1、11.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题.2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假知识点一 四种命题的概念思考 分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系(1)若 ，则 sin sin ；(2)若 sin sin ，则 ；(3)若 ，则 sin sin ；(4)若 sin sin ，则 .答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否
2、定和条件的否定梳理 (1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题(2)四种命题结构2知识点二 四种命题之间的相互关系知识点三 四种命题的真假性之间的关系思考 如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？答案 原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；而逆命题、否命题不
3、一定是真命题梳理 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题( )2两个互逆命题的真假性相同( )3四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( )类型一 四种命题的概念命题角度 1 四种命题的概念例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若 x A，则 x( A B)；(2)若 a， b 都是偶数，则 a b 是偶数；(3)在 ABC 中，若 ab，则 AB.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：若 x( A B)，则 x A.否命题：若 xA，则 x
4、(A B)逆否命题：若 x(A B)，则 xA.(2)逆命题：若 a b 是偶数，则 a， b 都是偶数否命题： a， b 不都是偶数，则 a b 不是偶数逆否命题：若 a b 不是偶数，则 a， b 不都是偶数3(3)逆命题：在 ABC 中，若 AB，则 ab.否命题：在 ABC 中，若 a b，则 A B.逆否命题：在 ABC 中，若 A B，则 a b.反思与感悟 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论跟踪训练 1 命题“若
5、函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数，则 loga20， a1)，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内不是减函数B若 loga20( a0， a1)，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内不是减函数C若 loga20， a1)，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数D若 loga20( a0， a1)，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能
6、写成“是增函数” ，而应写成不是减函数命题角度 2 四种命题的相互关系例 2 若命题 p：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的否命题为 q，命题 q 的逆命题为r，则 r 与 p 的逆命题的关系是( )A互为逆命题B互为否命题C互为逆否命题D同一命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的应用答案 B解析 已知命题 p：若 x y0，则 x， y 互为相反数命题 p 的否命题 q 为：若 x y0，则 x， y 不互为相反数，命题 q 的逆命题 r 为：若 x， y 不互为相反数，则 x y0， r 是 p 的逆否命题， r 是 p 的逆命题的否命题，故选 B.反思与感悟 判断
7、四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断4(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系跟踪训练 2 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a， b 满足 a1 且 b2，则 a bbc2，则 ab”的逆命题其中是真命题的是_考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 解析 “若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题是“若 x， y 互为倒数，则 xy1” ，是真命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形” ，
8、是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若 ac2bc2，则 ab”的逆命题是“若 ab，则 ac2bc2”，是假命题故填.反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握跟踪训练 3 下列命题为真命题的是( )“正三角形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x22 x m0 有实根”的逆否命题；“若 x 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题2A BC D考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两
9、个三角形都是正三角形” ，故为假5命题原命题的逆否命题为“若 x22 x m0 无实根，则 m0” 方程无实根，判别式 44 m1，74所以原命题为真，故其逆否命题为真引申探究 判断命题“已知 a， x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集为 R，则a0 的解集为 R，且二次函数y x2(2 a1) x a22 的开口向上，所以 (2 a1) 24( a22)4 a70，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2
10、x m0 没有实根，则 m0考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 D解析 原命题为“若 p，则 q”，则其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”所求命题为“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 2下命题中为真命题的是( )A命题“若 a， b 都大于 0，则 ab0”的逆命题B命题“若 x1，则 x2 x20”的否命题C命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题D命题“若 tanx ，则 x ”的逆否命题3 3考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 C7解析 对于 A，命题“若 a， b 都大于 0，则 ab0”的逆命题是“若 ab0，则 a， b 都大于0”，是假命
11、题，如 a， b 都为负数时 ab0 也成立；对于 B，命题“若 x1，则x2 x20”的否命题是“若 x1，则 x2 x20” ，是假命题，如 x2；对于 C，命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题是“若 x|y|，则 xy”，是真命题；对于 D，命题“若tanx ，则 x ”是假命题，故其逆否命题也是假命题故选 C.3 33给出以下四个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在 ABC 中，若 sinAsin B，则 A B；在一元二次方程 ax2 bx c0 中，若 b24 ac0，则 a0 且 b0，是假命题；逆否命题：若a0 且 b0，则 ab0，是真命题对
12、于，原命题：若 ab，则 am2bm2，是假命题；逆命题：若 am2bm2，则 ab，是真命题；否命题：若 a b，则 am2 bm2，是真命题；逆否命题：若am2 bm2，则 a b，是假命题对于，原命题：在 ABC 中，若 sinAsin B，则 A B，是真命题；逆命题：在 ABC 中，若 A B，则 sinAsin B，是真命题；否命题：在 ABC 中，若 sinAsin B，则 A B，是真命题；逆否命题：在 ABC 中，若 A B，则 sinAsin B，是真命题对于，原命题：在一元二次方程 ax2 bx c0 中，若 b24 ac1 且 b1，则 a b2”的否命题其中真命题的序
13、号是_考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 解析 显然为真；为假；对于中，原命题“若 x 是有理数，则 x 是无理数”为假32命题，所以其逆否命题为假命题；对于中， “若 a1 且 b1，则 a b2”的否命题是“若a1 或 b1，则 a b2”为假命题12命题“如果 a22 ab b2 a b20，那么 a b1”的逆命题、否命题、逆否命题12三个命题中，真命题的个数是_考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 1解析 a22 ab b2 a b20 化简得( a b1)( a b2)0，即 a b1 且 a b2.命题“如果 a22 ab b2
14、a b20，那么 a b1”的逆命题为“如果 a b1，那么a22 ab b2 a b20” ，为假命题， a b2 也可以使 a22 ab b2 a b20；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果 a b1，那么a22 ab b2 a b20” ，真命题三、解答题13判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22 bx b2 b0 有实根”的逆否命题的真假考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为 4 b24( b2 b)4 b，因为 b1，所以 40，故此方程有两个不相等的
15、实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22 bx b2 b0 无实根，则 b1” 方程判别式为 4 b24( b2 b)4 b，因为方程无实根，所以 0，所以 b1 成立，即原命题的逆否命题为真四、探究与拓展14原命题为“若 an， nN *，则 an为递减数列” ，关于其逆命题，否命题，逆an an 12否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 A解析 anan1 anan为递减数列an an 1213原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选 A.15设 m， nR，证明：若 m2 n22，则 m n2.考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法证明 将“若 m2 n22，则 m n2”视为原命题，则它的逆否命题为“若 m n2，则 m2 n22” 因为 m n2，所以 m2 n2 (m n)2 222.12 12所以 m2 n22，所以原命题得证14
