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1、信号与系统期末复习材料- 1 -信号与系统期末复习一、基础知识点：1.信号的频带宽度（带宽）与信号的脉冲宽度成反比，信号的脉冲宽度越宽，频带越窄；反之，信号脉冲宽度越窄，其频带越宽。2. 系统对信号进行无失真传输时应满足的条件：系统的幅频特性在整个频率范围（ ）内应为常量。系统的相频特性在整个频率范围内应与 成正比，比例系数为- 0t3.矩形脉冲信号的周期与频谱线的间隔存在着倒数的关系。4.零输入响应（ZIR）从观察的初始时刻（例如 t=0）起不再施加输入信号（即零输入） ，仅由该时刻系统本身具有的初始状态引起的响应称为零输入响应，或称为储能响应。5.零状态响应（ZSR）在初始状态为零的条件下

2、，系统由外加输入（激励）信号引起的响应称为零状态响应，或称为受迫响应。6.系统的完全响应也可分为：完全响应=零输入响应+ 零状态响应7.阶跃序列可以用不同位移的单位阶跃序列之和来表示。8.离散信号 指的是：信号的取值仅在一些离散的时间点上才有定义。)(nf9.信号的三大分析方法：时域分析法 频域分析法 复频域分析法10.信号三大解题方法傅里叶：研究的领域：频域分析的方法：频域分析法拉普拉斯：研究的领域：复频域分析的方法：复频域分析法Z 变换：主要针对离散系统，可以将差分方程变为代数方程，使得离散系统的分析简化。11.采样定理（又称为奈奎斯特采样频率）如果 为带宽有限的连续信号，其频谱 的最高频

3、率为 ，则以采样间隔)(tf )(Fmf对信号 进行等间隔采样所得的采样信号 将包含原信号 的全部信msfT21)(tf )(tfs )(tf()()zizsyttyt信号与系统期末复习材料- 2 -息，因而可利用 完全恢复出原信号。)(tfs12.设脉冲宽度为 1ms，频带宽度为 ，如果时间压缩一半，频带扩大 2 倍。KHzms113.在 Z 变换中，收敛域的概念：对于给定的任意有界序列 ，使上式收敛的所有 z 值的集合称为 z 变化的收敛域。根据)(nf级数理论，上式收敛的充分必要条件 F(z)绝对可和，即 。0|)(|nnf14.信号的频谱包括： 幅度谱 相位谱15.三角形式的傅里叶级数

4、表示为：1 110 )sin()cos()(n tbtatf 当为奇函数时，其傅里叶级数展开式中只有 sinnt 分量，而无直流分量和 cos 分量。16.离散线性时不变系统的单位序列响应是 。)(17.看到这张图，直流分量就是 4！f(t)t-4 61-6 -4-118.周期信号的频谱具有的特点：频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量。这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。频谱图中的谱线只能在基波频率 的整数倍频率上出现。1频谱图中各谱线的高度，一般而言随谐波次数的增高而逐渐减小。当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅趋于无穷小。19.信号频谱的知识点：非周期信号的频谱为连续谱。若

5、信号在时域持续时间有限，则其频域在频域延续到无限。20.根据波形，写出函数表达式 （用 表示）：)(tf)(tf(t)t11信号与系统期末复习材料- 3 -21. 为冲激函数)(t定义： )0(tt特性： 1)d与阶跃函数的关系： dtt)(采样（筛选）性。若函数 在 t=0 连续，由于 只在 t=0 存在，故有：)(tf )(t )(0)(tftf若 在 连续，则有0()000ttff 上述说明， 函数可以把信号 在某时刻的值采样（筛选）出来。)(t)(t重要积分公式： )0()(fdtft例题：计算下列各式： )1(t dtt)1( dtt0)(3cos(tet03)(二、卷积1.定义：

6、tfty)()(212.代数性质：交换律： )()(*121tftf结合律： )(* 323tftf分配律： )()( 32121 tftftft 2.微分和积分特性微分特性： )(*)(*2121 tfttf积分特性： 1)( ）（ 微积分特性： )(*)()(2)1(2121 tftftfttf 信号与系统期末复习材料- 4 -*任意信号与 卷积又是 即)(t)(tf )(*tf由微分特性则： *f3.延时特性： )()()()( 21212211 ttyttftt 4.重要卷积公式： )(*)(tftf )(21)(ttt )(*teaeaat )()1)()( 2122121 atet

7、t ata 例题：求下列卷积 )5(*)3(tt*)(t)(*tte三、傅里叶变换1.周期信号的三角级数表示【 】110)cos()(nntAatf 2nnbaA)arctn(nb其中：； ； Td00 Tndttf01)cos()ntntfb01)si()22.周期信号的指数级数表示 Ttjnndef01)(F3.非周期信号的傅里叶变换 tetfj)()(反变换： deFtj)(21信号与系统期末复习材料- 5 -4.常用非周期信号的频谱门函数 )2()|(02|1)( SattG冲激信号 t1(t直流信号 )(2),)(f指数信号 0(taettjta1)单位阶跃信号 )0()(ttjt1

8、)(5.傅里叶变换的性质与应用线性性质信号的延时与相位移动脉冲展缩与频带的变化 )(|1)(aFatf表明：信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的扩展；时域波形的扩展对应其频域图形的压缩，且两域内展缩的倍数是一致的。信号的调制与频谱搬移 )(21)(21)cos( 000 Fttf周期信号的频谱函数 )()()( 000tsinj)()()()( 2121 Fatfatf0e)()(0tjtfe0Ftj信号与系统期末复习材料- 6 -nF)(2)(1时域微分特性 )()(jtfdnn时域积分特性 )(1)(0)(11 FjFdft 6.卷积定理及其应用若 ； )()11tf)()(22tf则 *

9、2F例题 1：试利用卷积定理求下列信号的频谱函数 )(cos)(0tAtf )(*in)(0ttf例题 2：若已知 ；求 ， 。)()Ftf)3(tf)f例题 3：如图所示已知 ， ，求tjetf2)(tx20cos)( )(,),(FYX例题 4：如图所示周期锯齿波信号 f(t)，试求三角形式的傅里叶级数。信号与系统期末复习材料- 7 -t)(tfTA02例题 5：设信号 ， ；试求 的频谱函数。)4cos()1ttf)1|(0(2ttf )(21tf例题 6：求 的频谱函数)()sin()(0atetfat例题 7：已知 ，用傅里叶性质，求 一阶微分以及 的积分。|2)(tetf)(tf)

10、(tf四、拉普拉斯变换1.单边拉普拉斯的定义：F(s) = -0)(dtefs2.常用拉普拉斯变换 ； aseat12)(1asta ； )(tt s1s1sA 2)in(t cos 21)(t32)(st )(aseat 2)(intat信号与系统期末复习材料- 8 - 2)()cosasteat3.拉普拉斯变换的基本性质 线性时移性比例性（尺度变换）幅频移特性时域微分特性时域积分特性4.求拉普拉斯反变换D(s)=0 的根（不含重根） nSnnsFS)(KD(s)=0 仅含重根（n=1,2,3m）1)()!1(11 Smnnn sFds5.微分方程的拉普拉斯变换解法例 )(3)( tytyt

11、则 SsYysSySsYSsYS 1)(0)(3)0()(3)0()0()( 223 6.电路 S 域模型)()()()( 2121 sFtfatf0e)()00stttf asFtf1)()(e)(00stfts)(d)(fsFtf )0()0()()(d)(121 nnnnn ffsfsFtf sft )()(0022 fftf信号与系统期末复习材料- 9 -电阻 R 上的时域电压-电流关系为一代数方程 )(titu两边取拉氏变换，就得到复频域（S 域）中的电压- 电流象函数关系为)(UsI电容 C 上的时域电压-电流关系为 dtutic)()(两边取拉氏变换，利用微分性质得 时的代数关系

12、0t或 )()()(IcCusUs suIsCc)0()1)(Uc电感 L 上的时域电压-电流关系为 dtitu)()(两边取拉氏变换，就可得出 S 域内的电压-电流关系为或 )0()(ULLisI siUsLL)0(1)(IKCL 和 KVL； 0)(ti )(tu分别取拉氏变换，可得基尔霍夫定律的 S 域形式； )(sI0)(sU7.卷积定理时域卷积变换到 S 域的特性 )()(2121sFtf8.重要的函数为系统函数 ； ； )(Hs )(S)(st阶 跃 响 应 )(F)(stf输 入 信 号YZLTItyZS系 统 的 零 状 态 响 应 )()()(*ZSsHFsthf1)(0 S

13、dtst积 分 定 理阶跃响应 ， 则)(1sSLt )(tsh例题 1：若已知 ；求 ， 。Ff)3(tff信号与系统期末复习材料- 10 -例题 2：求下列函数的单边拉氏变换 te te3)( tetcos2例题 3：求下列象函数的拉氏反变换 651)(F2ss )1(2)Fs 231)(F2ss 2)(4)Fs例题 4：已知 LTI 的微分方程 ，试求其阶跃响应 s(t)和冲激)(36)(5tftytty响应 h(t)。例题 5：已知 ，零输入响应为 ，)(nf)(5.01(2)nny若输入 ，求系统响应 。5.0例题 6：如下图所示，已知 H1= ；H2= ；H3= ，求冲激响应 h(

14、t)。24s)3(1s1s例题 7：已知 的全响应为 ； 的全响应为 ， 求1f )(2cos(tet2f )(2cos(tet冲 激 响 应 h(t)。例题 8：设系统微分方程为 ，已知 ，)(2)(34)( tftytty 1)0(y， ，试用拉氏变换法求零输入响应和零状态响应。1)0(y)(2etft信号与系统期末复习材料- 11 -五、Z 变换1.单边 Z 变换的定义：0)()(nnzfzFF(z)的反变换： cndzFjf1)(2)(2.典型序列的 Z 变换单位序列 )0(1)(n所以 Z阶跃序列 )0(1)(n所以 1zZ指数序列 )(an所以 az)(13.常用序列的 Z 变换

15、)(n 1)(zn 2)1(z 32)( an 2)(azn aanez 1cosinsi 020 1cos2)()cos(00z4.求 Z 反变换F(z)仅含有一阶极点 信号与系统期末复习材料- 12 -iziizF)(Kninik10)()(f(n)F(z)仅含有重极点（n=1,2,3m）izminn Fzd)()!(K115.Z 变换的主要性质线性移位特性对于双边序列：例如： )2(1)()2(2ffzFnf对于单边序列：例如：； mz)( 1)(zmn比例性（尺度变换）6.卷积定理设 ； )()(11zFnf)()(22zFnf则 *2例题 1：求下列离散信号的 z 变换 )(n)(n

16、a )1()2n例题 2：求下列 F(z)的反变换 f(n) )2(1)(zzF 2)1()(zzF例题 3：用单边 z 变换解差分方程 )(;05.)1(9.0)( ynny六、系统函数)()()()( 2121 zafaf )(m-kkzffafan)(-1-Ff信号与系统期末复习材料- 13 -1.系统框图：当系统由两个子系统级联构成时，如下图所示，系统函数 H(s)等于两个子系统函数的乘积。当系统由两个子系统并联构成时，如下图所示，系统函数 H(s)等于两个子系统函数的和。当两个子系统反馈连接时，如下图所示。2.系统函数的零、极点：零点：让系统函数分子的值为 0，所解出的点，在图中用“

17、o”表示。极点：让系统函数分母的值为 0，所解出的点，在图中用“”表示。若为 n 重零点或极点，可在其旁注以“(n)” 。3.系统稳定的判断方法：稳定：若 H(s)的全部极点位于 s 的左半平面，则系统是稳定的。临界稳定：若 H(s)的虚轴上有 s=0 的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在 s 左半平面，则系统是临界稳定的。不稳定：H(s)只要有一个极点位于 s 右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。例题 1：已知 ； ； ； ，求系统函数 H(s)，并判321jp32jp1z2断其稳定性。例题 2：根据图，判断系统是否稳定。信号与系统期末复习材料- 14 -例题

18、3：已知 ，求系统的冲激响应，阶跃响应，并画出零极点分布图，并判23)(Hs断其稳定性。例题 4：已知 ， ，求其零状态响应 ，并画出3)(2ss )(21)(tetf)(tyZS它的零点和极点，并判断其稳定性。例题 5：已知连续系统由两个子系统级联而成，如图所示，若描述两个子系统的微分方程分别为 ； 。求每个子系统的系统函数)(2)(11 txtyt )(21tyttyH1(s), H2(s)及整个系统的单位冲激响应 h(t)；画出系统的零极点图，判断系统的稳定性。七、离散系统的稳定性1.既是离散系统，又是因果系统，其稳定性的判断方法：稳定：H(z)的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定。临

19、界稳定：H(s)的一阶极点（实极点或共轭复极点）位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定。不稳定：H(s)只要有一个极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。例题 1：设有差分方程表示的系统 试求)1()2(.0)1(.)( nfnyyn系统函数 H(z)，并讨论系统的稳定性。信号与系统期末试题（B）一、填空题（20 分，每空 2 分）1.描述线性非时变连续系统的数学模型是_。2.离散系统的激励与响应都是_，它们是_的函数（或称序列） 。3.确定信号是指能够以_表示的信号，在其定义域内任意时刻都有_。信号与系统期末复习材料- 15 -4.请写出“LTI”的英文全称_。5.若信

20、号 f(t)的 FT 存在，则它满足绝对可积的条件是_。6.自相关函数是描述随机信号 X(t)在_取值之间的相关程度。7.设 X(t)为平稳的连续随机信号，其自相关函数是_，其功率密度谱是_。二、选择题（20 分，每小题 2 分）1连续信号 与 的卷积，即)(tf)0t)()0ttf(a) (b) (c) (d) (f )(0t2连续信号 与 的乘积，即)(tf)0t )(0tf(a) (b) (c) (d) 0(f)(00ttf3线性时不变系统的数学模型是(a) 线性微分方程 (b) 微分方程 (c) 线性常系数微分方程(d) 常系数微分方程4若收敛坐标落于原点，S 平面有半平面为收敛区，则

21、(a) 该信号是有始有终信号 (b) 该信号是按指数规律增长的信号(c) 该信号是按指数规律衰减的信号(d) 该信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，或虽时间 成比例增nt，长的信号5若对连续时间信号进行频域分析，则需对该信号进行(a) LT (b) FT (c) Z 变换 (d) 希尔伯特变换6无失真传输的条件是(a) 幅频特性等于常数 (b) 相位特性是一通过原点的直线(c) 幅频特性等于常数，相位特性是一通过原点的直线(d) 幅频特性是一通过原点的直线，相位特性等于常数7描述离散时间系统的数学模型是(a) 差分方程 (b) 代数方程 (c) 微分方程 (d) 状态方程8若 Z 变换的收

22、敛域是 则该序列是1|xRz信号与系统期末复习材料- 16 -(a) 左边序列 (b)右边序列 (c)双边序列 (d) 有限长序列9若以信号流图建立连续时间系统的状态方程，则应选(a) 微分器的输出作为状态变量 (b) 延时单元的输出作为状态变量(c) 输出节点作为状态变量 (d)积分器的输出作为状态变量10若离散时间系统是稳定因果的，则它的系统函数的极点(a) 全部落于单位圆外 (b) 全部落于单位圆上(c) 全部落于单位圆内 (d) 上述三种情况都不对三、简答题（10 分，没小题 5 分）1一般来讲信号分析既可从时域分析也可从变换域分析，试陈述它们的优缺点。2试陈述对平稳随机信号的分析时，

23、在时域和频域中分别研究那些特征量并说明为什么。四、计算题（40 分，每题 10 分）1. 求图 1 所示梯形信号 f(t)的频谱函数。2.某线性时不变离散系统，其输入与输出由差分方程描述：（1） 若 y(-1)=2,求系统的零输入响应 yzi(n)。（2） 若 x(n)=(1/4)nu(n),求系统的零状态响应 yzs(n)。3知 RLC 串联电路如图所示，其中 ， AlFCHLRL1)0(2.12输入信号 ;试画出该 系统的复频域模型图并计算出电流 。f(t)At-b -a ba0图 1 )(2)1(xy（5 分）（5 分）信号与系统期末复习材料- 17 -4.已知系统的状态方程为 ，输出方程为)(0102)(221 tet ，初始状态为 ，激励为 。求：状态)(01)(21ttr 1)(21 )(tu向量 (t),响应 r(t)。五、综合题（10 分）分析 LT、FT 和 Z 变换之间的关系，并说明相互转换的条件。