1、1课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.抛物线 y= x2的焦点关于直线 x-y-1=0 的对称点的坐标是 ( )14A.(2,-1) B.(1,-1)C. D.(14,14) (116,116)【解析】选 A.y= x2x2=4y,焦点为(0,1),其关于 x-y-1=0 的对称点为(2,-1).142.(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x12的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 =( )|A|A.3 B.6 C.9 D.12【解析】
2、选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得 解得x22y22 c=2,=12,a=4,由 b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为 + =1,因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2,x216y212将 x=-2 代入到 + =1,解得 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.x216y212 |A|3.已知抛物线 C:x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取12值范围是 ( )A.(-,-1)(1,+)B. (- ,- 22) ( 22,+)C.(-,-2 )(2 ,+)2
3、 2D.(-,- )( ,+)2 22【解析】选 D.显然 t0,直线 AB 的方程为 y= x-1,代入抛物线方程得 2tx2-4x+t=0.4由题意 =16-8t 2 .2 2【补偿训练】设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是 ( )A. B.-2,2-12,12C.-1,1 D.-4,4【解析】选 C.准线 x=-2,Q(-2,0),设 y=k(x+2),由 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,y=(+2),2=8当 k=0 时,x=0,即交点为(0,0),当 k0 时,0,-1k0)上,另一个顶点是此抛物线焦
4、点的正三角形个数记为 n,则 ( )A.n=0 B.n=1C.n=2 D.n3【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.【解析】选 C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条3直线倾斜角分别为 30和 150,如图,所以正三角形的个数 n=2.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.沿直线 y=-2 发出的光线经抛物线 y2=ax 反射后,与 x 轴相交于点 A(2,0),则抛物线的准线方程为 (抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).【解析】由直线 y=-2 平行于抛物线的对称轴知 A(2,0)为焦点,故准线
5、方程为 x=-2.答案:x=-27.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是 .【解析】设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0),由题意得 y=1,2=4,消去 y,整理得(x-1) 2=4x,即 x2-6x+1=0.所以 x0= =3,y0=x0-1=2.所以 P(3,2).x1+22答案:(3,2)【一题多解】 =4x2, =4x1, - =4x2-4x1, =4.y22 y21 y22y21 (21)(2+1)21所以 y1+y2=4,即 y0=2,因此 x0=y0+1=3.故中点为 P(3,2).
6、答案:(3,2)8.(2015吉林高二检测)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与3l 相交于点 A,与抛物线的一个交点为 B,若 = ,则 p= .AM【解析】由题知准线 l 为 x=- (p0),p2过点 M 且斜率为 的直线为 y= (x-1),3 3则 A ,(-2, 3(21)4设 B(x,0),由 = 可知AMM 为 AB 的中点,又 M(1,0),所以-2+=2,3(21)+=0,即x=2+2,=3(2+1),代入 y2=2px 可知,p2+4p-12=0,即 p=2 或 p=-6(舍去).答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20
7、分)9.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.(1)求实数 b 的值.(2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.【解题指南】利用直线 l 与抛物线 C 相切,联立方程,由 =0 求实数 b 的值;由直线与圆相切求圆的方程.【解析】(1)由 得 x2-4x-4b=0.(*)y=+,2=4,因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 =(-4) 2-4(-4b)=0.解得 b=-1.(2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x2-4x+4=0.解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所
8、以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,5即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2) 2+(y-1)2=4.10.(2015济南高二检测)如图,已知点 P(-3,0),点 Q 在 x 轴上,点 A 在 y 轴上,且 =0, =2 .当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.P A QA【解题指南】设出点 M 的坐标,利用 =0, =2 ,求动点 M 的轨迹方程.P A QA【解析】设动点 M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为 P(-3,0),所以 =(3,b), =(a,-b), =(x-a,y),P A Q因为 =0,P
9、 A所以(3,b)(a,-b)=0,即 3a-b2=0.因为 =2 ,QA所以(x-a,y)=2(a,-b),即 x=3a,y=-2b.由得 y2=4x.所以动点 M 的轨迹方程为 y2=4x.【补偿训练】若动点 P 在 y=2x2+1 上移动,求点 P 与 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程.【解析】设 PQ 中点为 M(x,y),P(x0,y0),则 所以x=0+02 ,=012 , x0=2,0=2+1.又因为 y0=2 +1,所以 2y+1=8x2+1.x20即 y=4x2为所求的轨迹方程.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2014辽宁高考)已知点
10、A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为 ( )6A. B. C. D.12 23 34 43【解题指南】由直线与 C 相切求 B 点的坐标,由斜率公式求直线 BF 的斜率.【解析】选 D.因为抛物线 C:y2=2px 的准线为 x=- ,且点 A(-2,3)在准线上,所以 p=4.设直线p2AB 的方程为 x+2=m(y-3),与抛物线方程 y2=8x 联立得到 y2-8my+24m+16=0,由题易知 =0,解得m=- (舍)或 m=2,这时 B 点的坐标为(8,8),而焦点 F 的坐标
11、为(2,0),故直线 BF 的斜率 kBF=12= .8082432.(2014四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ( )O OA.2 B.3 C. D.1728 10【解析】选 B.由题意可知,F .设 A( ,y1),B( ,y2),(14,0) y21 y22所以 =y1y2+ =2,O O y2122解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y23,故最小值为 3.21728 1728【误区警示】本题在求解时常因
12、忽略条件“点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧”导致解题错误.7二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.平面上有三个点 A(-2,y),B ,C(x,y),若 ABBC, 则动点 C 的轨迹方程为 .(0,2)【解析】 = -(-2,y)= , =(x,y)- = .因为 ABBC,所A(0,2) (2,2) B (0,2)(x,2)以 =0,所以 =0,即 y2=8x.所以动点 C 的轨迹方程为 y2=8x.A B (2,2) (x,2)答案:y 2=8x4.(2015漳州高二检测)已知过抛物线 y2=4x 焦点的一条弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 所在直线
13、与 y 轴的交点坐标为(0,2),则 + = .1112【解析】弦 AB 是过焦点 F(1,0)的弦,又过点(0,2),所以其方程为 x+ =1,y22x+y-2=0 与 y2=4x 联立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+ = = = .1112y1+212 -2412答案:12【补偿训练】线段 AB 是抛物线 y2=x 的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段 AB 的中点 C 到直线x+ =0 的距离是 .12【解析】线段 AB 的中点 C 到准线 x=- 的距离为|AB|长的一半,则中点 C 到直线 x+ =0 的距离14 12为 .94答案:94三、解答题(每小题
14、10 分,共 20 分)85.如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB,AC,交抛物线于 B,C 两点,求证:直线 BC 的斜率是定值.【证明】设 kAB=k(k0),因为直线 AB,AC 的倾斜角互补,所以 kAC=-k(k0),AB 的方程是 y=k(x-4)+2.由方程组 y=(4)+2,2=, 消去 y 后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为 A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,所以 4xB= ,16216+42即 xB= .424+12以-k 代换 xB中的 k,得 xC= ,42+4+12所以
15、 kBC= =yk(4)+2(4)+2= = =- .k(+8)k(82+22 8)82 14所以直线 BC 的斜率是定值.【补偿训练】如图,已知AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A,B 两点都在抛物线上,且9AOB=90.(1)证明直线 AB 必过一定点.(2)求AOB 面积的最小值.【解析】(1)设 OA 所在直线的方程为 y=kx(k0),则直线 OB 的方程为 y=- x,1由 解得 或y=,2=2, x=0,=0 x=22,=2,即 A 点的坐标为 .(22,2)同理由y=1,2=2,解得 B 点的坐标为(2k 2,-2k).所以 AB 所在直线的方程为 y+2k=
16、 (x-2k2),2+22222化简并整理,得 y=x-2.(1)不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x=2 时,恒有 y=0.故直线过定点 P(2,0).(2)由于 AB 所在直线过定点 P(2,0),所以可设 AB 所在直线的方程为 x=my+2.由 消去 x 并整理得 y2-2my-4=0.x=+2,2=2,所以 y1+y2=2m,y1y2=-4.10于是|y 1-y2|= = = =2 .(12)2 (1+2)2412 (2)2+16 m2+4SAOB = |OP|(|y1|+|y2|)12= |OP|y1-y2|= 22 =2 .12 12 m2+4 m2+4所以当 m=0
17、时,AOB 的面积取得最小值为 4.6.(2014安徽高考)如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p10)和 E2:y2=2p2x(p20),过原点 O 的两条直线 l1和 l2,l1与 E1,E2分别交于 A1,A2两点, l2与 E1,E2分别交于 B1,B2两点.(1)证明:A 1B1A 2B2.(2)过原点 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2分别交于 C1,C2两点.记A 1B1C1与A 2B2C2的面积分别为 S1与 S2,求 的值.S12【解题指南】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点 A1,A2,B1,B2的坐标,利用向量证明平行关系.(2)利用两
18、个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.【解析】(1)设直线 l1,l2的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k20),则由 A1 ,y=1,2=21, (2121,211)由 A2 ,y=1,2=22, (2221,221)同理可得 B1 ,B2 ,(2122,212) (2222,222)所以 =A11(21222121,212211)11=2p1 ,(122121,1211)=A22(22222221,222221)=2p2 ,(122121,1211)故 = ,所以 A1B1A 2B2.A11p1222(2)由(1)知 A1B1A 2B2,同理可得 B1C1B 2C2,A1C1A 2C2,所以A 1B1C1相似于A 2B2C2,因此 = ,又由(1) 中的 = 知 = ,故 = .S12(| 11|22|)2 A11p1222| 11|22|p12 S12p212212
