1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页淄川区第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知 f（x）在 R 上是奇函数，且满足 f（x+4 ）=f（x），当 x（0，2）时，f（x）=2x 2，则 f（2015）=（ ）A2 B 2 C8 D82 常用以下方法求函数 y=f（x） g（x） 的导数：先两边同取以 e 为底的对数（e2.71828，为自然对数的底数）得 lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得 y=g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x），即 y=f（x）g（x） g（x）lnf （x）+g（x）ln
2、f（x） 运用此方法可以求函数 h（x）=x x（x0）的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）Ah（ ） Bh（ ） Ch（ ） Dh（ ）3 已知直线 y=ax+1 经过抛物线 y2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ）A0 B C D4 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M（2，y 0）若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|=（ ）A B C4 D5 已知直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 A、B ，O 是坐标原点，且 ，那么实数 a 的取值范围是（ ）A B CD6 “ ”是“圆 关于直线 成轴对称图形”的（ ）
3、3ba 05622ayxbxy2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度7 若直线 与曲线 ： 没有公共点，则实数 的最大值为（ ）:1lykxC1()exfxkA1 B C1 D23精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力8 棱台的两底面面积为 、 ，中截面（过各棱中点的面积）面积为 ，那么（ ）1S2 0SA B C D0122S012S1220
4、12S9 下列式子表示正确的是（ ）A、 B、 C、 D、,3,3,10函数 的最小正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应该是（ ）A10 B11 C12 D1311函数 f（x）=ax 2+bx 与 f（x）=log x（ab 0，|a|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D12已知 ，若不等式 对一切 恒成立，则 的最大值为（ 2,0() axf(2)(fxfxRa）A B C D716916114精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页二、填空题13一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_14设 f（x）是奇
5、函数 f（x）（xR ）的导函数，f （ 2）=0，当 x0 时，xf（x） f（x）0，则使得f（x）0 成立的 x 的取值范围是 15方程 有两个不等实根，则的取值范围是 243k16设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m= 17设 m 是实数，若 xR 时，不等式|x m|x1|1 恒成立，则 m 的取值范围是 18在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为 2cos2=sin 与 cos=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为 三、解答题19（本小题满分 12 分）已知向量 满足： ，
6、， .,ab|1|6b()a（1）求向量与的夹角；（2）求 .|精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页20设定义在（0，+）上的函数 f（x）= ，g（x）= ，其中 nN*（）求函数 f（x）的最大值及函数 g（x）的单调区间；（）若存在直线 l：y=c（c R），使得曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线 l 的两侧，求 n 的最大值（参考数据：ln4 1.386，ln5 1.609）21 23()sinsifxx.（1）求函数 f的单调递减区间；（2）在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，若 ()12Af， BC的面积为 3，求的最小值.22已知函数 21+|0()x
7、f（1）画出函数 的图像，并根据图像写出函数 的单调区间和值域；f ()fx（2）根据图像求不等式 的解集（写答案即可）3()2f精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页xy -33-2-121-3-2- 32023设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，S n=nann（n 1）（1）求证：数列a n为等差数列，并分别求出 an的表达式；（2）设数列 的前 n 项和为 Pn，求证：P n ；（3）设 Cn= ，T n=C1+C2+Cn，试比较 Tn与 的大小精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页24设极坐标与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴坐标轴为极轴
8、，曲线 C1的极坐标方程为 2cos2+3=0，曲线 C2的参数方程为 （t 是参数，m 是常数）（）求 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程；（）若 C1与 C2有两个不同的公共点，求 m 的取值范围精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页淄川区第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1 【答案】B【解析】解：f（x+4 ）=f（x），f（2015）=f（5044 1）=f（1），又f（x）在 R 上是奇函数，f（ 1）=f （ 1）=2故选 B【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题2 【答案】B【解析】解：（h（x）
9、=x xxlnx+x（lnx ）=xx（lnx+1），令 h（x）0，解得：x ，令 h（x）0，解得：0x ，h（x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增，h（ ）最小，故选：B【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查3 【答案】D【解析】解：抛物线 y2=4x 的焦点（1，0），直线 y=ax+1 经过抛物线 y2=4x 的焦点，可得 0=a+1，解得a=1，直线的斜率为1，该直线的倾斜角为： 故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力4 【答案】B【解析】解：由题意，抛物线关于 x 轴对称，开口向右，设方程为 y2=2
10、px（p0）精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页点 M（2，y 0）到该抛物线焦点的距离为 3，2+ =3p=2抛物线方程为 y2=4xM（2，y 0）|OM|=故选 B【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程5 【答案】A【解析】解：设 AB 的中点为 C，则因为 ，所以|OC|AC| ，因为|OC|= ，|AC| 2=1|OC|2，所以 2（ ） 21，所以 a1 或 a1，因为 1，所以 a ，所以实数 a 的取值范围是 ，故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题6 【答案】【
11、解析】精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页7 【答案】C【解析】令 ，则直线 ： 与曲线 ： 没有公共点，11exgxfkxkl1ykxCyfx等价于方程 在 上没有实数解假设 ，此时 ， 又函0R0g10ekg数 的图象连续不断，由零点存在定理，可知 在 上至少有一解，与“方程 在 上gx xRgxR没有实数解”矛盾，故 又 时, ,知方程 在 上没有实数解，所以 的最1k1egx大值为 ，故选 C18 【答案】A【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：2h，解得 ，故选 A20()aSh0S考点：棱台的结构特征9 【答案】D【解析】试
12、题分析：空集是任意集合的子集。故选 D。考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。10【答案】D【解析】解：函数 y=cos（ x+ ）的最小正周期不大于 2，T= 2，即|k| 4，精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页则正整数 k 的最小值为 13故选 D【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键11【答案】 D【解析】解：A、由图得 f（x）=ax 2+bx 的对称轴 x= 0，则 ，不符合对数的底数范围，A 不正确；B、由图得 f（x）=ax 2+bx 的对称轴 x= 0，则 ，不符合对数的底数范围， B 不正确；C、由 f（x）=ax 2+
13、bx=0 得：x=0 或 x= ，由图得 ，则 ，所以 f（x）=log x 在定义域上是增函数，C 不正确；D、由 f（x）=ax 2+bx=0 得：x=0 或 x= ，由图得 ，则 ，所以 f（x）=log x 在定义域上是减函数，D 正确【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力12【答案】C 【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题当 （如图 1）、 （如图 2）时，不等式不可能恒成立；当 时，如图 3，直线0a0a 0a与函数 图象相切时， ，切点横坐标为 ，函数 图象经过点2()yxyx916a82yax时， ，观察图象可得 ，选 C, 2二
14、、填空题13【答案】【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】正方体 中，BC 中点为 E，CD 中点为 F，则截面为即截去一个三棱锥 其体积为：所以该几何体的体积为：故答案为：精选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页14【答案】 （2，0）（2，+） 【解析】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x0 时总有 xf（x） f（ x）0 成立，即当 x0 时，g（x）0，当 x0 时，函数 g（x）为增函数，又 g（ x）= = = =g（x），函数 g（x）为定义域上的偶函数，x 0 时，函数 g（x）是减函数，又 g（ 2）= =0=g（ 2），x
15、0 时，由 f（x）0，得：g（x）g（2），解得：x2，x0 时，由 f（x）0，得： g（x）g（2），解得：x2，f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是：（2，0）（2，+）故答案为：（2，0）（2， +）15【答案】 53,14【解析】试题分析：作出函数 和 的图象，如图所示，函数 的图象是一个半2yx23ykx24yx圆，直线 的图象恒过定点 ，结合图象，可知，当过点 时， ，当3kx, ,0304k直线 与圆相切时，即 ，解得 ，所以实数的取值范围是 .2y2(0)1k512k5,12111精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页考点：直线与圆的位置关系的应用【方法点晴】本题主
16、要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.16【答案】 2 【解析】解：函数可化为 f（ x）= = ，令 ，则 为奇函数， 的最大值与最小值的和为 0函数 f（x）= 的最大值与最小值的和为 1+1+0=2即 M+m=2故答案为：217【答案】 0，2 【解析】解：|x m|x1|（x m） （x1）|=|m1|，故由不等式|x m|x1|1 恒成立，可得|m1| 1，1m11，
17、求得 0m2，故答案为：0，2【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题18【答案】 （1，2） 精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页【解析】解：由 2cos2=sin，得：2 2cos2=sin，即 y=2x2由 cos=1，得 x=1联立 ，解得： 曲线 C1与 C2交点的直角坐标为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题三、解答题19【答案】（1） ；（2） 37【解析】试题分析：（1）要求向量 的夹角，只要求得这两向量的数量积 ，而由已知 ，结合数,ab a
18、b()2ab量积的运算法则可得 ，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式 ，把 a考点：向量的数量积，向量的夹角与模【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式 求得这cos,ab两个向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在 内及余弦值求出两向量的夹角0,20【答案】 【解析】解：（）函数 f（ x）在区间（0，+ ）上不是单调函数证明如下，精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页，令 f（x）=0，解得 当 x 变化时，f（x）与 f（x）的变化
19、如下表所示：xf（x） + 0 f（x） 所以函数 f（x）在区间 上为单调递增，区间 上为单调递减所以函数 f（x）在区间（0， +）上的最大值为 f（ ）= = g（x）= ，令 g（x）=0，解得 x=n当 x 变化时，g（x）与 g（x）的变化如下表所示：x （0，n） n （n，+）g（x） 0 +g（x） 所以 g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+）上单调递增（）由（）知 g（x）的最小值为 g（n）= ，存在直线 l：y=c（cR ），使得曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线 l 的两侧， ，即 en+1nn1，即 n+1（n1）lnn ，当 n=1 时，成立
20、，当 n2 时， lnn，即 0，设 h（n）= ，n2，则 h（n）是减函数，继续验证，当 n=2 时，3 ln20，精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页当 n=3 时，2 ln30，当 n=4 时， ，当 n=5 时， ln5 1.60，则 n 的最大值是 4【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题21【答案】（1） （ ）；（2） .5,36kk3【解析】试题分析：（1）根据 可求得函数 ()fx的单调递减区间；（2）由2x可得 ，再由三角形面积公式可得 ，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 12Af32bc试题解析:（1） 13()c
21、os2insi()6fxxx，令 26kk，解得 5kk， Z， ()fx的单调递减区间为 5,36（ Z）.考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页22【答案】（1）图象见答案，增区间： ，减区间： ，值域： ；（2） 。,22,3,1【解析】试题分析：（1）画函数 的图象，分区间画图，当 时， ，此时为二次函数，fx0x21fxx开口向下，配方得 ，可以画出该二次函数在 的图象，当211420时， ，可以先画出函数 的图象，然后再向下平移 1 个单位就得到 时相0x()xf ()xy x应的函数图象；（2）作出函数
22、的图象后，在作直线 ，求出与函数 图象交点的横坐标，就f 32fx可以求出 的取值范围。本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。试题解析：（1）函数 的图象如下图所示：fx由图象可知：增区间： ，减区间： ，值域为： 。,22,2（2）观察下图， 的解集为： 。3fx31考点：1.分段函数；2.函数图象。23【答案】 精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页【解析】解：（1）证明：S n=nann（n 1）Sn+1=（n+1） an+1（n+1 ）nan+1=Sn+1Sn=（n+1）a n+1nan2nnan+1nan2n=0an+1an=2，an是以首项为 a1=1，公
23、差为 2 的等差数列 由等差数列的通项公式可知：a n=1+（n 1） 2=2n1，数列a n通项公式 an=2n1；（2）证明：由（1）可得 ，= （3） ，= ，两式相减得 = ，= ，= ，= ， n N*，精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页2n1， ， 24【答案】 【解析】解：（I）曲线 C1的极坐标方程为 2cos2+3=0，即 2（cos 2sin2）+3=0，可得直角坐标方程：x2y2+3=0曲线 C2的参数方程为 （t 是参数，m 是常数），消去参数 t 可得普通方程：x2y m=0（II）把 x=2y+m 代入双曲线方程可得： 3y2+4my+m2+3=0，由于 C1与 C2有两个不同的公共点，=16m 212（m 2+3）0，解得 m 3 或 m3，m3 或 m 3【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
