1、江门市 2015 年普通高中高二调研测试（一）数 学（理科）本试卷共 4 页，21 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟注意事项：答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式：一元二次方程 （ ）的实数根 02cbxaaacbx242,1锥体的体积公式 ，其中 是锥体的
2、底面积， 是锥体的高ShV31h一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的数列 的通项公式为 ，则nana1)(3aA B C D313221不等式 的解集是042xA B C D1| 21|x21|x下列语句中，不是命题的是A负数的立方是负数 B对顶角相等C D3)(23x已知 、 ， “ ， ”是“ ”的xRy0xy0yA充分非必要条件 B必要非充分条件C非充分非必要条件 D充要条件椭圆 的离心率13602yxeA B C D5145453秘密启用前 试卷类型：A如图 1， 、 分别是 、 的中点， 是 的三等分点（ ）
3、 ，MNOABCPMNMNP31若 ， ， ，则 aOA bB cA B61 3 61 3cbaC D cba 等比数列 的前 项、前 项、前 项的和分别为 、 、 ，则nn23nS2n3A BS32nS32C D2)(nn )(32n在 中， ， 的对边 ，则 的面积B045AaACSA有最小值 B有最大值11C有最小值 D有最大值22二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分(一)必做题（9 13 题）已知抛物线的焦点是 ，该抛物线的标准方程是 )0,1(F在空间直角坐标系中， ， ，且 ，则 )3,2a) ,24( xb bax等差数列 的首项 ，
4、 与 的等差中项为 ，则 的公差 na15nd若原命题是“若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等” ，则逆命题是 在平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积 .0,124,68yxyS(二)选做题（14 、15 题，考生只能从中选做一题）OABCNP图 1若双曲线 两条渐近线的夹角为 ，则 1932yxsin已知命题 ： ， 则 ： pR00120xp三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分 12 分）用逻辑联结词改写下列命题，并判断它们的真假 ，其中 ： ， ： ；qpp 3,24q 3,2 ，其中 ： 是 的倍数
5、， ： 是 的倍数5157（本小题满分 13 分）如图 2， 是 的中线， 的边长为 、 、 ADBCAB7a4b6c求 ；cos求证： 32in（本小题满分 14 分）如图 3，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱） 中，1OBA， ， 是线段 的中点， 是侧棱 上的一41OA2B09AOD1P1点，且 DP求 ；求二面角 的余弦值1图 3AB1AO1BDPBCDab图 2A（本小题满分 13 分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按 40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 120 台，且冰箱至少生产 20 台已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家
6、电名称 空调器 彩 电 冰 箱工时（个） 1253141产值（千元） 4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）（本小题满分 14 分）已知点 在运动过程中，总满足关系) ,(yxM式 10)3(3222 直接写出点 的轨迹是什么曲线，并求该曲线的标准方程；若直线 与点 的轨迹相交于 A、B 两点，试求OAB 的面积（Omxy45为坐标原点）的最大值21（本小题满分 14 分）已知数列 的通项 （ ， ） ，数列 的前 项和为 nanx*NRxnanS若 ，求 的取值范围（用集合表示） ；102S求 n评分参考一、选择题 ACDA CBD
7、B二、填空题 若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的xy4221两条边相等 ， （每句 2 分，变量一致 113Rx012x分）三、解答题 且 2 分 3,24 3,2因为 是假命题， 是真命题4 分 3,2（不写“ 是真命题”不扣分，写错则扣 1 分） ,所以 是假命题6 分qp 是 的倍数或 的倍数（ 是 的倍数或 是 的倍数）8 分3517351357因为 是 的倍数是真命题， 是 的倍数是假命题10 分（不写“ 是 的倍数是假命题”不扣分，写错则扣 1 分）5所以 是真命题12 分qp在 中， 2 分ABCacb2cos3 分， 4 分6742283（方法一）在 中， 5 分DADB
8、cBsinsi ， ， 7 分6c21aBi127在 中， 8 分ACDADCbsinsi ， ， 10 分4b271aACsin8711 分BBsin3sin ， 12 分ADCDAsin 13 分2si（方法二）在 中， 5 分，B BcBcos22 ， ， 7 分，6c721a 458376493A9 分，5os2DcA11 分，87c22bCC， 12 分（计算正确任何一个都给 1 分）145sinB153sinA， 13 分32siCAD（方法一）作 ，垂足为 ，连接 1 分1OBEEB 是直三棱柱，1B 11OA平平 2 分平，又 ， ， 3 分PDDDEP平， 4 分EOBE1
9、， ， 是 的中点09ABO1A ， 5 分， 6 分1/2211BO设 ，连接 7 分FEPD由知， ， ，又 （ ） ， 是B平FPEFPDE二面角 的平面角9 分1OD10 分，1721BEB11 分)2(OPF， 12 分175BFE21OADE ， ， 13 分D平F172932EFD14 分2935cosFE（方法二）以 为原点， 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直OAOB1xyz角坐标系1 分， ， ， 2 分)0 ,()0 ,(B)4 ,(1)4 ,20(1是线段 的中点， 是侧棱 上的一点，设 ，则 ，D1APaBP)4 ,12(D3 分， ， 4 分) ,2(aP)
10、,2(a) ,(BD ， ， 5 分O0O即 ，解得 6 分041由知， ， 7 分)2 ,(P)4 ,(（若第问用方法一，第用向量法，则从正确建立坐标系到以上两个向量止，给 1 分）设平面 的一个法向量为 ，则 9 分DO) ,( rqpn 042 1rqpODnP取 ，则 ， ， 11 分2q8r15p8 ,2 平面 的一个法向量为 12 分P1 )0,(m二面角 的余弦值 13 分1OD| |cosn14 分2935设每周生产空调器 台、彩电 台、生产冰箱 台，产值为 千元xyyx120z目标函数为 2 分yxyxyxz 240)120(34、 满足的限制条件为 4 分xy040)1(3
11、5yx即 5 分，可行域如图：7 分012yx解方程组 9 分，得102xy，即 点的坐标为 、 10 分802yM)80 ,()7 ,21()0 ,6(根据目标函数解析式和可行域， （千元）12 分34maxyz答：每周应生产空调器 20 台、或 20 台以上时，才能使产值最高，最高产值是 360千元13 分（求得一个最优解和最值即可）点 的轨迹是椭圆1 分M（方法一）由 知，椭圆的焦点为 、10)3()3(222 yxyx )3 ,0(1F2 分，设椭圆的标准方程为 （ ）3 分，则)3 ,0(2Fbxaa， 4 分，所以 ， ，椭圆的标准方程为1ac5622c5 分65xy（方法二）由
12、即 得10)3()3(222yxy 2222 )3(10)3(yxyx2 分96109x移项整理得 3 分5)(522两边平方得 4 分21069yyx移项得 ，椭圆的标准方程为 5 分40162 165x由 得 6 分mxy45162 02820mx设 、 ，依题意，) ,(1A) ,(2yB7 分802 8 分2221 5045)(0|x 10 分221204|)45(| mxABO 到直线 AB（即直线 ， ）的距y04yx离 11 分41|mdOAB 的面积 12 分4250|2mdABS当 时， 取最大值，最大值为 14 分502 10521依题意， 2 分， ，解得 或 4 分12x2x2x5（每个解 2 分，如果两个解都正确，但联结词错，扣 1 分）的取值范围为 5 分x 5|平依题意， 6 分nn xnxS132)(8 分432nx两式相减得， 10 分132)1(nn当 时， 11 分 2)()1(S当 时， 13 分1x nnn xxxx 1)()(32整理得， ， 14 分21)(xSnn.1 ,)1(, ,2)(2xxnS
