1、- 1 -阶段质量检测（二）(时间 90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( ) ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数； ycos x(xR)是周期函数A BC D解析：选 B 按三段论的模式，排列顺序正确的是.2将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ab ba；( ab)c a(bc)； a(b c) ab ac；由 ab ac(a0 )可得 b c.则正确的结论有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律
2、，不满足结合律，故正确，错误；由 ab ac(a0 )得 a(b c)0，从而 b c0 或 a (b c)，故错误3(山东高考)用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A方程 x3 ax b0 没有实根B方程 x3 ax b0 至多有一个实根C方程 x3 ax b0 至多有两个实根D方程 x3 ax b0 恰好有两个实根解析：选 A “至少有一个实根”的否定是“没有实根” ，故要做的假设是“方程x3 ax b0 没有实根” 4由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_ ”( )A各正三角形内一
3、点(A 卷 学业水平达标)- 2 -B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：选 C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心5已知 a(0，)，不等式 x 2， x 3， x 4，可推广为1x 4x2 27x3x n1，则 a 的值为( )axnA2 n B n2C2 2(n1) D nn解析：选 D 将四个答案分别用 n1,2,3 检验即可，故选 D.6下列四类函数中，具有性质“对任意的 x0， y0，函数 f(x)满足 f(x)y f(xy)”的是( )A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：选 A 当函数 f(x) ax
4、(a0， a1)时，对任意的 x0， y0，有 f(x)y( ax)y axy f(xy)，即指数函数 f(x) ax(a0， a1)满足 f(x)y f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求7观察下列各等式： 2， 2， 2， 22 4 66 4 55 4 33 4 77 4 11 4 1010 42，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) 2 2 4A. 2nn 4 8 n 8 n 4B. 2n 1 n 1 4 n 1 5 n 1 4C. 2nn 4 n 4 n 4 4D. 2n 1 n 1 4 n 5 n 5 4解析：选 A 观察分子中 26537110(2)8.8用火
5、柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )- 3 -A6 n2 B8 n2C6 n2 D8 n2解析：选 C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，通项公式为 an6 n2.9观察下列各式： a b1， a2 b23， a3 b34， a4 b47， a5 b511，则a10 b10( )A28 B76C123 D199解析：选 C 记 an bn f(n)，则 f(3) f(1) f(2)134；f(4) f
6、(2) f(3)347；f(5) f(3) f(4)11.通过观察不难发现f(n) f(n1) f(n2)( nN *， n3)，则 f(6) f(4) f(5)18；f(7) f(5) f(6)29；f(8) f(6) f(7)47；f(9) f(7) f(8)76；f(10) f(8) f(9)123.所以 a10 b10123.10数列 an满足 a1 ， an1 1 ，则 a2 015等于( )12 1anA. B.112C2 D3解析：选 B a1 ， an1 1 ，12 1an a21 1，1a1a31 2，1a2a41 ，1a3 12a51 1，1a4- 4 -a61 2，1a5
7、 an3 k an(nN *， kN *)， a2 015 a23671 a21.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a， b2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab均为实数)，则 a_， b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减 1，由此推测 中：6 aba6， b6 2135，即 a6， b35.答案：6 3512已知圆的方程是 x2 y2 r2，则经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程为 x0x
8、 y0y r2.类比上述性质，可以得到椭圆 1 类似的性质为_x2a2 y2b2解析：圆的性质中，经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y分别用 M(x0， y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆 1 类似的性质为：经过椭圆x2a2 y2b2 1 上一点 P(x0， y0)的切线方程为 1.x2a2 y2b2 x0xa2 y0yb2答案：经过椭圆 1 上一点 P(x0， y0)的切线方程为 1x2a2 y2b2 x0xa2 y0yb213若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1， x2， xn，总满足 f(x1)1n f(x2) f(
9、xn) f ，称函数 f(x)为 D 上的凸函数现已知 f(x)sin (x1 x2 xnn )x 在(0，)上是凸函数，则 ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值是_解析：因为 f(x)sin x 在(0，)上是凸函数(小前提)，所以 (sin Asin Bsin C)sin (结论)，13 A B C3即 sin Asin Bsin C3sin . 3 332因此，sin Asin Bsin C 的最大值是 .332答案：33214观察下图：- 5 -12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于 2 0152.解析：观察知，图中的第 n 行
10、各数构成一个首项为 n，公差为 1，共 2n1 项的等差数列，其各项和为Sn(2 n1) n 2n 1 2n 22(2 n1) n(2 n1)( n1)(2 n1) 2，令(2 n1) 22 015 2，得 2n12 015，解得 n1 008.答案：1 008三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn， an有如下性质：(m， n， p， qN *)通项 an am( n m)d；若 m n p q，则 am an ap aq；若 m n2 p，则 am an2 ap；
11、 Sn， S2n Sn， S3n S2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列 bn中，写出相类似的性质解：在等比数列 bn中，公比为 (0)，前 n 项和为 Sn， bn有如下性质：(m， n， p， qN *)通项 bn bm n m；若 m n p q，则 bmbn bpbq；若 m n2 p，则 bmbn b ；2p Sn， S2n Sn， S3n S2n( Sn0)构成等比数列16(本小题满分 12 分)观察：sin 210cos 240sin 10cos 40 ；34sin 26cos 236sin 6cos 36 .34由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜
12、想：- 6 -sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin(302 )sin(30)1 cos 22 1 cos 60 2 2 121 sin(2 30)cos 60 2 cos 22 12 14 cos 60cos 2 sin 60sin 2 cos 2 sin(2 30)34 12 12 sin(2 30)34 12(12cos 2 32sin 2 ) 12 sin(2 30) sin(2 30) ，34 12 12 34即 sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .3417(本小题
13、满分 12 分)已知 ABC 的三边长分别为 a， b， c，且其中任意两边长均不相等，若 ， 成等差数列1a1b 1c(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；ba cb(2)求证：角 B 不可能是钝角解：(1) .证明如下：ba cb要证 ，只需证 .ba cb ba cb a， b， c0，只需证 b2 ac. ， 成等差数列，1a1b 1c 2 ，2b 1a 1c 1ac b2 ac.又 a， b， c 均不相等， b2 ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角 B 是钝角，则 cos B0.由余弦定理得，cos B 0，a2 c2 b22ac 2ac b22ac ac b22a
14、c- 7 -这与 cos B0 矛盾，故假设不成立所以角 B 不可能是钝角法二：假设角 B 是钝角，则角 B 的对边 b 为最大边，即 b a， b c，所以 0， 1a 1b 1c0，则 ，这与 矛盾，故假设不成立1b 1a 1c 1b 1b 2b 1a 1c 2b所以角 B 不可能是钝角18(本小题满分 14 分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列” ，请你给出“等积数列”的定义(2)若 an是等积数列，且首项 a12，公积为 6，试写出 an的通项公式及前 n 项和公式解：(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么
15、这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积(2)由于 an是等积数列，且首项 a12，公积为 6，所以a23， a32， a43， a52， a63，即 an的所有奇数项都等于 2，偶数项都等于 3，因此 an的通项公式为anError!其前 n 项和公式SnError!(时间 90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了三段论，但大前提使用错误D使用了三段论，但小前提使用错误解析：选 D 应用了三段
16、论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误(B 卷 能力素养提升)- 8 -2用演绎推理证明函数 y x3是增函数时的小前提是( )A增函数的定义B函数 y x3满足增函数的定义C若 x1x2，则 f(x1)f(x2)解析：选 B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数 y x3满足增函数的定义，结论是 y x3是增函数，故选 B.3下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A由 an2 n1，求出 S11 2， S22 2， S33 2，推断：数列 an的前 n 项和 Sn n2B由 f(x) xcos x 满足 f( x) f(x)对 xR 都成立，推断：
17、f(x) xcos x 为奇函数C由半径为 r 的圆的面积 S r2，推断单位圆的面积 SD由(11) 221，(21) 222，(31) 223，推断：对一切 nN *，( n1) 22 n解析：选 A 选项 A：为归纳推理，且 an2 n1， an是等差数列，首项 a11，公差 d2，则 Sn n 2 n2，故 A 正确；选项 B：为演绎推理；选项 C：为类比推n n 12理；选项 D：为归纳推理，当 n7 时，( n1) 28 2640)的面积为 S r2，由此类比椭圆 1( ab0)的面积最x2a2 y2b2有可能是( )A a2 B b2C ab D( ab)2- 9 -解析：选 C
18、 圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即 a b 时的情形，因为 S 圆 r2，可以类比出椭圆的面积最有可能是 S ab.7若 P ， Q (a0)，则 P， Q 的大小关系是( )a a 7 a 3 a 4A PQ B P QC P0， Q0， P1，故选 B.9已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a11， Sn n2an(nN *)，可归纳猜想出 Sn的表达式为( )A. B.2nn 1 3n 1n 1C. D.2n 1n 2 2nn 2解析：选 A 由 a11，得 a1 a22 2a2， a2 ， S2 ；13 43又 1 a33 2a3，13 a3 ， S3 ；16 32 64又
19、1 a416 a4，13 16得 a4 ， S4 .110 85由 S1 ， S2 ， S3 ， S4 可以猜想 Sn .22 43 64 85 2nn 110记 Sk1 k2 k3 k nk，当 k1,2,3，时，观察下列等式：- 10 -S1 n2 n， S2 n3 n2 n， S3 n4 n3 n2， S4 n5 n4 n3 n，12 12 13 12 16 14 12 14 15 12 13 130S5 n6 n5 n4 An2，16 12 512由此可以推测 A( )A B.112 114C D.116 118解析：选 A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为 1，所以 A1
20、，解得 A .16 12 512 112二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11已知 x， yR，且 x y2，则 x， y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有” ，即“ x， y 均不大于 1”，亦即“ x1且 y1” 答案： x， y 均不大于 1(或者 x1 且 y1)12函数 y a1 x(a0， a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny10( mn0)上，则 的最小值为_1m 1n解析：因为函数 y a1 x的图象所过的定点为 A(1，1)，且点 A 在直线 mx ny10 上，所以 m
21、n1.又因为 mn0，所以必有 m0， n0，于是 ( m n)1m 1n (1m 1n)2 22 4.nm mn nmmn答案：413给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则- 11 -(1)a54_；(2) anm_.解析：由前 4 行的特点，归纳可得：若 anm( a， b)，则 a m， b n m1， a54(4,541)(4,2)，anm( m， n m1)答案：(1)(4,2) (2)( m， n m1)14请阅读下面材料：若两个正实数 a
22、1， a2满足 a a 1，求证： a1 a2 .21 2 2证明：构造函数 f(x)( x a1)2( x a2)22 x22( a1 a2)x1，因为对一切实数 x，恒有 f(x)0，所以 0，从而得 4(a1 a2)280，所以 a1 a2 .2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a a a 1 时，你能得到的结论是21 2 2n_解析：类比给出的材料，构造函数f(x)( x a1)2( x a2)2( x an)2 nx22( a1 a2 an)x1，由对一切实数 x，恒有 f(x)0，所以 0，即可得到结论故答案为 a1 a2 an .n答案： a1 a2 an n三、解答题(本
23、大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)若 x， yR，且满足( x2 y22)( x2 y21)180.(1)求 x2 y2的取值范围；(2)求证： xy2.解：(1)由( x2 y2)2( x2 y2)200 得(x2 y25)( x2 y24)0.因为 x2 y250，所以有 0 x2 y24，即 x2 y2的取值范围为0,4(2)证明：由(1)知 x2 y24，由基本不等式得 xy 2，x2 y22 42所以 xy2.16(本小题满分 12 分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线
24、和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；- 12 -(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的证明如下：设 ，且 a，则必有 b，若 与 不相交，则必有 .又 ， ，与 a 矛盾，必有 b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行结论是错误的，这两个平面也可能相交17(本小题满分 12 分)已知：sin 2 30sin 2 90sin 2 150 ，sin 2 5sin 2 3265sin 2 125 ，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度 都成立的一
25、般32性的命题，并给予证明解：一般形式为：sin2 sin 2( 60)sin 2( 120) .32证明：左边 1 cos 22 1 cos 2 12021 cos 2 2402 cos 2 cos(2 120)cos(2 240)32 12 (cos 2 cos 2 cos 120sin 2 sin 120cos 2 cos 240sin 32 122 sin 240) cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 右边32 12 12 32 12 32 32将一般形式写成 sin2( 60)sin 2 sin 2( 60) 也正确3218(本小题满分 14 分)如右图，设抛
26、物线 y22 px(p0)的 焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，点 C 在抛物线 的准线上，且 BC x 轴求证：直线 AC 经过原点 O.证明：因为抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F ，所以经(p2， 0) 过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x my ，p2代入抛物线方程，可得 y22 pmy p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1， y2是该方程的两个根，- 13 -所以 y1y2 p2.因为 BC x 轴，且点 C 在准线 x 上，p2所以点 C 的坐标是 ，(p2， y2)故直线 CO 的斜率为 k ，y2 p2 2py1 y1x1即 k 也是直线 OA 的斜率，
