1、 1 专题12 导数 1. 已知 函数 2 1 (, g x a x x e e e 为自 然对 数的 底数) 与 2ln h x x 的图象 上存 在关 于x 轴 对称的 点， 则实 数a 的取值 范围是 （ ） A 2 1 1, 2 e B 2 2 1 2, 2 e e C. 2 1, 2 e D 2 2, e 【答案 】C 【解析 】 考点： 函数 性质 的综 合应 用. 2. 函数 x ax x f ln ) ( 在区间 ) , 1 上为 减函 数 ，则实 数a 的取值 范围 是（ ） A 2 , ( B 0 , ( C 1 , ( D ) , 1 【答案 】B 【解析 】 试题分 析
2、： 由题 意得 ， 函 数 的导函 数为 1 () f x a x ， 因 为函 数 x ax x f ln ) ( 在区 间 ) , 1 上为 减函 数， 所以 ( ) 0 fx 恒成立 ， 即 1 0 a x 在区间 ) , 1 上 恒成立 ， 即 1 a x 在区间 ) , 1 上恒 成 立， 所以 0 a ， 故选 B 考点： 利用 导 数研究 函数 的性质 3. 已 知直 线 0 8 9 y x 与曲线 x mx x y C 3 : 2 3 相交 于 B A, 两点， 且曲 线C 在 B A, 两点 处的切 线平 行， 则实 数m 的值为（ ） A 4 或3 B 4 或3 或1 C
3、1 或3 D 3 2 【答案 】A 【解析 】 考点： 导数 的综 合应 用问 题 4. 已 知函 数 () fx （xR ） 图象 上任 一点 00 ( , ) xy 处的切 线方 程为 2 0 0 0 0 ( 2)( 1)( ) y y x x x x ， 那么 函数 () fx 的单调 减区 间是 （ ） A 1, ) B ( , 2 C ( , 1) 和 (1, 2) D2, ) 【答案 】C 【解析 】 试题分 析： 因为 函数 , f x x R 上任 一点 00 ( , ) xy 的切线 方程 为 2 0 0 0 0 ( 2)( 1)( ) y y x x x x ， 即 函 数
4、在任 一点 00 ( , ) xy 的切 线斜 率为 2 00 21 k x x , 即知任 一点 的导 数为 2 21 f x x x . 由 2 2 1 0 f x x x ,得 1 x 或12 x , 即函数 fx 的单 调递 减区间 是 ( , 1) 和 (1, 2).故 选 C. 考点：1 、 导数 的几 何意 义 ；2 、 导数 在研 究函 数中 的 应用. 3 5. 已 知实 数 b a, 满足 R c b a a , 0 ln 5 2 2 ，则 2 2 ) ( ) ( c b c a 的最 小值为 （ ） A 2 1B 2 2C. 2 2 3D 2 9【答案 】C 【解析 】
5、考点： 导数 的应 用问 题. 6. 若 函数 1 (x) (a 0,b 0) ax fe b 的图 象在 0 x 处的 切 线与圆 22 1 xy 相切 ，则ab 的最 大值 是 . 【答案 】 2 【解析 】 试题分 析： 由 1 (x) (a 0,b 0) ax fe b ，则 (x) ax a fe b ，且 (0) a f b ，又 1 (0) f b ， 所 以切 线 方程为 1 a yx bb ，即 10 ax by ，又因为切线与圆 22 1 xy 相切，所以 22 1 1 d ab ，即 22 1 ab ， 因为 0, 0 ab ， 所 以 22 2 a b ab ， 所以
6、2 2 2 2( ) ( ) a b a b ， 所以 2 ab ， 所以ab 的最大 值是 2 . 考点： 导数 在函 数中 的应 用. 7. 已 知定 义在 , 0 上的 函数 x f ， 满足 （1 ） 0 x f ；（ 2 ） x f x f x f 2 （其中 x f 是 x f 的导函 数，e 是自 然对 数的 底数） ，则 2 1 f f 的范 围为 （ ） 4 A（ e e 1 , 2 1 2 ） B（ e e 1 , 1 2 ） C. e e 2 , D 3 ,e e 【答案 】B 【解析 】 考点：1 、 函数 与导 数；2 、构造 函数. 8. 设 函数 2 () f x
7、 ax bx c , , , a b c R ，若 函数 () x y f x e 在 1 x 处取 得极值 ，则 下列 图 象不可 能为 () y f x 的图 象是 （ ） 【答案 】D 【解析 】 试 题分 析： x y f x f x e ， 依 题意 ， 1 1 0 ff ，A ，B 选项 1 1 0 ff ，符 5 合；C 选项 1 0, 1 0 ff ，符 合；D 选项 1 0, 1 0 ff ，不符 合， 故 选 D. 考点： 函数 导数 与极 值. 9. 已知 () fx 是定义 在R 上的函 数 ，其导 函数 为 ( ) fx ，若 ( ) ( ) 1 f x f x ，
8、(0) 2016 f ，则 不等式 ( ) 2015 1 x f x e （其 中e 为自然 对数 的底数 ）的 解集 为 （ ） A ,0 0, B 0, C. 2015, D ,0 2015, 【 答案 】B 【解析 】 考点： 函数 导数 与不 等式. 【思路 点晴 】 本 题考 查函 数导数 与不 等式 ， 构 造函 数法. 是一 个常 见的 题型， 题目给 定一 个含 有导 数的 条 件 ( ) ( ) 1 f x f x ，这样 我们 就可 以构 造函 数 1 x fx gx e ，它 的导 数恰 好包 含这 个已知 条件 ，由 此可 以求出 gx 的单 调性 ，即 函数 gx 为
9、增函 数. 注意 到原 不等 式 可以化 为 2015 0 g x g ，利用 函数 的单调 性就 可以 解出 来. 10. 当 0, x 时， 不等 式 22 1 ln 0 c x cx x cx 恒成立 ，则实 数c 的取值 范围 是_ 【答案 】 1 , e 【解析 】 试 题 分 析 ： 当 0 c 时 ， 原 不 等 式 化 为 ln 0 x 不恒成立. 原 不 等 式 因 式 分 解 得 1 ln 0 cx cx x ， 0, x ，当 0 c 时， 10 cx ，由 ln 0 cx x ，有 lnx c x ，令 2 ln 1 ln , xx F x F x xx ， 所以函数
10、Fx 在区间 0,e 上 单 调 递 增 ， 在 , e 上 单 调 递 减 ， 故 在xe 处 取 得 最 大 值 ， 由 此 可 得 6 1 , c e .当 0 c 时， 1 cx 在 1 0, c 上为 正数 ， 在 1 , c 上 为负数 ， 而 1 ln 0 cx x c x ， 所以 ln cx x 为减函 数， 由于 ln ln 0 x cx x c x ， 由 于c 是负 数， 根据 前面 分析 可知， 不成 立， 所以 ln cx x 恒为负 数， 所以 1 ln 0 cx cx x 不恒 成立 ，综上 1 , c e . 考点： 函数 导数 与不 等式. 11. 若 2
11、1 ln 2 f x x m x 在 1, 是减函 数， 则m 的取值范 围是 （ ） A 1, B 1, C. ,1 D ,1 【答案 】C 【解析 】 试题分 析： 0 m f x x x ， 2 mx ，所以 1 m . 考点： 导数 与单 调性. 12. 对 二次 函数 2 f x ax bx c （a 为非零 整数） ， 四 位同 学分 别给 出 下列结 论， 其中 有且 只有 一个结 论是错 误的 ，则 错误 的结 论是（ ） A-1 是 fx 的零点 B1 是 fx 的极 值点 C. 3 是 fx 的极值 D点 2,8 在曲线 y f x 上 【答案 】A 【解析 】 考点： 零
12、点 与极 值点. 13. 已 知函 数 2 x y 的图象 在点 ) , ( 2 0 0 x x 处的切 线为l ，若l 也与 函数 x y ln ， ) 1 , 0 ( x 的图 象相 切，则 0 x 必满 足（ ） A 2 1 0 0 x B 1 2 1 0 x C 2 2 2 0 x D 3 2 0 x 7 【答案 】D 【解析 】 试题分 析： 函数 2 yx 的导 数 y 2x ， 2 yx 在点 2 00 ( , ) xx 处的切 线斜 率为 0 2 kx ，切 线方程 为 2 0 0 0 2 y x x x x ， 设切 线 ln yx 相交的 切点 为 ,ln mm ，（01
13、m ） ， 由 ln yx 的 导数为 1 y x 可得 0 1 2x m ，切线 方程 为 1 ln y m x m m ，令 0 x ，可得 2 0 ln 1 y m x ，由01 m 可得 0 1 2 x ，且 2 0 1 x ，解得 0 1 x 由 0 1 2 m x ，可得 2 00 , ln 2 1 0 xx ，令 2 ln 2 1, f x x x 1 1, 2 0, x f x x f x x 在 1 x 递增 ， 且 2 2 ln 2 2 1 0, 3 3 ln 2 3 1 0 ff ， 则有 2 00 ln 2 1 0 xx 的根 0 2, 3 x ，故 选D. 考点：1
14、、 利用 导数 求曲 线 的切线 方程 ；2 、利 用导 数 研究函 数的 单调 性. 14. 已 知曲 线 2 () x f x x e m 在 0 x 处的 切线 与坐标 轴围 成的 三角 形的 面积为 1 6 ，则 实数m 的 值为 【答案 】 0 或 2 【解析 】 考点 1 、利 用导 数求 曲线 的切线 方程 ；2 、三 角形 的 面积公 式. 15. 已 知函 数 fx 的导数 为 fx ，且 10 x f x xf x 对 0, x 恒成立， 则下 列不 等 式一 定成立 的是 （ ） A 1 2 2 f ef B 12 ef f C. 10 f D 22 ef e f 【答案
15、 】A 【解析 】 试题分 析： 由 10 x f x xf x 得 1 0, 0 x x x x e f x xe f x xe f x . 设 , x F x xe f x F x 在 0, 上递增 ，则 2 0 1 2 , 0 1 2 2 F F F ef e f ， 8 0 1 2 2 f ef ，故 A 对、B 错 ，对 于选 项B 和D，若 f x x （满足 10 x f x xf x 对 0, x 恒成立 ） ， 则 1 2 , ef f 22 ef e f ，从 而B 和D 都是 错误 的， 故选A. 考点：1 、 利用 导数 研究 函 数的单 调性 ；2 、函 数的 求 导
16、法则 及构 造函 数比 较大 小. 16. 已 知函 数 () xx f x e ae 为偶函 数 ， 若曲线 () y f x 的一 条切 线的 斜率 为 3 2 ， 在 切点 的横 坐标 等于 （ ） A ln 2 B 2ln 2 C 2 D 2 【答案 】A 【解析 】 考点：1 、 函数 的奇 偶性 ；2、利 用导 数求 曲线 切线 斜 率. 17. 若 32 ( ) 1 f x x ax 在 (1,3) 内单调 递减 ，则 实数a 的范围 是 （ ） A ( ,3 B 9 , ) 2 C 9 (3, ) 2D 0,3 【答案 】B 【解析 】 试题分 析： 因为 函数 32 ( )
17、1 f x x ax 在 (1,3) 内单调递 减 ， 所以 2 3 2 0 f x x ax ，在 (1, 3) 内恒成 立，即 3 2 ax 在 1,3 内恒成 立， 因为 39 , 22 x 所以 9 2 a ，故 选B. 考点：1 、 利用 导数 研究 函 数的单 调性 ；2 、不 等式 恒 成立问 题及 “分 离常 数 ” 在解题 中的 应用. 18. 函数 4 ln 1 f x kx x x x ， 若 0 fx 的解 集为 st ， ， 且 st ， 中只有 一个 整数 ， 则实 数k 的 取值范 围为 （ ） A 1 1 4 2 ln 2 ln3 3 ， B 1 1 4 ( 2
18、 ln 2 ln3 3 ， C. 1 4 1 ( 1 ln3 3 2ln 2 ， D 1 4 1 ,1 ln3 3 2ln 2 【答案 】B 【解析 】 9 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -1 1 2 3 4 5 6 x y O考点：1 、 利用 导数 研究 函 数的单 调性 ；2 、不 等式 的 整数解 及数 形结 合思 想的 应用. 19. 定 义在R 上的 函数 fx 的导 函数为 fx ， 若 对任 意实 数x ，有 f x f x ，且 2017 fx 为 奇函数 ，则 不等 式 2017 0 x f x e 的解集 是（ ） A ,0 B 0, C 1 , e D 1 , e
19、 【答案 】B 【解析 】 试题分 析 ： 设 x fx gx e ，则 0 x f x f x gx e ， 所 以 gx 是R 上 的减函 数 ， 由 于 2017 fx 为 奇 函 数 ， 所 以 0 2017, 0 2017 fg ， 因 为 2017 0 2017 x x fx f x e e 即 0 g x g ，结合 函数 的单 调性 可知 0 x ，所以 不等 式 2017 0 x f x e 的解集 是 0, ，故选 B. 考点： 利用 导数 研究 函数 的单调 性 20. 抛 物线 2 1 2 xy 在第 一象 限内 图像上 的一 点 2 ( ,2 ) ii aa 处的切
20、线与x 轴交点 的横 坐标 记为 1 i a ，其 中 * iN ，若 2 32 a ，则 2 4 6 aaa 等于（ ） 10 A21 B 32 C42 D 64 【答案 】C 【解析 】 考点： 导数 的几 何意 义及 等比数 列求 和. 21. 若 函数 () fx 在区 间A 上， a ，b ，cA ， () fa ， () fb ， () fc 均可 为一 个三 角 形的三 边长 ， 则 称 函数 () fx 为“三 角形 函数 ” 已 知函数 ( ) ln f x x x m 在区 间 2 1 ,e e 上是“ 三角 形函数 ” ， 则实 数m 的 取值范 围为（ ） A 2 12
21、 ( , ) e ee B 2 ( , ) e C 1 ( , ) e D 2 2 ( , ) e e 【答案 】A 【解析 】 试题分析：根据“三 角形函数”的定义可知，若 () fx 在区间A 上的“三角形函数 ” ， 则 fx 在A 上 的最大 值和 最小 值应 满足 2 Mm ，由 ln 1 0 f x x 可得 1 x e ， 所以 fx 在 2 11 , ee 上单调 递 减， 在 1 ,e e 上单 调递 增， min max 11 , f x f m f x f e m e ee ，所 以 1 20 e m m e ， 解得m 的取值 范围 为 2 12 ( , ) e ee
22、，故 选A. 考点： 利用 导数 研究 函数 在闭区 间上 的最 值. 22. 若 函数 32 2 3 1 0 0 ax x x x fx ex 在 2, 2 上的最 大值 为2， 则实 数a 的取值 范围 是 【答案 】 ln 2 a 【解析 】 11 试题分 析： 当20 x 时, 2 6 6 , 2 1 f x x x x 时， 0 fx ,10 x 时， ( ) 0 fx ， 1 x 时 () fx 有最 大值 为 2 ；当02 x 时， () ax f x ae ， 0 a ， (2) 2 f ， 2 2 a e ， 0 ln 2 a ； 0 a 时， ( ) 1 fx 满足 题意
23、； 0 a 时， (0) 2 f .综 合以上 情况 ln 2 a . 考点： 函数 的最 值与 导数. 23. 已知aR ，若 x a f x x e x 在区间 （0,1 ）上有 且只 有一 个极 值点 ，则a 的取值 范围 为（ ） A 0 a B 1 a C 1 a D 0 a 【答案 】A 【解析 】 考点： 导数 与极 值点. 24. 已 知函 数 2x f x e ， 1 ln 2 g x x ，对 aR ， 0, b ， 使得 f a g b ，则ba 的 最小值 为（ ） A ln 2 1 2 B ln 2 1 2 C.21 e D 1 e 【答案 】A 【解析 】 试 题
24、分 析 ： 令 2 1 ln 2 x e x t ，解得 1 2 ln , 2 t t a b e ， 1 2 ln 2 t t b a e ，令 1 2 ln 2 t t h t e ， 1 2 1 2 t h t e t ，导函数为增函数，且 1 0 2 h ，所以函数 在 1 0, 2 递减， 1 , 2 递 增 ， 最 小 值 为 12 1 ln 2 1 22 h . 考点： 用导 数研 究函 数图 象与性 质. 25. 已 知函 数 2 3 2 5 ln , 2 6, 2 f x x ax a x a R g x x x x g x 在 1, 4 上的最 大 值为 b ，当 1, x 时， f x b 恒成立 ，则a 的取 值范围 是 （ ） A 2 a B 1 a C. 1 a D 0 a 【答案 】B 【解析 】 考点： 导数 的应 用.
