=CF ， CF=PC，PB= PC（实际上当证得BPC
17、=2A 时，我们就可以设想 P 是BCE 的外接圆的圆心，此类为无圆型四点共圆，对共圆的判定及应用在本从的四点共圆中有详解，其中无圆 56 例，有圆 47 例）16、已知 是方程 的一个实根（ 是实数）.ax 3x q 0 q（1）当 是何值时，上述方程恰好有两个不相等的实数根？q（2）证明：当上述方程仅有一个实数根时， .|q| 2解：可得 ，函数 与函数 的交点x 3x qx y x 3 y qx个数为方程 的实根个数，不论反比例函数在x 3x q 0哪两个象限， 与 至少有一个交点（如图），当方程恰好y y有两个不相等的实数根时，说明其中一点为两者的切点即切点的两根相等，设方程为 ，(x m)(x n) 0、 为方程的两根，展开得 ，比较两方程系数m n x (m 2n)x (nS(2) 2mn)x mn 0得： ， ， ， ，m 2n 0n 2mn 3q mn ) n 1 n 1 m 2n 2 q mn 2当 从图象可知，反比例函数的图象从切点移开，此时两者只有一个交点|q| 2同类测试题：求方程 根的个数及正负性。x 2x 1E E 6 （本题运用方程的组建技术，方程与函数相互转化，此类解题技术在本人二次函数与方程二次函数与反比例函数的交点方程所章节中有详细分析）2
