1、1课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1设 P是椭圆 1 上的点，若 F1， F2是椭圆的两个焦点，则| PF1| PF2|等于( )x225 y216A4 B5C8 D10解析：选 D 根据椭圆的定义知，| PF1| PF2|2 a2510，故选 D2已知 ABC的顶点 B， C在椭圆 y21 上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的x23另外一个焦点在 BC边上，则 ABC的周长是( )A2 B63C4 D123解析：选 C 由于 ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为 F，利用椭圆的定义，|BA| BF|2 ，| CA| CF|2 ，便可求得 ABC的周长为 4 3 3
2、33命题甲：动点 P到两定点 A， B的距离之和| PA| PB|2 a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选 B 利用椭圆定义若 P点轨迹是椭圆，则| PA| PB|2 a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若| PA| PB|2 a(a0，常数)是不能推出 P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当 2a|AB|时， P点轨迹才是椭圆；而当 2a| AB|时， P点轨迹是线段AB；当 2a3 B a3或 a3或6a60 得Error!所以Error!所以 a3或6b0)，且可知左焦点为x2a2
3、 y2b2F(2,0)从而有Error! 解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C的标准方程为 1x216 y212法二：依题意，可设椭圆 C的方程为 1( ab0)，则Error!解得 b212 或x2a2 y2b2b23(舍去)，从而 a216所以椭圆 C的标准方程为 1x216 y212答案： 1x216 y2128椭圆的两焦点为 F1(4,0)， F2(4,0)，点 P在椭圆上，若 PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析：如图，当 P在 y轴上时 PF1F2的面积最大， 8b12， b3123又 c4， a2 b2 c225椭圆的标准方程为 1x225
4、y29答案： 1x225 y299设 F1， F2分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点设椭圆 C上一点x2a2 y2b2到两焦点 F1， F2的距离和等于 4，写出椭圆 C的方程和焦点坐标(3，32)解：由点 在椭圆上，得 1，(3，32) 3 2a2 (32)2b2又 2a4，所以椭圆 C的方程为 1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)x24 y2310已知椭圆 C与椭圆 x237 y237 的焦点 F1， F2相同，且椭圆 C过点 (572， 6)(1)求椭圆 C的标准方程；(2)若 P C，且 F1PF2 ，求 F1PF2的面积3解：(1)因为椭圆 y21 的焦点坐标为(6,0
5、)，(6,0)x237所以设椭圆 C的标准方程为 1( a236)x2a2 y2a2 36将点 的坐标代入整理得 4a4463 a26 3000，解得 a2100 或 a2 (舍(572， 6) 634去)，所以椭圆 C的标准方程为 1x2100 y264(2)因为 P为椭圆 C上任一点，所以| PF1| PF2|2 a20由(1)知 c6，在 PF1F2中，| F1F2|2 c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos ，3即 122| PF1|2| PF2|2| PF1|PF2|因为| PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)2
6、2| PF1|PF2|，所以 122(| PF1| PF2|)23| PF1|PF2|4所以 12220 23| PF1|PF2|所以| PF1|PF2| 202 1223 3283 2563S PF1F2 |PF1|PF2|sin 12 3 12 2563 32 6433所以 F1PF2的面积为 6433层级二 应试能力达标1下列说法中正确的是( )A已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8的点的轨迹是椭圆B已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 6的点的轨迹是椭圆C平面内到点 F1(4,0)， F2(4,
7、0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选 C A 中，| F1F2|8，则平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8的点的轨迹是线段，所以 A错误；B 中，到 F1， F2两点的距离之和等于 6，小于| F1F2|，这样的轨迹不存在，所以 B错误；C 中，点 M(5,3)到 F1， F2两点的距离之和为 5 4 2 324 |F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以 C正确；D 中，轨迹应是线段 5 4 2 32 10F1F2的垂直平分线，所以 D错误故选 C2椭圆 1 的焦点为
8、F1， F2， P为椭圆上的一点，已知 PF1 20，则x225 y29F1PF2的面积为( )A9 B12C10 D8解析：选 A PF1 20， PF1 PF2| PF1|2| PF2|2| F1F2|2且| PF1| PF2|2 a又 a5， b3， c4，Error! 2，得 2|PF1|PF2|36，| PF1|PF2|18， F1PF2的面积为5S |PF1|PF2|9123若 ，方程 x2sin y2cos 1 表示焦点在 y轴上的椭圆，则 的(0，2)取值范围是( )A B(4， 2) (0， 4C D(0，4) 4， 2)解析：选 A 易知 sin 0，cos 0，方程 x2
9、sin y2cos 1 可化为 1因为椭圆的焦点在 y轴上，所以 0，即 sin cos x21sin y21cos 1cos 1sin 0又 ，所以 b0)或 1( ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!所以 b2 a2 c212于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1x216 y212 y216 x212法二：设所求的椭圆方程为 1( ab0)或 1( ab0)，两个焦点分别为x2a2 y2b2 y2a2 x2b2F1， F2由题意知 2a| PF1| PF2|358，所以 a4在方程 1 中，令 x c，得| y| ；x2a2 y2b2 b2
10、a在方程 1 中，令 y c，得| x| y2a2 x2b2 b2a依题意有 3，得 b212b2a于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1x216 y212 y216 x2128 如图在圆 C：( x1) 2 y225 内有一点 A(1,0) Q为圆 C上一点，AQ的垂直平分线与 C， Q的连线交于点 M，求点 M的轨迹方程解：如图，连接 MA由题意知点 M在线段 CQ上，从而有|CQ| MQ| MC|又点 M在 AQ的垂直平分线上，则| MA| MQ|，故| MA| MC| CQ|5又 A(1,0)， C(1,0)，故点 M的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且 2a5，故 a ， c1， b2 a2 c2 1 52 254 214故点 M的轨迹方程为 1x2254y22147
