2017-2018学年高中数学 第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用（含解析）新人教A版选修1-2.doc

1、1回 归 分 析 的 基 本 思 想 及 其 初 步 应 用预习课本 P28，思考并完成以下问题1什么是回归分析？2什么是线性回归模型？3求线性回归方程的步骤是什么？新 知 初 探 1回归分析(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)回归方程的相关计算对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)设其回归直线方程为 x ，其中 ， 是待定参数，由最小二乘法得y b a a b ，b ni 1 xi x yi yni 1 xi x 2ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b x(3)线性

2、回归模型线性回归模型Error!，其中 a， b 为模型的未知参数，通常 e 为随机变量，称为随机误差 x 称为解释变量， y 称为预报变量点睛 对线性回归模型的三点说明(1)非确定性关系：线性回归模型 y bx a e 与确定性函数 y a bx 相比，它表示y 与 x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差 e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值 a， b 的工具2(2)线性回归方程 x 中 ， 的意义是：以 为基数， x 每增加 1 个单位， y 相应地y b a a b a 平均增加 个单位b 2线性回归分析(1)残差：对于样本点( xi， yi)(i

3、1,2， n)的随机误差的估计值 i yi i称为e y 相应于点( xi， yi)的残差， (yi i)2称为残差平方和ni 1 y (2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图(3)R21 越接近 1，表示回归的效果越好ni 1 yi y i 2ni 1 yi y 2小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)残差平方和越小， 线性回归方程的拟合效果越好( )(2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上( )(3)R2越小， 线性回归方

4、程的拟合效果越好( )答案：(1) (2) (3)2从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为_答案：正相关3在残差分析中， 残差图的纵坐标为_答案：残差4如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上， 则残差平方和等于_， 解释变量和预报变量之间的相关系数等于_答案：0 1 或1求线性回归方程典例 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据x 6 8 10 123y 2 3 5 6(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (3)试根据求出的线性回归方

5、程，预测记忆力为 9 的同学的判断力解 (1)散点图如图：(2) iyi6283105126158，ni 1x 9， 4，x6 8 10 124 y 2 3 5 646 28 210 212 2344ni 1x2i 07， 407923，b 158 494344 492 1420 a y b x故线性回归方程为 07 x23y (3)由(2)中线性回归方程知，当 x9 时， 079234，故预测记忆力为 9y 的同学的判断力约为 4求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系(2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数(3)写方程：写出线

6、性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明 活学活用某工厂 18 月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份 1 2 3 4 5 6 7 8产量(吨) 56 60 61 64 70 75 80 82成本(万元) 130 136 143 149 157 172 183 188以产量为 x，成本为 y4(1)画出散点图；(2)y 与 x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程解：(1)由表画出散点图，如图所示(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为 x 和 y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表xi yi x2i xiyi1 56 130 3136 728

7、02 60 136 3600 81603 61 143 3721 87234 64 149 4096 95365 70 157 49001 09906 75 172 56251 29007 80 183 64001 46408 82 188 67241 5416 548 1 258 382028 7645计算得 685， 15725x y b 8i 1xiyi 8xy8i 1x2i 8x2 2217，8 764.5 86.85157.25382.02 86.852 157252217685539，a y b x5故线性回归方程为 2217 x539y 回归分析题点一：线性回归分析1在一段时间内

8、，某种商品的价格 x 元和需求量 y 件之间的一组数据为：x 14 16 18 20 22y 12 10 7 5 3求出 y 对 x 的回归直线方程，并说明拟合效果的程度解： (1416182022)18，x15 (1210753)74y1514 216 218 220 222 21 660，5i 1x2iiyi14121610187205223620，5i 1x可得回归系数 115b 5i 1xiyi 5xy5i 1x2i 5x2 620 5187.41 660 5182所以 7411518281a 所以回归直线方程： 115 x281y 列出残差表：yi iy 0 03 04 01 02y

9、i y 46 26 04 24 44则 (yi i)203， (yi )25325i 1 y 5i 1 yR21 09945i 1 yi y i 25i 1 yi y 2所以回归模型的拟合效果很好6题点二：非线性回归分析2为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖个数 y 的变化，收集数据如下时间 x/天 1 2 3 4 5 6繁殖个数 y 6 12 25 49 95 190(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2)求 y 与 x 之间的回归方程解：(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y1 c1ec2x 的周围，于是令 zln y，则x 1

10、2 3 4 5 6z 179 248 322 389 455 525由计算器算得， 069 x1112，则有 e 0 69x1 112z y (1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归方程判断拟合效果的好坏需要利用 R2确定， R2越接近 1，说明拟合效果越好(2)非线性回归方程的求法根据原始数据( x， y)作出散点图；根据散点图，选择恰当的拟合函数；作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；在的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程 层级一 学业水平达标1在对两个变量 x， y 进行线性回归分析时，有下列步骤：对所

11、求出的回归直线方程作出解释；收集数据( xi， yi)， i1,2， n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图7如果根据可行性要求能够作出变量 x， y 具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )A BC D解析：选 D 对两个变量进行回归分析时，首先收集数据( xi， yi)， i1,2， n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是， 故选 D2有下列说法：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； R2来刻画回归的效果，

12、R2值越大，说明模型的拟合效果越好；比较两个模型的拟合效果， 可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 D 选用的模型是否合适与残差点的分布有关； 对于， R2的值越大，说明残差平方和越小， 随机误差越小，则模型的拟合效果越好3下图是根据变量 x， y 的观测数据( xi， yi)(i1,2，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量 x， y 具有相关关系的图是( )A BC D解析：选 D 根据散点图中点的分布情况，可判断中的变量 x， y 具有相关的关系4(重庆高考)已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得

13、样本平均数3， 35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )x yA 04 x23 B 2 x24y y C 2 x95 D 03 x44y y 解析：选 A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C，D且直线必过点8(3,35)代入 A，B 得 A 正确5为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x(万元 ) 82 86 100 113 119支出 y(万元 ) 62 75 80 85 98根据上表可得回归直线方程 x ，其中 076， 据此估计，该社y b a b a y b x 区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为

14、( )A114 万元 B118 万元C120 万元 D122 万元解析：选 B 由题意知， 10，x8.2 8.6 10.0 11.3 11.95 8，y6.2 7.5 8.0 8.5 9.85 80761004，a 当 x15 时， 0761504118(万元)y 6以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：年平均气温() 1251 1284 1284 1369 1333 1274 1305年降雨量(mm) 542 507 813 574 701 432 464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温_相关关系(填“具有”或“不具有”)解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温

15、没有相关关系答案：不具有7在一组样本数据( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)(n2， x1， x2， xn不全相等)的散点图中，若所有样本点( xi， yi)(i1,2， n)都在直线 y x1 上，则这组样12本数据的样本相关系数为_解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1答案：198下列说法正确的命题是_(填序号)回归直线过样本点的中心( ， )；x y线性回归方程对应的直线 x 至少经过其样本数据点( x1， y1)，( x2， y2)，y b a ，( xn， yn)中的一个点；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型

16、拟合的精度越高；在回归分析中， R2为 098 的模型比 R2为 080 的模型拟合的效果好解析：由回归分析的概念知正确，错误答案：9某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x(元) 8 82 84 86 88 9销量 y(件) 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 x ，其中 20， ；y b a b a y b x(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解：(1) (8828486889)x1685，

17、 (908483807568)80，y16从而 20 802085250, a y x故 20 x250y (2)由题意知， 工厂获得利润z( x4) y20 x2330 x1 00020 236125，所以当 x 825(x334) 334时， zmax36125(元)即当该产品的单价定为 825 元时，工厂获得最大利润10关于 x 与 y 有以下数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70已知 x 与 y 线性相关，由最小二乘法得 65，b (1)求 y 与 x 的线性回归方程；10(2)现有第二个线性模型： 7 x17，且 R2082y 若与(1)的线性模型比较，哪一个线

18、性模型拟合效果比较好，请说明理由解：(1)依题意设 y 与 x 的线性回归方程为 65 x y a 5，x2 4 5 6 85 50，y30 40 60 50 705 65 x 经过( ， )，y a x y50655 ， 175，a a y 与 x 的线性回归方程为 65 x175y (2)由(1)的线性模型得 yi i与 yi 的关系如下表：y yyi iy 05 35 10 65 05yi y 20 10 10 0 20所以 (yi i)2(05) 2(35) 210 2(65) 205 21555i 1 y (yi )2(20) 2(10) 210 20 220 21 0005i 1

19、y所以 R 1 1 0845215i 1 yi y i 25i 1 yi y 2 1551 000由于 R 0845， R2082 知 R R2，21 21所以(1)的线性模型拟合效果比较好层级二 应试能力达标1在建立两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择 4 个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是( )模型 1 2 3 4R2 067 085 049 023A模型 1 B模型 211C模型 3 D模型 4解析：选 B 线性回归分析中，相关系数为 r，| r|越接近于 1, 相关程度越大； |r|越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好 故选 B2如果某地的财政收

20、入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y bx a e(单位：亿元)，其中 b08， a2，| e|05，如果今年该地区财政收入为 10 亿元，则年支出预计不会超过( )A10 亿 B9 亿C105 亿 D95 亿解析：选 C x10 时， y08102 e10 e，又| e|05， y1053某咖啡厅为了了解热饮的销售量 y(个)与气温 x()之间的关系，随机统计了某 4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温() 18 13 10 1销售量(个) 24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程 2 x a当气温为4 时，预测销售量约为( )y A68 B66C72 D70解析：选 A (1

21、813101)10， (24343864)x14 y 1440，40210 a， a60，当 x4 时， y2(4)60684甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A， B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和 (yi i)2如下表：ni 1 y 甲 乙 丙 丁散点图残差平方和 115 106 124 103哪位同学的试验结果体现拟合 A， B 两变量关系的模型拟合精度高( )A甲 B乙C丙 D丁解析：选 D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残12差平方和越小(对于已经获取的样本数据， R2的表达式中 (yi )2为确定的数，则残差ni 1 y平方和越小， R

22、2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些故选 D5在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线ye bx a的周围，令 ln y，求得回归直线方程为 025 x258，则该模型的回归方z z 程为_解析：因为 025 x258， ln y，所以 ye 0 25x2 58z z 答案： ye 0 25x2 586调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程： 0254 x0321由回归直线方程可知，家庭年收

23、入每增加 1 万元，年饮食支y 出平均增加_万元解析：以 x1 代 x，得 0254( x1)0321，与 0254 x0321 相减可得，y y 年饮食支出平均增加 0254 万元答案：02547下表是某年美国旧轿车价格的调查资料使用年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均价格(美元)2 6511 943 1 494 1 087 765 538 484 290 226 204观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？解：设 x 表示轿车的使用年数， y 表示相应的平均价格，作出散点图由散点图可以看出 y 与 x 具有指数关系，令 zln y，变换得x 1 2 3 4

24、 5 6 7 8 9 10z7883757273096991664062886182567054215318作出散点图：13由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：81660298 xz 因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为e 8 1660 298xy 8某公司利润 y(单位：千万元)与销售总额 x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32y 1 13 18 2 26 27 33(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为 24 千万元时的利润解：(1)散点图如图：(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算i 1 2 3 4 5 6 7xi 10 15 17 20 25 28 32yi 1 13 18 2 26 27 3321， 21x y3 447， iyi34637i 1x2i7i 1x于是 0104b 346.3 7212.13 447 7212210104210084，a 14因此回归直线方程为 0104 x0084y (3)当 x24 时， y01042400842412(千万元)