1、将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统。 这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动微分方程为常微分方程组。,第4章 多自由度系统,本章内容： 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有频率和振型的理论； 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 用变换方法求多自由度系统动力响应的问题。,4.1 运动微分方程,n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为,一般 MCK 不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解耦是在时域内求解方程的重要一环。,分别叫：,在静力学中，各自由度的位移x、系统的刚度矩阵K、各自由度上所受到的外力关系为：,刚度矩阵
2、K的元素kij的意义 ：,如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。,K的定义：外力f正好是刚度矩阵K的第 j 列。,系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移为零这种变形状态可以由向量xej描述。为使系统保持ej的变形状态，所加的外力为：,例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。,解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即x=yA,yB,y1,y2T 各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。,如何根据上述定义，写K?,(1) 求K的
3、第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时：,外力f=?,f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=0,(2)求K的第二列：yBk120， k22k4， k32=0， k42=-k4,坐标x=yA,yB,yl,y2T,(3)求K的第三列。设yl k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0,(4)求K的第四列。设y2 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k2+k4,三种求K的方法：？,牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。,坐标x=yA,yB,yl,y2T,质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。,用求偏倒的方法写M
4、 C K矩阵：,定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：,1) 写系统的动能、能量耗散函数和势能,2) 求偏倒,3) 得到矩阵,针对本例：系统的动能为杆的平动动能和转动动能与两个质量的动能之和，设杆的质心在杆的中点，质量为M。系统的动能为：,坐标系 x=yA,yB,y1,y2T,由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统的惯性力、阻尼力和弹性力：,它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻尼力和弹性力。,求解方程,的一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。也就是解耦。 新坐标系与原坐标系存在线性变换关系，因此，要寻找一个可逆线性变换矩阵
5、u，将质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵变换为对角矩阵。 为此，我们讨论线性变换前后多自由度系统运动微分方程的关系。,设有可逆线性变换u，使得,因而有,称x为旧坐标系，y为新坐标系。,系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关，也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：,新旧坐标系下矩阵的关系：,两边左乘uT ，根据：,将x=uy代入方程：得到，新坐标系y下的运动微分方程：,得到：,其中：,是新坐标y下的广义激励。,此时，方程解耦了！,为求x=uy的逆变换，在其两边左乘uTM得,即：,坐标系y下的初始条件为：,问题转化为坐标y 微分方程的定解,思路：,x坐标系下的微分方程和初试条件,x坐标系
6、下的微分方程解,y坐标系下的微分方程和初试条件,耦合，不能求解,u坐标转换,解耦,y坐标系下的微分方程解,微分方程相互，可求解,u-1坐标逆转换,4.2 固有频率与振型,系统的固有频率和振型一一对应。 系统求解的思路： 设系统解为简谐振动： 代入微分方程： 得到广义特征值问题： 得到特征方程或频率方程： 求得w1，w2并取w1w2 ; 代回广义特征值问题，求得振型u。,无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：,在特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是简谐振动，也就是固有振动。形式为：,其中，u和w是待求的振型和固有频率。,这就是频率方程。,将,代入方程,得到,方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式
7、为零，即：,这是以w2为未知数的n次代数方程，解之可得n个根，w1， w2 ， wn 。依次代入广义特征值问题方程可以得到n个方程,广义特征值问题,求出与w2r相对应的非零的ur 。就是与固有频率对应的振型。,由：,固有频率,振型,如果w2r是是频率方程（4.13）的k重根（k正整数，kn）,则有：,此时系数矩阵的秩为n-k。,例4.2 如图所示：两个相同的质量以弹簧相联。求它的固有频率与振型。,1)两个质量以相同位移同向运动时：弹簧无变形，整个系统如同一个刚体在运动。即振型为u1=1,1T时，w120,2)两个质量以相同位移反向运动时：弹簧有变形，势能大于零。即振型为u2=-1,1T时，w2
8、20。,这是一个对称系统，对称点为弹簧是的中点。它有两种固有振动：,1)写K M：,2) 由特征方程计算固有频率：,3) 取wr2的正平方根wr，称为系统的第r阶固有频率，而相应地称ur为系统的第r阶固有振型，简称振型。并将固有频率按由小到大的顺序编号,系统的固有频率和振型与激励无关，由K和M决定。,同样，由能量法可获得相同的结果：,如果振型ur 满足 则对任意非零常数c，cur也满足上式。 即振型只是给出了振动方向和相对振幅，而振型大小需要人为指定。称指定振型的大小为振型的正规化。,(1)令ur满足,此时在式(4.14)两边左乘urT可得,振型正规化方案有多种，常用的有以下几种：,(2)令u
9、r的某一分量（常取绝对值最大的分量 ）为1；其他分量等比缩小。,如： ur=2, 1.4, 0.8, 0.6正规化 得到：ur=1, 0.7, 0.4, 0.3,振型的性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为振型的正交性。,前提：,数学表示为：,证明过程：,由,可得,这里,左乘usT 得：,左乘urT ，再转置得：,不为0,因此：,即：振型的正交性,振型正交性的物理意义：,假定系统的位移可以表示为第s和第r阶两个振型的线性组合，即：,其中：ur、us 对质量矩阵归一；a(t)、b(t)是时间的标量函数。 则系统的动能和势能为 ：,令：,则：,它们分别是第
10、r、s阶振型单独存在时系统的动能和势能，称为系统的第r、s阶动能和势能。,这个结论对位移是任意k (kn)个振型的线性组合的情况也成立。,更进一步：各个振型之间的动能、势能不交换。各振型在振动时相互独立、互不影响，如同一组彼此没有关系的单自由度系统振动时的情形一样。,由全体振型构成的向量组是线性无关的。是一个基。,响应x 可以被系统的振型线性表出 ：,即：展开定理。振动系统响应是系统n个振型的线性组合。,矩阵形式：x=uy,振型的正规正交化条件：,1)先引入符号,是单位矩阵E的元素,2)振型的正规正交化条件可写为：,定义振型矩阵u，它的列向量为相应的振型，即,因此，有,且,同样,因此：属于不同
11、固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这就是振型的正交性。,更进一步，证明：由全体振型ur构成的向量组u是线性无关的。,1)线性无关定义：,如果一组向量x1，x2，xn由方程,只能得出， 则向量x1，x2，xn线性无关。也就是说，它们是x空间的一个正交基。,2) 同样，如果u空间（振型空间）有：,则方程两边左乘u1TM得：,由于振型的正交性，有,不为0,所以有,3)按此方法，依次对 两边左乘 ，将得到,4) 因此振型u1，u2，un是线性无关的。振型矩阵u的列向量是线性无关的；振型矩阵u为可逆矩阵。,振型ur是n维向量空间的一个向量，且n个振型是线性无关的，因此：n个振型构成了
12、n维向量空间中的一个基，任何一个向量都可以被这n个振型线性表出。 系统n个振型构成的广义坐标为振型坐标，系统所有的响应振动，都是这个基的线性组合。,三维向量空间的直角坐标基,三维向量空间的柱坐标基,n自由度振动系统的响应x也是n维向量，可以被系统的振型ur线性表示，即有:,这就是展开定理，其中yr(r1，2，n)是响应x在第r个基向量ur下的坐标（系数）。,振动系统的响应是系统n个振型的线性组合。,展开定理的矩阵形式为：,x=uy,其中，y的分量为响应x在系统振型u下的坐标。,以式(4.29)取代式(4.5)，可以得到在振型坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程。,在振型u坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程为,分量形式为,小结：,运动微分方程的列法：能量法， 矩阵M K C 系统的固有频率和振型： 求固有频率和振型的方法：特征值问题、频率方程 振型的正规化、正交性 系统响应：系统n个振型的线性组合。,作业：4.1和4.2（改为求系统的全部固有频率和振型）,
