1、1二次函数表达式的三种常见求解方法 方法一 已知图象上任意三点，通常设一般式1已知二次函数的图象经过 A(0，0)， B(1，11)， C(1，9)三点，则这个二次函数的表达式是( )A y10 x2 xB y10 x219 xC y10 x2 xD y x210 x2已知抛物线 y ax2 bx c经过点(1，0)，(1，6)，(2，6)，则该抛物线与 y轴交点的纵坐标为_3如图 1ZT1 所示，二次函数 y ax2 bx c的图象经过 A， B， C三点(1)观察图象，写出 A， B， C三点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴图 1ZT14跳绳时，绳甩到最
2、高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB为 6米，到地面的距离 AO和 BD均为 0.9米，身高为 1.4米的小丽站在距点 O的水平距离为 1米的点 F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E，以点 O为原点建立如图1ZT2 所示的平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为 y ax2 bx0.9.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如果小明站在 OD之间，且离点 O的距离为 3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他2的头顶，请你算出小明的身高；(3)如果身高为 1.4米的小丽站在 OD之间，且离点 O的距离为 t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象写出 t的取值范围
3、图 1ZT2 方法二 已知二次函数图象的顶点和图象上另外一点，通常设顶点式5已知抛物线 y ax2 bx c的顶点坐标是(1，3)，且过点(0，5)，那么该抛物线的函数表达式为( )A y2 x24 x5 B y2 x24 x5C y2 x24 x1 D y2 x24 x36已知抛物线经过点(3，0)，(2，3)，并以直线 x0 为对称轴，则该抛物线的函数表达式为_图 1ZT37如图 1ZT3 所示，直线 y x2 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B.若抛物线y ax2 bx c以 A为顶点，且经过点 B，则这条抛物线的函数表达式为_8如图 1ZT4，二次函数 y ax24 x c的图象的
4、顶点坐标为(2，4)3(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线上存在点 P，满足 S AOP8，请直接写出点 P的坐标图 1ZT49如图 1ZT5 所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB和矩形的三边 AE， ED， DB组成已知河底 ED是水平的， ED16 米， AE8 米，抛物线的顶点 C到 ED的距离是 11米，以 ED所在的直线为 x轴，抛物线的对称轴为 y轴建立平面直角坐标系(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED的距离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系式 h (t19) 28(0 t40)
5、，且当水面到顶点 C的距离不1128大于 5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？图 1ZT5 方法三 已知图象与 x轴的两个交点坐标和另外一点坐标，通常设交点式10若抛物线 y ax2 bx c与 x轴的两个交点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，其4形状及开口方向与抛物线 y2 x2相同，则该抛物线的函数表达式为( )A y2 x2 x3 B y2 x24 x6C y2 x24 x8 D y2 x24 x511已知二次函数的图象经过点(2，3)，对称轴为直线 x1，与 x轴的两交点间的距离为 4，则这个二次函数的表达式为_122017安徽二模已知二次函
6、数图象经过点 A(3，0)， B(1，0)， C(0，3)，求此二次函数的表达式13如图 1ZT6，已知抛物线 C1经过点 A(1，0)， B(3，0)， C(0，3)，(1)求抛物线 C1的函数表达式；(2)将抛物线 C1向左平移几个单位，可使所得的抛物线 C2经过坐标原点？并写出抛物线 C2的函数表达式图 1ZT656详解详析1D243解：(1) A(1，0)， B(0，3)， C(4，5)，抛物线的函数表达式为 y x22 x3.(2)此抛物线的顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线 x1.4解：(1)由题意，得点 E(1，1.4)， B(6，0.9)，代入 y ax2 bx0.9，得 a
7、b 0.9 1.4，36a 6b 0.9 0.9.)解得 a 0.1，b 0.6. )该抛物线的函数表达式是 y0.1 x20.6 x0.9.(2)把 x3 代入 y0.1 x20.6 x0.9，得 y0.13 20.630.91.8，小明的身高是 1.8米(3)当 y1.4 时，0.1 x20.6 x0.91.4，解得 x11， x25，1 t5.5B6 y x2 解析 设抛物线的函数表达式为 y ax2 c(a0)，35 275则 解得9a c 0，4a c 3， ) a 35，c 275.)抛物线的函数表达式为 y x2 .35 2757 y x22 x2128解：(1)二次函数的表达式
8、为 y x24 x.(2)易求得点 A的坐标为(4，0)，7 AO4.设点 P到 x轴的距离为 h，则 S AOP 4h8，解得 h4，12当点 P在 x轴上方时， x24 x4，解得 x1 x22，点 P的坐标为(2，4)当点 P在 x轴下方时， x24 x4，解得 x122 ， x222 ，2 2点 P的坐标为(22 ，4)或(22 ，4)2 2综上所述，点 P的坐标是(2，4)，(22 ，4)，(22 ，4)2 29解：(1)点 C到 ED的距离是 11米， OC11.设抛物线的函数表达式为 y ax211，由题意得 B(8，8)，将 B点坐标代入 y ax211，得 64a118，解得
9、 a ，364 y x211.364(2)水面到顶点 C的距离不大于 5米，即水面与河底 ED的距离 h至少为 1156(米)，6 (t19) 28，1128( t19) 2256，解得 3 t35，35332(时)答：需 32小时禁止船只通行10B11 y x22 x3 解析二次函数的图象与 x轴的两交点间的距离为 4，且以直线 x1 为对称轴，8图象与 x轴两交点的坐标为(1，0)，(3，0)设二次函数表达式为 y a(x1)( x3)，又抛物线过点(2，3)，3(21)(23) a，解得 a1，二次函数的表达式为 y( x1)( x3) x22 x3.12解：设二次函数的表达式为 y a(x3)( x1)，把 C(0，3)代入得 a3(1)3，解得 a1，所以二次函数的表达式为 y( x3)( x1)，即 y x22 x3.13解：(1)抛物线 C1经过点 A(1，0)， B(3，0)，可设其函数表达式为 y a(x1)( x3)将 C(0，3)代入，得 a1， y( x1)( x3) x22 x3.(2)将抛物线 C1向左平移 3个单位，可使得到的抛物线 C2经过坐标原点 y x22 x3( x1) 24，抛物线 C2的函数表达式为 y( x13) 24，即抛物线 C2的函数表达式为 y x24 x.
