1、5.3 Helmholtz 方程的Green函数 含时 Helmholtz 方程： ()() ()trftruattru,2222vvv+=（ 1） 当源为谐振源，即 ( )()tierftrf=vv, ，公式（ 1）变为 () ()rfruauvv+=222 ，整理得 () ( )rfukruvv=+22（ 2） 其中，222ak= 为波数。 （ 2）式即为有源 Helmholtz 方程。 一维 Helmholtz 方程： ()xfukdxud=+222二维 Helmholtz 方程： ()yxfukdyuddxud,22222=+ 三维 Helmholtz 方程： ()zyxfukdzud
2、dyuddxud,2222222=+ 对无限空间来说，只要得到上述三个 Helmholtz 方程相对应的 Green 函数方程的解，然后再利用 () ()( )000, dVrrGrfru=vvvv（ 3） 即可得到一维、二维、三维 Helmholtz 方程的解。 因此，下面，我们将针对一维、二维、三维 Helmholtz 方程对应的 Green 函数方程的解分别进行讨论。 一、 一维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解 一维 Helmholtz 方程 ()xfukdxud=+222（ 4） 其对应的 Green 函数方程： ()0222xxGkdxGd=+ （ 5） 利用
3、傅里叶变换，可得 () ()022 xieGkG=+ ()220keGxi=（ 6） 利用傅里叶逆变换 ()()()()=+=0)Im(,20)Im(,22121000022kekikekidkkedekexGxxikxxikxxixixi因此，一维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解 ()=0)Im(,20)Im(,200kekikekixGxxikxxik（ 7） 补充 ：利用留数定理求解积分( )()()0)Im(,210+kdkkexxi（ 1） 当 00 xx 时，在 x 轴上半平面建立闭合曲线路径 k()()()( )()()()ksfidzkzkzedkkeC
4、RxxizxxiRe200=+由约当引理得，当 00 xx ，上半圆的积分( )()()0lim0=+ CRxxizRdzkzkze，因此 ()()()() ( )( )()()()000lim2Re2xxikxxizkzxxiekikzkzekziksfidkke=+=+( )()()()00221xxikxxiekidkke=+（ 2） 当 00=+kekidkkexxikxxi同理可得，()()()0)Im(,22100=+=0Im,20Im,2212122222220000yyyikyyyyikyyxyxyyyikyyxyyikkekikekidkkkkkkkedkkkkeyyyy（
5、11） 其中，22xykkk = 将（ 11）式代入（ 10）式中，得 ()()22,0)Im(,4,00xyyxyyyikxxikkkkkdkkeiyxGyx=+（ 12） 2、极坐标系下 以0 作为坐标原点，0 =R ， Green 函数与极角无关， 因此极坐标系下， 二维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程： ()RRGkdRdGRdRdR 212=+，展开整理得 ()RRGRkdRdGRdRGdR 222222=+ （ 13） （ 13）式为非齐次零阶 Bessel 函数 当 0R 上述方程为： 022222=+ GRkdRdGRdRGdR （ 14） （ 14）式为零
6、阶 Bessel 方程 其解可能为 ()( )()(),(),(,201000kRHkRHkRNkRJ 线性组合而成。 考虑到 ( )ikRCekRGR , ， 上述四个特解中() ()4102)(kRiekRkRH 与 ( )kRG 的渐进趋势相近， 因此， ()( )(10kRAHkRG = （ 15） 为确定其系数 A,以0 为中心，半径 ( )0 的圆作为积分区域对 Helmholtz 方程 ()RRGkdRdGRdRdR 212=+进行积分，即 ()()12112120020022=+=+RdRdRRRdRdGkdRdGRdRdRdSRRdSGkdRdGRdRdRSS即 112002
7、=+RdRdGkdRdGRdRdR（ 16） 可证得 4iA= 因此，极坐标系下 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解为： ()()(410kRHikRG = （ 17） ()()22,0)Im(,4,00xyyxyyyikxxikkkkkdkkeiyxGyx=+（ 12）式和（ 17）式分别为直角坐标系下和极坐标系下 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解，描述同一物理问题，因此 ()()(441000kRHidkkeixyyyikxxikyx=+即()()+=xyyyikxxikdkkekRHyx 001)(10（ 18） 其物理含义为：柱面波用平面波做展
8、开。 补充 ：证明4iA= 由于 ()()(10kRAHkRG = ，且 时，0()()kikRH ln2)(10 ， 因此当 时，0 () ()kiAkRG ln2= () ()=00220022002lnlim4ln2dkikddkkiddGk ()()01lim11lim1lnlimlnlim02000=kkkkQ 上式积分为零。因此（ 16）式简化为 ()4121212ln2111102200iAiAkiAdGGdlGdSRdRddRdGRdRdRllCr=3、 Bessel 函数和 Hankel 函数的加法公式 100yxR()yx,=v， ()000, yx=v，0 =vR （ 1
9、） () () () ()()=+=ninnmnimmimmekJkJekJekRJ000v（ 19） （ 2）()() ( ) ( )()=+ 时 () ()()()()=ninnnekHkJiG01004,vv在极坐标系下 ( ) ( )0022222211 =+GkGG（ 23） ()=ninnea0()021210ininnedea=()()=nine0210 设 () ()()=ninneGG000,vvvv（ 24） ()( )()=+nininnnnneeGkGnG00 022222211最后得 ( )022222211 =+nnnGkGnG() ()0222222221 =+n
10、nnGnkGG（ 25） n 阶非齐次 Bessel 方程 () ()()()()=ninnnekHkJiG01004,vvQ 且 () ()()=ninneGG000,vvvv，比较可得 () ()()() kHkJiGnnn1004, =vv，即 n 阶非齐次 Bessel 方程 () ()0222222221 =+nnnGnkGG的解为 () ()()() kHkJiGnnn1004, =vv（ 26） 三、三维无限空间中的 Helmholtz 方程的 Green 函数 设源位于原点 ()0,0,0 ()()()zyxGkzGyGxG=+2222222（ 27） 1、在球坐标系下 由于源
11、位于原点 ()0,0,0 ，所以 Green 函数满足轴对称，与 , 无关， Helmholtz 方程简化为 ()222241rrGkdrdGrdrdr =+（ 28） 令 ()()rrgrG = () ( ) ( )() ()() () ()()rgrrrgrgrgrrrgrgdrdrrrgrrgrdrdrrrgdrdrdrdr111112222222=+=+=+=代入（ 28）式中，整理得 ()( )rrgkrg42=+ （ 29） 当 0r 时， () 0=r ， （ 29）式退化为 () 02=+ gkrg 其解为 ()ikrikrBeAerg+= （ 30） ()reBreArGik
12、rikr += (31) (1) 当波随时间变化关系为tie时， () ()() ( )reBreAerftrftkritkriti+=, 0=B （无内向波） (2) 当波随时间变化关系为tie时， () ()() ( )reBreAerftrftkritkriti+=, 0=A （无内向波） 下面仅讨论tie的情况，此时 ()reArGikr= 为了确定系数 A，必须考虑源对 Green 函数的影响，以原点为圆心， ( )0 对方程 () ()( ) ( ) 122=+dVzyxdVGkG ()()AikreeArdreAkrreikreAddrdrreAkddrreAdrdGdVkdSG
13、dVGkGrikrikrikrrikrikrikrikr 4044sinsin02222002020202222=+=+=+=+=+=41=A ()rerGikr4= （ 32） （ 32）为球面波。 2、在直角坐标系下求解 ()()()zyxGkzGyGxG=+2222222（ 33） 对其进行傅里叶变换，得 ()12222=+ Gkkkkzyx22221kkkkGzyx+= （ 34） 对（ 34）进行傅里叶逆变换，得 ()()( )()()( )( )zyxzyxzzikyxykxkizyxzyxzkykxkidkkkkkkkkkedkdkedkdkdkkkkkezyxGzyxzyx+=
14、+=222222222223212121,（ 35） （ 35）式中后面积分 ( )( )=+0)Im(,20)Im(,221222222zzikzzzikzzyxzyxzzikkekikekidkkkkkkkkkezzz，其中222yxzkkkk = （ 36） 将（ 36）式代入（ 35）式中，得 ()()+=yxzzkykxkidkdkkeizyxGzyx28,（ 37） 由（ 32） 、 （ 37）式比较可得， ( )+=yxzzkykxkiikrdkdkkeirezyx2（ 38） 其物理含义为球面波可转化为平面波的迭加。 极坐标下：yyxxekekk +=v，yxeyex +=v(
15、 ) ( ) cos kkeyexekekykxkyxyyxxyx=+=+vv因此（ 37）式变为 ()()+=0cos28, ddkkkeizyxGzzkkiz（ 39） 由 Bessel 函数积分公式 ()+=deixJimixmmcos2()=dekJik cos021代入（ 39）式，得 () ()=004,dkkkJkeizyxGzzikz（ 40） 由（ 32） 、 （ 40）式比较可得， () ()0Im,00=zzzikikrkdkkkJkeirez （ 41） （ 41）式为 Sommerfeld 积分公式。 其物理含义为：球面波可转化为柱面波的迭加。 例题：求解如下边值问题
16、的 Green 函数的解 () ( )()()( )=+=0,;,21201000000202HzHzGGHzzHzyxrzyxrrrrrGkrrG 无限维空间 Green 函数 () ()dkkkJkeirerrGzzikikrz00044,=vv在区域21HzH 中的总场可以看做由0r 发射的入射波和上下界面的反射波组成。 入射波即为 () ()dkkkJkeirrGzzikz0004,=vv， 只有平面波zikze 在上下界面发生反射，而柱面波 ( )kJ0传播方向与界面平行，不发生反射。因此，下面只需讨论平面波zikze 在上下界面发生反射 设入射平面波 ()zikzezV = ，在2
17、1HzH 区域的，总场满足 ()() ()zHikHzikzzikzzzDeUeezV+=210由边界条件得 () ()() ()+=+=22120221211011HHikHHikzHikHzHHikHHikzHikHzzzzzzzDeUeeVDeUeeV解得( )( )()() ( )()+=+=12012021201210222211HHikzHHikzHikHHikzHHikHzikzzzzzzeeeDeeeU()()( )()( )( )()120120212012100222222011,HHikzHHikzzHikHHikzHHikHzzikzzikzzzzzzzeeeeeeezzV+= ()( )()dkkkJkzzVirrGz0000,4,=vv
