1、- 1 -课时提升作业 十椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.(2015广东高考)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ( )x225y22A.9 B.4 C.3 D.2【解析】选 C.由题意得:m 2=25-42=9,因为 m0,所以 m=3.2.(2016烟台高二检测)椭圆 + =1与 + =1(0b0)有两个顶点在直线 x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标x22y22是 ( )A.( ,0) B.(0, )3 3C.( ,0) D.(0, )5 5【解析】选 A.直线 x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在 x轴上,所
2、以 a=2,b=1,所以 c= = .a22 3所以椭圆的焦点坐标是( ,0).34.(2016南昌高二检测)椭圆 + =1(ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若x22y22|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. -214 55 12 5【解析】选 B.因为 A,B分别为左右顶点,F 1,F2分别为左右焦点,所以|AF 1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF 1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c 2,即 a2=5c2,所以离心率 e= .55【补偿
3、训练】设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若F 1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )A. B. C.2- D. -122 212 2 2【解析】选 D.设椭圆方程为 + =1(ab0),x22y22因为 F1(-c,0),所以 P(-c,yP)代入椭圆方程得- 3 -+ =1,所以 = ,c22y22 y2b42又因为 b2=a2-c2,所以 =2c,所以 e2+2e-1=0,又 0b0)的长轴,若把线段 AB分为 100等份,过每个分点作 AB的垂线,分别交椭圆x22y22的上半部分于点 P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F 1
4、A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是 ( )A.98a B.99a C.100a D.101a【解析】选 D.设 F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F 1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F 1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为 502a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F 1P50|,结果选 C而致错.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.(2016武汉高二检测)已
5、知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 y轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆13方程为 .【解析】因为椭圆的焦点在 y轴上,所以设椭圆的方程为 + =1(ab0).y22x22由 得2=12,=13, a=6,=2,由 a2=b2+c2,得 b2=32.故椭圆的方程为 + =1.y236x232答案: + =1y236x232- 4 -7.(2016济南高二检测)已知椭圆 + =1的离心率 e= ,则 m的值为 .x25y2 105【解析】由椭圆的标准方程,易知 m0且 m5.若 05,则 a2=m,b2=5.由 =1- = ,得 m= .5( 105)235 253所以 m的值为 3或 .2
6、53答案:3 或2538.若点 O和点 F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点 P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为 .x24y23 OF【解题指南】设 P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 =3 ,因为 =(x0+1,y0),x204y203 y20(1204) F=(x0,y0),所以 =x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+O O F y203 = +x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2x 02,所以当 x0=2时, (1204)x204 O取得最大值 +2
7、+3=6.F 224答案:6【误区警示】解题中容易不考虑 x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题 10分,共 20分)9.如图所示,F 1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半- 5 -轴长的 ,求椭圆的离心率.23【解析】设椭圆方程为+ =1(ab0),则 M(c, b).x22y22 23代入椭圆方程,得 + =1,所以 = ,c224292 c2259所以 = ,即 e= .c 53 53【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为
8、(c, b),23则MF 1F2为直角三角形.在 RtMF 1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即 4c2+ b2=|MF1|2.49而|MF 1|+|MF2|= + b=2a,42+49223整理得 3c2=3a2-2ab.又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 = .b2249所以 e2= = =1- = ,c22a222 b2259- 6 -所以 e= .5310.(2016潍坊高二检测)如图,已知椭圆 + =1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上x22y22顶点,直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若F 1AB=90,求椭圆的离心率.(
9、2)若 =2 , = ,求椭圆的方程.A2 F2A1 A32【解析】(1)若F 1AB=90,则AOF 2为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c.所以 a= c,e= = .2c 22(2)由题意知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c= ,设 B(x,y).a22由 =2 (c,-b)=2(x-c,y),A2 F2解得 x= ,y=- ,即 B .32 b2 (32,2)将 B点坐标代入 + =1,得 + =1,x22y22 9422b242即 + =1,解得 a2=3c2.924214又由 =(-c,-b) =A1 A (32,32)32b2-c2=1,即有
10、 a2-2c2=1.- 7 -由解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2.所以椭圆方程为 + =1.x23y22一、选择题(每小题 5分,共 10分)1.(2016武汉高二检测)椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为 F,椭圆 C与 x轴正半轴交于点 A,与 y轴正x22y22半轴交于 B(0,2),且 =4 +4,则椭圆 C的方程B B 2为 ( )A. + =1 B. + =1x24y22 x26y24C. + =1 D. + =1x28y24 x216y28【解析】选 C.由已知得 F(c,0),A(a,0),B(0,2),所以 =(c,-2)(a,-2)=ac+4=4 +4,B B
11、 2所以 b=2,=42,2=2+2,解得 a2=8,b2=4.所以椭圆 C的方程为 + =1.x28y242.(2016长春高二检测)如图,F 1,F2分别是椭圆 + =1(a0,b0)的两个焦点,A 和 B是以 O为圆心,以x22y22|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F 2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为 ( )- 8 -A. B. C. D. -132 12 22 3【解析】选 D.由题意知 A .(-2, 32)把 A代入椭圆 + =1(ab0),得 + =1,x22y22 c2423242所以(a 2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得 e4-8e
12、2+4=0,所以 e2= =42 .因为 00,所以 a21,所以 1b0)的右焦点,直线 y= 与椭x22y22 b2圆交于 B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .- 9 -【解题指南】利用 kBFkCF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线 y= 与椭圆的方程联立得 B ,C ,F(c,0),b2 (- 32,2) ( 32,2)则 kBF= ,kCF= ,b2 32b232因为BFC=90,所以 kBFkCF= =-1,b2 32b232整理得 b2=3a2-4c2,所以 a2-c2=3a2-4c2,即 3c2=2a2e= = .c 63答案:63三、解答题(每小题 10分
13、,共 20分)5.已知椭圆 + =1的焦点为 F1,F2,点 P是椭圆上的一个动点,求 的取值范围.x29y24 P1 P2【解析】由 + =1,得 F1(- ,0),F2( ,0),x29y24 5 5设 P(x0,y0),则 =(- -x0,-y0),P1 5=( -x0,-y0).P2 5- 10 -所以 =( -5)+ .P1 P2x20 y20又 + =1,所以 =4- ,代入,x209y204 y20 4920得 = -1,P1 P25920因为 0 9, 所以 0 5,x20 5920所以-1 4,P1 P2所以 -1,4.P1 P2【误区警示】本题易出现只注意到 0 得出 -1 的错误,错误的原因是忽视了点 P(x0,y0)x20 P1 P2在椭圆上,x 0应满足 x0-3,3.6.已知椭圆 x2+ =1(00,所以 b=c,结合 b2=1-c2得 b2= ,12所以椭圆的方程为 x2+ =1,即 x2+2y2=1.y212- 12 -
