1、1第三章 3.3 3.3.3A级 基础巩固一、选择题1函数 y2 x33 x212 x5 在2,1上的最大值、最小值分别是( A )导 学 号 03624868A12；8 B1；8C12；15 D5；16解析 y6 x26 x12，由 y0 x1 或 x2(舍去) x2 时y1， x1 时 y12， x1 时 y8. ymax12， ymin8.故选 A2函数 f(x) x33 x(|x|0,10，得 00，得 3 时， f 23 23 23( x)0，得 f( )为极小值，再比较 f(0)和 f(5)与 f( )的大小即可23 235(2016黑龙江哈三中期末)已知 x2 是函数 f(x)
2、x33 ax2 的极小值点，那么函数 f(x)的极大值为 ( D )导 学 号 03624881A15 B16C17 D18解析 x2 是函数 f(x) x33 ax2 的极小值点，即 x2 是 f( x)3 x23 a0的根，将 x2 代入得 a4，所以函数解析式为 f(x) x312 x2，则由 3x2120，得x2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当 x2 时函数 f(x)取得极大值 f(2)18.故选 D二、填空题6函数 f(x)2 x33 x212 x5 在0,3上的最大值和最小值的和是_10_.导 学 号 03624882解析 f ( x)6
3、x26 x12，令 f ( x)0，解得 x1 或 x2.但 x0,3，5 x1 舍去， x2.当 x变化时， f ( x)， f(x)的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3f ( x)12 0 24f(x) 5 15 4由上表，知 f(x)max5， f(x)min15，所以 f(x)max f(x)min10.7函数 f(x) ax44 ax3 b(a0)， x1,4， f(x)的最大值为 3，最小值为6，则a b .103 导 学 号 03624883解析 f ( x)4 ax312 ax2.令 f ( x)0，得 x0(舍去)，或 x3.10，故 x3 为极小值点 f
4、(3) b27 a， f(1) b3 a， f(4) b， f(x)的最小值为 f(3) b27 a，最大值为 f(4) b.Error! 解得Error! a b .103三、解答题8(2017全国文，21)设函数 f(x)(1 x2)ex.导 学 号 03624884(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时， f(x) ax1，求 a的取值范围解析 (1)解： f( x)(12 x x2)ex.令 f( x)0 得 x1 或 x1 .2 2当 x(，1 )时， f( x)0；2 2当 x(1 ，)时， f( x)0)，因此 h(x)在0，)单调递减而 h(0)1，故 h(x)1所以
5、 f(x)( x1) h(x) x1 ax1.6当 00( x0)，所以 g(x)在0，)单调递增而 g(0)0，故 ex x1.当 0(1 x)(1 x)2，(1 x)(1 x)2 ax1 x(1 a x x2)，取 x0 ，5 4a 12则 x0(0,1)，(1 x0)(1 x0)2 ax010，故 f(x0)ax01.当 a0 时，取 x0 ，则 x0(0,1)， f(x0)(1 x0)(1 x0)21 ax01.5 12综上， a的取值范围是1，)C级 能力提高1已知 f(x) x36 x29 x abc， a0； f(0)f(1)0； f(0)f(3)0，得 x3， f(x)在区间(
6、1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又 a0，y 最小值 f(3) abc0.又 x1， x3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 f(0)0.正确结论的序号是.2(2017山东文，20)已知函数 f(x) x3 ax2， aR.13 12 导 学 号 036248867(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程；(2)设函数 g(x) f(x)( x a)cos xsin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解析 (1)由题意 f( x) x2 ax，所以当 a2 时， f(3)0， f( x) x22
7、x，所以 f(3)3，因此曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程是 y3( x3)，即 3x y90.(2)因为 g(x) f(x)( x a)cos xsin x，所以 g( x) f( x)cos x( x a)sin xcos x x(x a)( x a)sin x( x a)(xsin x)令 h(x) xsin x，则 h( x)1cos x0，所以 h(x)在 R上单调递增因为 h(0)0，所以当 x0时， h(x)0；当 x0， g(x)单调递增；当 x( a,0)时， x a0， g( x)0， g( x)0， g(x)单调递增所以当 x a时， g(x)取到极大值
8、，极大值是 g(a) a3sin a；16当 x0 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(0) a.当 a0 时， g( x) x(xsin x)，当 x(，)时， g( x)0， g(x)单调递增；所以 g(x)在(，)上单调递增， g(x)无极大值也无极小值当 a0时， g( x)( x a)(xsin x)，当 x(，0)时， x a0， g(x)单调递增；当 x(0， a)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增所以当 x0 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(0) a；当 x a时， g(x)取到极小值，8极小值是 g(a) a3sin a.16综上所述：当 a0时，函数 g(x)在(，0)和( a，)上单调递增，在(0， a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a3sin a.169
