1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页神池县第三高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言 “X 和 Y 有关系” 的可信度，如果 k5.024，那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为（ ）P（K 2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A2
2、5% B75% C2.5% D97.5%2 用反证法证明命题“a，b N，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”则假设的内容是（ ）Aa，b 都能被 5 整除 Ba，b 都不能被 5 整除Ca， b 不能被 5 整除 Da，b 有 1 个不能被 5 整除3 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 M（0，2）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A3 B C D4 在ABC 中，b= ，c=3，B=30，则 a=（ ）A B2 C 或 2 D25 如图，在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC
3、的中点，动点 P 在线段 MN 上运动时，下列四个结论：EPBD；EP AC； EP面 SAC；EP面 SBD 中恒成立的为（ ）A B C D6 设 Sn为等比数列a n的前 n 项和，若 a1=1，公比 q=2，S k+2Sk=48，则 k 等于（ ）A7 B6 C5 D47 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）Ay=x+1 By= x2 C Dy=x|x|8 随机变量 x1N（2，1）， x2N （4，1），若 P（x 13）=P（x 2a），则 a=（ ）A1 B2 C3 D4精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页9 若等边三角形 的边长为 2， 为 的中点，且 上一点 满足
4、，ABCNABMCxAyB则当 取最小值时， （ ）14xyMA6 B5 C4 D310如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为（， ），AOC=，若|BC|=1，则 cos2 sin cos 的值为（ ）A B C D11已知随机变量 X 服从正态分布 N（2， 2），P （0X4）=0.8，则 P（X4）的值等于（ ）A0.1 B0.2 C0.4 D0.612设等比数列a n的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 =（ ）A2 B4 C D二、填空题13如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N
5、 分别是 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM 和CN 所成角的余弦值为 精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页14设 O 为坐标原点，抛物线 C：y 2=2px（p0）的准线为 l，焦点为 F，过 F 斜率为 的直线与抛物线 C相交于 A，B 两点，直线 AO 与 l 相交于 D，若|AF| |BF| ，则 = 15已知 f（x）= ，则 f（ ）+f（ ）等于 16下列命题：函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数；若函数 f（x）在a，b上满足 f（a）f（b）0，函数 f（x）在（a，b）上至少有一个零点；数列a n为等差数列，设数列a n的前 n 项和为 Sn
6、，S 100，S 110，S n最大值为 S5；在ABC 中， AB 的充要条件是 cos2Acos2B；在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）17下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_18双曲线 x2my2=1（m0）的实轴长是虚轴长的 2 倍，则 m 的值为 三、解答题19（本小题满分 12 分）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于2:(0)Cypx=21Axy（ ， ）和 （ ）两点，且 2B（ ， ） 12x 9AB（I）求该抛物线 的方程；C（II）如图所示，设 为坐标原点，取 上不同于
7、 的点 ，以 为直径作圆与 相交另外一点 ，OOSCR求该圆面积的最小值时点 的坐标SxyROS精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页20【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为 4，且满足 .324fxaxbxc,Ra01f（1）求实数 和 的值；bc（2）试问：是否存在这样的定值 ，使得当 变化时，曲线 在点 处的切线互相平行？0 yfx0,fx若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；0x（3）讨论函数 在 上的零点个数.gfa,421已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆 C 上一点到两个焦点的距离之和为 4（）椭
8、圆 C 的标准方程（）已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点，若 OPOQ，求证： 为定值（）当 为（）所求定值时，试探究 OPOQ 是否成立？并说明理由精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页22计算下列各式的值：（1）（2）（lg5） 2+2lg2（lg2） 223本小题满分 12 分如图，在边长为 4 的菱形 中， ，点 、 分别在边 、ABCD60EFCD上点 与点 、 不重合， ， ，沿 将 翻折到 的位置，使CBEDEFOP平 面 平 面 PFAB求 证 ： 平 面 ；PO记 三 棱 锥 的 体 积 为 ， 四 棱 锥 的 体 积 为 ， 且 ，求此时线段 的1VPBEF2V1243O
9、长24（1）直线 l 的方程为（ a+1）x+y+2a=0（aR）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 a 的值；（2）已知 A（2，4），B （4，0），且 AB 是圆 C 的直径，求圆 C 的标准方程PA B CDOEFFEOD CBA精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页神池县第三高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1 【答案】D【解析】解：k5、024，而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025，有 10.025=97.5%的把握认为 “X 和 Y 有关系”，故选 D【点评】本题考
10、查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目2 【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“ a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“ a，b 都不能被 5 整除”故应选 B【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧3 【答案】B【解析】解：依题设 P 在抛物线准线的投影为 P，抛物线的焦点为 F，则 F（ ，0），依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点 P
11、 到点 M（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|MF|= = 即有当 M，P， F 三点共线时，取得最小值，为 故选：B【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想4 【答案】C【解析】解：b= ，c=3，B=30，精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页由余弦定理 b2=a2+c22accosB，可得：3=9+a 23 ，整理可得： a23 a+6=0，解得：a= 或 2 故选：C5 【答案】 A【解析】解：如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN在中：由异面直线的定义可知：EP 与 B
12、D 是异面直线，不可能 EPBD，因此不正确；在中：由正四棱锥 SABCD，可得 SO底面 ABCD，ACBD，SOAC SO BD=O， AC 平面 SBD，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，EMBD，MNSD ，而 EMMN=M，平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN，AC EP故正确在中：由同理可得：EM平面 SAC，若 EP平面 SAC，则 EPEM，与 EPEM=E 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直即不正确在中：由可知平面 EMN平面 SBD，EP平面 SBD，因此正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题
13、，注意空间思维能力的培养6 【答案】D【解析】解：由题意，S k+2Sk= ，精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页即 32k=48，2 k=16，k=4故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是基础题7 【答案】D【解析】解：y=x+1 不是奇函数；y=x2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数；y=x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题8 【答案】C【解析】解：随机变量 x1N （2，1），图象关于 x=2 对称，x 2N（4，1），图象关于 x=4 对称，因为 P（x 13）=P（x
14、 2a），所以 32=4a，所以 a=3，故选：C【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解9 【答案】D【解析】试题分析：由题知 ， ；设 ，则(1)CBBMCxAyABMkA，可得 ，当 取最小值时， ，最小值,1xky1xy44145xyxyxy在 时取到，此时 ，将 代入，则42,3,N2MC.故本题答案选 D.2 133xyCNxACBABxy 考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式10【答案】 A【解析】解：|BC|=1，点 B 的坐标为（ ， ），故|OB|=1，BOC 为等边三角形，BOC= ，精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页又 AO
15、C=，AOB= ，cos（ ）= ， sin（ ）= ，sin（ ）= cos=cos （ ）=cos cos（ ）+sin sin（ ） = + = ，sin=sin （ ）=sin cos（ ） cos sin（ ）= = cos2 sin cos = （2cos 2 1） sin= cos sin= = ，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题11【答案】A【解析】解：随机变量 服从正态分布 N（2，o 2），正态曲线的对称轴是 x=2P（0X4） =0.8，P（ X 4）= （10.8）=0.1，故选 A12【答案】C【解析】解：由于 q=2， ；
16、故选：C精选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页二、填空题13【答案】 【解析】解：如图，将 AM 平移到 B1E，NC 平移到 B1F，则EB 1F 为直线 AM 与 CN 所成角设边长为 1，则 B1E=B1F= ，EF=cosEB 1F= ，故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题14【答案】 【解析】解：O 为坐标原点，抛物线 C：y 2=2px（p0）的准线为 l，焦点为 F，过 F 斜率为 的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，直线 AO 与 l 相交于 D，直线 AB 的方程为 y= （x ），l 的方程为 x=
17、，联立 ，解得 A（ ， P），B（ ， ）直线 OA 的方程为：y= ，联立 ，解得 D（ ， ）|BD|= = ，精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页|OF|= ， = = 故答案为： 【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质15【答案】 4 【解析】解：由分段函数可知 f（ ）=2 = f（ ）=f（ +1）=f（ ）=f（ ）=f（ ）=2 = ，f（ ） +f（ ）= + 故答案为：416【答案】 【解析】解：函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取 x= ， ，但是， ，因此不是单调递增函数；
18、若函数 f（x）在a，b上满足 f（a）f（b）0，函数 f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；数列a n为等差数列，设数列a n的前 n 项和为 Sn，S 100，S 110， =5（a 6+a5）0， =11a60，精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页a 5+a60，a 60，a 50因此 Sn最大值为 S5，正确；在ABC 中，cos2A cos2B=2sin（A+B ）sin （A B）=2sin（A+B）sin（B A）0AB，因此正确；在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确其中正确命题的序号是 【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零
19、点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题17【答案】 27【解析】由程序框图可知：符合，跳出循环4318【答案】 4 【解析】解：双曲线 x2my2=1 化为 x2 =1，a 2=1，b 2= ，实轴长是虚轴长的 2 倍，2a=22b，化为 a2=4b2，即 1= ，解得 m=4故答案为：4【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键三、解答题19【答案】【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力S0 1 6 27n1 2 3
20、 4精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页因为 12y， 0，化简得 126yy ，所以 2 2125656334yy，当且仅当 256y即 16， 时等号成立. 4=圆的直径 ,因为 21y64，所以当 21y64 即 1=8 时，OS=211xy+21(8)64+-min85，所以所求圆的面积的最小时，点 的坐标为 S8（ ， ）20【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）当 或 时， 在 有两个零点；,4bca0gx0,4当 时， 在 有一个零点.0agx0【解析】试题分析：（1）由题意得到关于实数 b,c 的方程组，求解方程组可得 ；1,4bc（3）函数的导函数 ，结合导函数的性
21、质可得当 或 时， 在gx2134gxax 1a0gx有两个零点；当 时， 在 有一个零点.0,410g0,试题解析：（1）由题意 ，解得 ； 4fcb1 4bc精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页（2）由（1）可 知 ，324fxax14ax ；213fx假设存在 满足题意，则 是一个与 无关的定值，0200134fxax a即 是一个与 无关的定值，2124384xa则 ，即 ，平行直线的斜率为 ；00x72kf（3） ，32gfax14xa ，24x其中 ，14aa22674510a设 两根为 和 ，考察 在 上的单调性，如下表0gx1x212xgxR1当 时， ， ，而 ，0a1
22、0ga40ga15230ga 在 和 上各有一个零点，即 在 有两个零点；x,2,4x,42当 时， ， ，而 ， 仅在 上有一个零点，即 在 有一个零点；g0, g0,3当 时， ，且 ，a4a1324a当 时， ，则 在 和 上各有一个零点，10gx,1,42即 在 有两个零点；gx0,当 时， ，则 仅在 上有一个零点，a1ag,即 在 有一个零点；,4精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页综上：当 或 时， 在 有两个零点；1a0gx0,4当 时， 在 有一个零点.,点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf（x）在a，b内所有使
23、f（x ）0 的点，再计算函数 yf（x）在区间内所有使 f（x）0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得21【答案】 【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为 （ab0）离心率为 ，且椭圆 C 上一点到两个焦点的距离之和为 4 ，2a=4，解得 a=2，c=1b 2=a2c2=3椭圆 C 的标准方程为 （II）证明：当 OP 与 OQ 的斜率都存在时，设直线 OP 的方程为 y=kx（k0），则直线 OQ 的方程为y= x（ k0），P（x，y）联立 ，化为 ，|OP| 2=x2+y2= ，同理可得|OQ| 2= ， = + = 为定值当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为 0 而另一个
24、不存在时，上式也成立因此 = 为定值（III）当 = 定值时，试探究 OPOQ 是否成立？并说明理由OPOQ 不一定成立下面给出证明证明：当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为 0 而另一个不存在时，则 = = = ，满足条件当直线 OP 或 OQ 的斜率都存在时，精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页设直线 OP 的方程为 y=kx（k0），则直线 OQ 的方程为 y=kx（kk，k 0），P（x，y）联立 ，化为 ，|OP| 2=x2+y2= ，同理可得|OQ| 2= ， = + = 化为（kk） 2=1，kk= 1OPOQ 或 kk=1因此 OPOQ 不一定成立【点评】本题考查了椭圆的
25、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题22【答案】 【解析】解：（1）= = =5（2）（lg5） 2+2lg2（lg2） 2=（lg5+lg2）（lg5lg2）+2lg2= 23【答案】【解析】证明：在菱形 中，ABCD ， BDACO ， ， EFPEF精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，PEFABEDPFABEDFPOEF 平面 ， O 平面 ， BDO ， 平面 A设 由知， 平面 ， HPABFE 为三 棱 锥 及 四
26、 棱 锥 的 高 ， PAB ， ，121,33ABDFEDVSVS 梯 形 1243V ， ， 4CBFE梯 形 CBDS ，, ， ， /B21()4CEFBDOH ， 11232COHA3P24【答案】 【解析】解：（1）当 a=1 时，直线化为 y+3=0，不符合条件，应舍去；当 a1 时，分别令 x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0， a2），（ ，0）直线 l 在两坐标轴上的截距相等，a2= ，解得 a=2 或 a=0；（2）A（2，4），B （4，0），线段 AB 的中点 C 坐标为（ 1，2）又|AB|= ，所求圆的半径 r= |AB|= 因此，以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程为（x 1） 2+（y2） 2=13
