1、1课后提升作业 十四双曲线方程及性质的应用(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.若 ab0,则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )【解析】选 C.方程可化为 y=ax+b 和 + =1.从 B,D 中的两椭圆看 a,b(0,+),但 B 中直x2y2线有 a0 矛盾,应排除;再看 A 中双曲线的 a0,但直线有 a0,b0,也矛盾,应排除;C 中双曲线的 a0,b0,b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原x22y22点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 ( )A. B.3 2C.
2、D.5+12 3+12【解析】选 B.如图,不妨设 F 为右焦点,向渐近线 y= x 所作垂线的垂足为 P,则由b题意知|PO|=|PF|,所以POF=45,即 =1,所以双曲线的离心率 e= = .b 1+22 24.(2016唐山高二检测)已知双曲线 - =1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其中一条渐近x22y22线方程为 y=x,点 P( ,y0)在该双曲线上,则 = ( )3P1 P2A.-12 B.-2 C.0 D.4【解析】选 C.由已知得,b 2=2,c=2,点 P 为( ,1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结3合向量的乘法,易知选 C.5.设双曲线 -
3、 =1(a0,b0)的渐近线与函数 y=x2+1 的图象相切,则该双曲线的离心率等于 x22y22( )A. B.2 C. D.3 5 6【解析】选 C.由双曲线 - =1,得双曲线的渐近线方程为 y= x,与 y=x2+1 联立,得x22y22 bx2 x+1=0.所以 = -4=0,则 b2=4a2.又 c2=a2+b2,所以 c2=5a2,则 e= = .b ()2 c 56.已知曲线 - =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 =0(O 为原点),则 - 的值x2y2 O O 11为 ( )A.1 B.2 C.3 D.323【解析】选 B.将 y=1-x 代入 - =1
4、,x2y2得(b-a)x 2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .2 a+因为 =x1x2+y1y2O O=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以 - +1=0,2+2 2即 2a+2ab-2a+a-b=0,即 b-a=2ab,所以 - =2.117.(2015天津高考)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线x22y22与圆 +y2=3 相切,则双曲线的方程为 ( )(x2)2A. - =1 B. - =1x29y213 x213y29C. -y2=1 D.
5、x2- =1x23 y23【解析】选 D.由双曲线的渐近线 bx-ay=0 与圆(x-2) 2+y2=3 相切可知 = ,又因为22+23c= =2,所以有 a=1,b= ,故双曲线的方程为 x2- =1.a2+2 3 y238.斜率为 2 的直线 l 与双曲线 - =1 交于 A,B 两点,且|AB|=4,则直线 l 为x23y22( )A.y=2x+ B.y=2x-2103 21034C.y=2x D.以上都不对2103【解析】选 C.设直线 l 的方程为 y=2x+m,代入双曲线方程中得:10x 2+12mx+3m2+6=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,
6、x1x2= .65 32+610因为|AB|= =4,5 (1+2)2412所以 =4,5(-65)2432+610解得 m= ,2103所以直线 l 的方程为 y=2x .2103二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016广州高二检测)过点 P(-3,0)的直线 l 与双曲线 - =1 交于点 A,B,设直线 l 的斜x216y29率为 k1(k10),弦 AB 的中点为 M,OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点),则 k1k2=_.【解析】显然直线 l 的斜率存在.设 A,B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),所以 - =1, - =1.x2116y219 x22
7、16y229两式相减得 - =0,(1+2)(12)16 (1+2)(12)9即 k1= = .y12129(1+2)16(1+2)因为 M ,(x1+22 ,1+22 )所以 k2= ,所以 k1k2= .y1+21+2 916答案:916510. (2016北京高考)双曲线2xyab=1(a0,b0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= .【解析】因为正方形 OABC 的边长为 2，所以 B(2 ,0)，渐近线为 y=x.所以 c=2 2,a=b.又因为 a2+b2=c2，所以 a=b=2.答案：2
8、【补偿训练】过双曲线 - =1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为 ,这样的直线的x220y25 5条数为 ( )A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选 D.依题意可得右焦点 F(5,0),所以垂直 x 轴,过 F 的直线是 x=5.代入 - =1,求得 y= ,x220y25 52所以此时弦长= + = .52 52 5不是垂直 x 轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,因为两个顶点距离=4 ,即左右两支上的点最短是 4 ,所以如果是交于两支的话,弦长不可5 5能为 ,所以只有 1 条.5三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.焦点在 x 轴上的
9、双曲线过点 P(4 ,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲2线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在 x 轴上,所以设双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0),F1(-c,0),x22y22F2(c,0).6因为双曲线过点 P(4 ,-3),所以 - =1.232292又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以 =0,即-c 2+25=0.Q1 Q2所以 c2=25.又 c2=a2+b2,所以可得 a2=16 或 a2=50(舍去).所以 b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 - =1.x216y2912.(2016黄石高二检测)已知双曲线 3x2-y2=3,直
10、线 l 过右焦点 F2,且倾斜角为 45,与双曲线交于 A,B 两点,试问 A,B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦 AB 的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.【解析】因为 a=1,b= ,c=2,3又直线 l 过点 F2(2,0),且斜率 k=tan 45=1,所以 l 的方程为 y=x-2,由 y=2,322=3,消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 x1x2=- 0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B.x227(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.(2)若设直线 l 与 y 轴的交点为
11、 P,且 = ,求 a 的值 .P512【解析】(1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得 有两个不同的解,x222=1,+=1消去 y 并整理得(1-a 2)x2+2a2x-2a2=0,所以 120,=44+82(12)0解得- 0,所以 0 且 e .262 2所以双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ( ,+).(62, 2) 2(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).因为 = ,所以(x 1,y1-1)= (x2,y2-1),P512 512由此可得 x1= x2.因为 x1,x2都是方程(1-a 2)x2+2a2x-2a2=0 的根,512且 1-a20,所以 x1+x2= ,x2=- ,1712 2212x1x2= , =- ,消去 x2,512x22 2212得 a2= .又因为 a0,所以 a= .289169 17138
