1、1第二章 2.1 2.1.2A 级 基础巩固一、选择题1已知椭圆 1 的长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于x210 m y2m 2( D )导 学 号 03624400A4 B5 C7 D8解析 由题意知， c2， a2 m2， b210 m， m210 m4， m8.2椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 e 为 ( 导 学 号 03624401A )A B12 13C D14 22解析 由题意，得 a2 c， e .ca 123与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 4 的椭圆方程是5( B )导 学 号 03624402A 1 B 1x225 y220
2、 x220 y225C 1 D 1x220 y245 x280 y285解析 椭圆 9x24 y236 的焦点为(0， )，(0， )，5 5 b2 ， a225，故选 B54若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( A )导 学 号 03624403A B5 12 3 12C D32 5 12解析 设椭圆的焦距为 2c，短轴长为 2b，长轴长为 2a，由题意得(2 b)24 ac，即b2 ac.2又 b2 a2 c2， a2 c2 ac， e2 e10， e . 152 e(0,1)， e .5 125椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
3、 m 的值为( A )导 学 号 03624404A B14 12C2 D4解析 由题意 x21，且 2，y21m 1m m .故选 A146(2017全国文，11)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( A )导 学 号 03624405A B63 33C D23 13解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bx ay2 ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d a，2aba2 b2解得 a b， ，3ba 13 e .ca a2 b
4、2a 1 ba 2 1 13 2 63二、填空题7已知椭圆的中心在原点，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为 1 或 1 .x281 y272 x272 y281 导 学 号 03624406解析 椭圆长轴长为 18， a9.又两个焦点将长轴三等分， a c2 c， c3， b2 a2 c272.3焦点位置不确定，方程为 1 或 1.x281 y272 x272 y2818椭圆 1 的离心率为 ，则 m 3 或 .x24 y2m 12 163 导 学 号 03624407解析 当焦点在 x 轴上时， e ，4 m2 12 m3.当焦点在 y 轴上时， e ， m .
5、m 4m 12 163三、解答题9(2016江苏苏州高二检测)已知椭圆 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、 F2x249 y224的连线互相垂直. 导 学 号 03624408(1)求椭圆的离心率；(2)求 PF1F2的面积解析 (1)由题意可知 a249， b224， a7， b2 ， c2 a2 b225， c5， e .657(2)由椭圆定义| PF1| PF2|2 a14，由题意可知在 Rt PF1F2中有：|PF1|2| PF2|2(2 c)2100，2| PF1|PF2|(| PF1| PF2|)2(| PF1|2| PF2|2)14 210096，| PF1|PF2|48.
6、 S PF1F2 |PF1|PF2|24.12B 级 素养提升一、选择题1已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为 12，则椭圆方程为13( C )导 学 号 03624409A 1 或 1x2144 y2128 x2128 y2144B 1x26 y24C 1 或 1x236 y232 x232 y236D 1 或 1x24 y26 x26 y244解析 由条件知 a6， e ， c2， b2 a2 c232，故选 Cca 132已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1、 F2，离心率为 ，过 F2的直线x2a2 y2b2 33l 交 C 于 A、 B 两点，若 AF1B 的
7、周长为 4 ，则 C 的方程为 ( C )3 导 学 号 03624410A 1 B y21x23 y22 x23C 1 D 1x212 y28 x212 y24解析 根据条件可知 ，且 4a4 ，ca 33 3 a ， c1， b22，椭圆的方程为 1.3x23 y223若直线 y x 与椭圆 x2 1( m0 且 m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴6y2m2长为 ( D )导 学 号 03624411A1 B 5C2 D2 5解析 由Error!，得(1 m2)x22 x6 m20，6由已知 244(1 m2)(6 m2)0，解得 m25，椭圆的长轴长为 2 .54已知直线 l 过点(3
8、，1)，且椭圆 C： 1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的x225 y236个数为 ( C )导 学 号 03624412A1 B1 或 2C2 D0解析 因为直线过定点(3，1)且 b0)，若圆 C1， C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是x2a2 y2b2( B )导 学 号 03624413A B12， 1) (0， 12C D22， 1) (0， 225解析 圆 C1， C2都在椭圆内等价于圆 C2的右顶点(2 c,0)，上顶点( c， c)在椭圆内部，只需Error! 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.
9、ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)三、解答题8(2017北京文，19)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)， B(2,0)，焦点在 x轴上，离心率为 .32 导 学 号 03624416(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M， N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 45.解析 (1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由题意得Error!解得 c ，3所以 b2 a2 c21，所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 M
10、(m， n)，则 D(m,0)， N(m， n)，由题设知 m2，且 n0.直线 AM 的斜率 kAM ，nm 2故直线 DE 的斜率 kDE ，m 2n所以直线 DE 的方程为 y (x m)，m 2n直线 BN 的方程为 y (x2)n2 m联立Error!解得点 E 的纵坐标 yE .n 4 m24 m2 n2由点 M 在椭圆 C 上，得 4 m24 n2，7所以 yE n.45又 S BDE |BD|yE| |BD|n|，12 25S BDN |BD|n|，12所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 45.C 级 能力提高1已知 B1、 B2为椭圆短轴的两个端点， F1、 F2是椭圆的
11、两个焦点，若四边形 B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为 .22 导 学 号 03624417解析 如图，由已知得 b c a，22 e .ca 222(2017全国文，20)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作x22x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM 导 学 号 03624418(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的OP PQ 左焦点 F.解析 (1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x x0， y)， (0， y0)
12、NP NM 由 ，得 x0 x， y0 y.NP 2NM 22因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.(2)由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则 (3， t)， (1 m， n)， 33 m tn，OQ PF OQ PF 8( m， n)， (3 m， t n)OP PQ 由 1 得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.9
