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类型(详细解析)1991年全国高考数学理科.doc

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    (详细解析)1991年全国高考数学理科.doc
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    1、11991 年全国高考数学(理科 )试题考生注意:本试题共三道大题(26 个小题) ,满分 120 分一选择题(共 15 小题,每小题 3 分,满分 45 分 每小题都给出代号为 A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得 3 分,不选或选错一律得 0 分)1已知 ,并且是第二象限的角,那么 的值等于4sin5tanA B C D3434【答案】A【解析】由题设 ,所以 3cos5tan2焦点在 ,顶点在 的抛物线方程是(1,0)(1,0)A B C D82xy)(82xy)1(82xy)1(82xy【答案】D【解析】抛物线开口

    2、向左,且 ,所以 1p4p3函数 的最小正周期是xy44sincoA B C D224【答案】B【解析】 ,4422222cosin(cosin)(cosin)cosincosyxxxxx所以最小正周期是 4如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有A12 对 B24 对 C36 对 D48 对【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面 4 条边均异面,所以共有 24 对25函数 的图象的一条对称轴的方程是5sin(2)yxA B C D48x45x【答案】A【解析】对称轴的方程满足 ,则 ,显然52()2xkZ()2kZ时 1kx6如果三棱锥 的底

    3、面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶SABC点 在底面的射影 在 内,那么 是 的OOABCA垂心 B重心 C外心 D内心【答案】D【解析】由题设可知点 到 三边的距离相等,所以 是 的内接圆的圆心7已知 是等比数列,且 ,那么 的值等于na 252,064534aan 53aA5 B10 C15 D20【答案】A【解析】设公比为 ,则由题设可得 ,即 ,则q22445aqq2241()5aq,即 41()5aq35a8如果圆锥曲线的极坐标方程为 ,那么它的焦点的极坐标为1653cosA B C D(0,)6)0,()0,3()0,6(【答案】D【解析】曲线是椭圆,当 时得 时

    4、得 , ,故焦点的8,ac2ac极坐标为 )0,6(9从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台,其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有A140 种 B84 种 C70 种 D35 种3【答案】C【解析】直接法: 1214570C间接法: 33710如果 且 ,那么直线 不通过0ACB0AxByCA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】 ,由于 且 ,所以 ,故 D 正确yx0,0AB11设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件那么A丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

    5、C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【答案】A【解析】由题意,乙 甲,丙 乙,但乙 丙,从而可得甲 丙,丙 甲12 的值等于)21()51(4)3(limnnA0 B1 C2 D3【答案】C【解析】 241li()()()lim52n nn 213如果奇函数 在区间 上是增函数且最小值为 5,那么 在区间 上()fx3,7 ()fx7,3是A增函数且最小值为 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为 D减函数且最大值为【答案】B【解析】若 ,则 , 是增函数的最大值为7,3x,7x()(fxf(3)f4(3)5f14圆 上到直线 的距离为 的 点 共 有22430xy10x

    6、y2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】圆的标准方程为 ,圆心 到直线222(1)()()xy(,)的距离为 , 故 与 直线 平行的直径上和与直线平行的切线上满10xy10足条件的点分别有 2 个和 1 个15设全集为 , , ,那R()sin,()cosfxgx()0,()0MxfNxg么集合 等于0A B C DMNN【答案】D【解析】由题设 ,则 ,,2xkZxkZ()0xfgN二填空题:本大题共 5 小题;每小题 3 分,共 15 分把答案填在题中横线上16 的值是 1arctnrta32【答案】 4【解析】由于 ,11tan(rc)tan(rc)1323tan(

    7、rcart) 132t所以 rctrt417不等式 的解集是 162x5【答案】 21x【解析】 ,得 ,解得解集是 2066x20x21x18已知正三棱台上底面边长为 2,下底面边长为 4,且侧棱与底面所成的角是 ,那么45这个正三棱台的体积等于 【答案】 314【解析】延长正三棱台的三条母线,交于一点 ,可得一个正三棱锥,根据比例关系可得O棱台的高为 ,故正三棱台的体积为 212314(34)V19在 的展开式中, 的系数是 的系数与 的系数的等差中项若实数 ,7(1)ax3x24x1a那么 【答案】 015【解析】由题设可得 的系数分别为 ,则234,x5243477,Caa435772

    8、Ca,化简得 ,由于 ,所以 3472103a1a10520在球面上有四个点 ,如果 两两互相垂直,且,PABC,PBC,PABa那么这个球面的面积是 【答案】 23【解析】因为球的直径等于以 为棱的长方体的对角线的长,从而 ,,PABC23Ra故球面的面积为 234()aS球 面6三解答题:本大题共 6 小题;共 60 分21 (本小题满分 8 分)求函数 的最小值,并写出使函数 取最小值的xxy22cos3sini y的集合x【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分 22sinicos3yxx1分2 2()incosx3分1si(csxx 5分2no2i(2)4x当 时

    9、 取得最小值 6分si()14xy使 取最小值的 的集合为 8分y 3|,8NxkZ22 (本小题满分 8 分)已知复数 ,求复数 的模和辐角的主值iz11632z【解】本小题考查复数基本概念和运算能力满分8分2分2236()3()6112ziii 4分i的模 i2()r因为 对应的点在第四象限且辐角的正切 ,1tan1所以辐角的主值 8分7423 (本小题满分 10 分)已知 是边长为 4 的正方形, 分别是 的中点, 垂直于ABCD,EF,ABDGC所在的平面,且 求点 到平面 的2G7距离【解】本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力满分10分如

    10、图,连结 , 分别交 于 因为 是,EGFBDAC,EFAC,HOABCD正方形, 分别为 和 的中点,故 , 为 的中点, /BD不在平面 上否则,平面 和平面 重合,从而点 在平面BDGG上,与题设矛盾AC由直线和平面平行的判定定理知 平面 ,所以 和平面 的距离就/EFEF是点 到平面 的距离 4分EFG , BDHC 平面 , ,CA 平面 平面 平面 , 是这两个垂直平面EFGG的交线 6分作 交 于点 ,由两平面垂直的性质定理知 平面 ,所以OKHKOKEFG线段 的长就是点 到平面 的距离 8分B 正方形 的边长为4, ,ACD2GC 2,3 在 中, RtH2由于 和 有一个锐

    11、角是公共的,故 KOtCRtHKOtCG: 12G即点 到平面 的距离为 10分BEF1注:未证明“ 不在平面 上”不扣分D【编者注】本题用“等积代换” ,即 亦可BEFGBV24 (本小题满分 10 分)8根据函数单调性的定义,证明函数 在 上是减函数3()1fx),(【解】本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力满分10分证法一:在 上任取 且 , 1分),(12,x12则 3分3 221 1()fxf x , 4分120x当 时,有 ; 6分20x22111()0xx当 时,有 ;122x 8分2211()()fxfx即 所以,函数 在 上是减函数 10分3()fx),

    12、(证法二:在 上任取 且 , 1分,12,x12则 3分3 221 1()()fxf x , 4分120x 不同时为零, 2,x21又 , ,21 212()xx210x 8分21)()ff即 (x所以,函数 在 上是减函数 10分3)fx),(25 (本小题满分 12 分)已知 为自然数,实数 ,解关于 的不等式n1ax23log4l1logaaaxx1 2()(2)loglog()3nnaax【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力满分129分利用对数换底公式,原不等式左端化为231log4l1log(2)lognaaaaxxx1()ll3naa故原不等式可化为

    13、22()loglog()3nnaaxx当 为奇数时, ,不等式等价于 n1()0n 2ll()aa因为 ,式等价于a6分x2002ax,1414.22xaax因为 , ,1414所以,不等式的解集为 8分14| 2axa当 为偶数时, ,不等式等价于 n1(2)03n 2logl()aax因为 ,式等价于aax202ax或 10分,14;2xa,14.2因为 12分, a0所以,不等式的解集为 14|2x10综合得:当 为奇数时,原不等式的解集是 ;n 14| 2axa当 为偶数时,原不等式的解集是 14|226 (本小题满分 12 分)双曲线的中心在坐标原点,焦点在 轴上,过双曲线右焦点且斜

    14、率为 的直线交双x53曲线于 两点若 ,求双曲线的方程,PQ,4OQP【解】本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力满分12分解法一:设双曲线的方程为 21xyab依题意知,点 的坐标满足方程组,PQ2 213()5xyabcab其 中 将式代入式,整理得 3分2222(5)6)0bx设方程的两个根为 ,若 ,则 ,12,x23a35b即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点,与题设矛盾,所以 230ba根据根与系数的关系,有 6分122653cxab 由于 在直线 上,可记为 ,PQ()5yxc1233(,),()5

    15、5PxcQxc11由 得 ,OPQ123()()51xcxc整理得 2121()80c将,式及 代入式,并整理得 ,ab4243830ab22(3)()ab因为 ,解得 ,023所以 8分2cab由 ,得 4PQ2 21213()()()45xxcxc整理得 2110将,式及 , 代入式,解得 10分3bac21a将 代入 得 2a22故所求双曲线方程为 12分213yx解法二:式以上同解法一 4分解方程得 , 6分2214053acbx223405acbx由于 在直线 上,可记为 ,PQ()y123(,),()5PxQxc由 ,得 O12123()()05xcxc将式及 代入式并整理得 ,2

    16、cab42483ab即 2(3)()0因 ,解得 8分22312由 ,得 4PQ2 21213()()()45xxcxc即 21()0x将式代入式并整理得 10分224(3)160bab将 代入上式,得 ,23ba将 代入 得 122故所求双曲线方程为 12分213yx1991 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数五、只给整数分数

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