1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）已知 (3)(1izm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A） ， （B） ， （C） (,)+（D） (3)-，（2 ）已知集合 ,2， |20
2、,xxZ，则 AB（A） 1（B） ， （C） 013， ， ， （D） 1， ， ， ，（3 ）已知向量 (,)(,)m， =ab，且 ()a+b，则 m=（A）8 （B）6 （C ）6 （D）8（4 ）圆28130xy的圆心到直线 10xy 的距离为 1，则 a=（A） 3 （B ） 4 （C） （D）2（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为2（A）20 （B）24 （
3、C）28 （D）32（7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则评议后图象的对称轴为12（A）x= (kZ) （B）x = + (kZ) （C）x= (kZ ) （D）x= + (kZ)k2 6 k2 6 k2 12 k2 12（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s=（A）7 （B）12 （C）17 （D）34（9）若 cos( )= ，则 sin 2= 4 35（A） （B） （C） （D）725 15 15 725（10）从区间 0,随机抽取 2n 个数
4、 1x, 2， nx， 1y， 2， ny，构成 n 个数对 1,xy，2,xy， nxy，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率3 的近似值为（A）4nm（B）2n（C）4mn（D）2（11 ）已知 F1， F2 是双曲线 E21xyab的左，右焦点，点 M 在 E 上，M F1 与 x 轴垂直，sin213M,则 E 的离心率为（A） （B） 2 （C） 3 （D）2（12 ）已知函数 ()fxR满足 ()()fxf，若函数 1xy与 ()fx图像的交点为12(,),(),mxyy则 1()miiiy（A）0 （B）m （C）2 m （D）4m第 II
5、 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若 cos A= 45，cos C= 13，a=1，则 b= .(14)、 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n，那么 .（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果 ，m ，那么 m. （4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三
6、张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 。（16）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+2）的切线，则 b= 。4三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）nS为等差数列 na的前 n 项和，且 7=128.naS， 记 =lgnba，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=lg1，.（I）求
7、10b， ， ；（II）求数列 n的前 1 000 项和.18.（本题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（III）求续保
8、人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= 54，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到 D的位置， 10O.（I）证明： D平面 ABCD；（II）求二面角 BAC的正弦值.520. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E:213xyt的焦点在 x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点，点 N在 E 上，MA NA.（I）当 t=4， AMN时，求AMN 的面积；（II）当 2时，求 k 的取值
9、范围.（21） （本小题满分 12 分）(I)讨论函数 x2f()e 的单调性，并证明当 x 0 时， (2)0;xe (II)证明：当 0,1a 时，函数 2=0xeag（ ）有最小值.设 g（x）的最小值为 ()ha，求函数()h的值域.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：集合证明选讲如图，在正方形 ABCD，E,G 分别在边 DA,DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DFCE，垂足为 F.(I) 证明： B,C,E,F 四点共圆；(II)若 AB=1，E 为
10、DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为（x +6） 2+y2=25. （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（II）直线 l 的参数方程是（t 为参数）,l 与 C 交于 A、B 两点，AB=，求 l 的斜率。（24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= x -+x+，M 为不等式 f(x) 2 的解集.（I）求 M；（II）证明：当 a,bM 时， a+b1+ab。6参考版解析第卷一、选择题：本大题共 12
11、小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知 (3)(1)izm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A） （B） 3（C） 1,+（D） 3-【解析】A 30， 1， 1m，故选 A（2）已知集合 ,2A， |()20BxxZ，则 B（A） 1（B） 1（C） 023（D ） 023【解析】C 10ZBxx1Zx， 0， 23AB，故选 C（3）已知向量 (1,)(3,2)amb=，且 ()ab，则 m=（A） 8（B） 6（C）6 （D ）8【解析】D42ab， ()， ()12()0abm解得 8m，故选 D（4）圆28130xy
12、的圆心到直线 10axy 的距离为 1，则 a=7（A）43（B）34（C ） 3 （D ）2【解析】A圆 2810xy化为标准方程为： 2214xy，故圆心为 4， 241ad，解得 3a，故选 A（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【解析】B EF有 6种走法， FG有 3种走法，由乘法原理知，共 6318种走法故选 B（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C） 28 （D ）3
13、2【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h由图得 2r， 4c，由勾股定理得： 2234，1Shl 682，故选 C8（7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）6kxZ（B ）6kZ（C） 21 （D ）21x【解析】B平移后图像表达式为sinyx，令2+12xk，得对称轴方程：26Zk，故选 B（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 2x， n，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s（A）7 （B）12 （C）17
14、（D）34【解析】C第一次运算： 02s，第二次运算： 6，第三次运算： 517s，故选 C9（9）若3cos45，则 sin2=（A）72（B）1（C）15（D ）725【解析】D3cos45，27sin2coscos1425，故选 D（10）从区间 0,1随机抽取 2n 个数 1x, 2， nx， 1y， 2， ny，构成 n 个数对 1,xy，2,xy， ,nxy，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A）4m（B）2n（C ）4n（D）2n【解析】C由题意得： 12iixy在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中由
15、几何概型概率计算公式知41mn，4，故选 C（11）已知 1F， 2是双曲线 E：2xyab的左，右焦点，点 M 在 E 上， 1F与 x轴垂直，sin3M,则 E 的离心率为（A） 2 （B）32（C） 3 （D ）210【解析】A离心率12FeM，由正弦定理得1212sin31FMeF故选 A（12）已知函数 Rfx满足 2fxf，若函数1xy与 yfx图像的交点为 1y， 2y， my，则1miii（ ）（A）0 （B）m （C ）2m （D）4m【解析】B由 2fxf得 fx关于 01对称，而1y也关于 对称，对于每一组对称点 0ix =2iiy，11mmiiiii mxy，故选 B第
16、卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2224 题为选考题，考生根据要求作答（13） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若4os5A，cs13C， a，则 b 【解析】2134cos5A，cs13C，in，2i，63siisincosin5BAC，11由正弦定理得： sinibaBA解得213b（14） ， 是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：如果 n， ， ，那么 如果 ， ，那么 m如果 a， ，那么 如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等【解析】（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1
17、和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3） ，若丙（1，2） ，则乙（2，3） ，甲（1，3）满足，若丙（1，3） ，则乙（2，3） ，甲（1，2）不满足，故甲（1，3） ，（16）若直线 ykxb是曲线 lnyx的切线，也是曲线 ln1yx的切线， b 【解析】 ln2lyx的切线为：11lyx（设切点横坐标为 1x）n1的切线为：222lnx1222lnl1xx解
18、得 1x2 lnlb12三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）nS为等差数列 na的前 n 项和，且 1a， 728S记 lgnnba，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如 0.9， lg91（）求 1b， ， 10；（）求数列 n的前 项和【解析】设 a的公差为 d， 7428Sa， 4， 413， 1()ndn 1lgl0ba， 11lglba， 101010lgl2ba记 n的前 项和为 nT，则 021210lll当 0gna 时， 29；当 l 时， ；当 2lg3na 时， 109；当 ln时， 1090293189T（18） （本小
19、题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 513概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保
20、费为事件 A，()1()(0.3.15)0.PA设续保人保费比基本保费高出 6%为事件 B，()()051B解：设本年度所交保费为随机变量 XX.8a.2a1.5.7a2P03.1502010.5平均保费 .852.15.75.2.EXaaa021053073，平均保费与基本保费比值为 .（19） （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， 5AB， 6C，点 E，F 分别在 AD，CD 上，54AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到 D的位置 10O.（I）证明： D平面 ABCD；（II）求二面角 BAC的正弦值.【解析】证明
21、： 54AECF，14 AECFD， 四边形 B为菱形， AC， EFD， H， 6AC， 3O；又 5B， B， 4， 1AEHDO， 3， 222， DH又 OEFI， 面 ABC建立如图坐标系 xyz50B， 130C， 3D， 130A，4Aur， Aur， 6Cur，设面 D法向量 1nxyz， ， ，15由 10nABD得 430xyz，取345xyz， 135nur同理可得面 AC的法向量 2301nur， 12957cos1nru， i（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 E:213xyt的焦点在 x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 (0)k的直线交 E 于 A，M 两
22、点，点N 在 E 上，MA NA.（I）当 4t， AMN时，求 AMN 的面积；（II）当 2时，求 k 的取值范围.【解析】 当 4t时，椭圆 E 的方程为2143xy，A 点坐标为 20，则直线 AM 的方程为 yk联立 2143xyk并整理得， 222341610kxk解得 2x或286k，则222813434AMk因为 AMN，所以2 221134kkk因为 ， 0k，16所以222114343kk，整理得 2140kk，240无实根，所以 所以 AMN的面积为2211349A直线 AM 的方程为 ykxt，联立 213xtykt并整理得， 22330tkxtktt解得 xt或2tk
23、t，所以22 2236113tttAMkkk所以263tNk因为 A所以222661133ttkk，整理得，236kt因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 t，即23k，整理得2310k解得 32k（21） （本小题满分 12 分）(I)讨论函数(x)e2xf的单调性，并证明当 0x时， (2)e0;x(II)证明：当 0,1)a 时，函数2e=()xag有最小值.设 g的最小值为 ()ha，求函数 ()ha的值域.【解析】证明： 2exf17224eexxf当 ,时， 0f fx在 2上单调递增 0时， e0=1xf 2x 24eexaag4x32exa01a，由(1)知，当 x时， 2ex
24、fx的值域为 1， ，只有一解使得 2eta， 0t，当 (0,)xt时 (gx， ()x单调减；当 (,)xt时 (0gx， ()x单调增22e1ee 2t tt tah记tk，在 0,t时， 10tk， kt单调递增 21e4hat，请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方形 ABCD，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DFCE，垂足为 F.(I) 证明： B，C，G，F 四点共圆；(II)若 1A， E 为 DA 的
25、中点，求四边形 BCGF 的面积.18【解析】 （）证明： DFCE Rtt GBFDBC E， G FB CD 90CFGDFC 180GFBB，C，G，F 四点共圆（）E 为 AD 中点， AB，12DE，在 RtF 中， GC，连接 GB， RtBF ，12=2BCGCFSS（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 265xy（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（II）直线 l 的参数方程是cosinxty（t 为参数） ，l 与 C 交于 A、B 两点， 10，求 l 的斜率19【
26、解析】解：整理圆的方程得 210xy，由22cosinxy可知圆 C的极坐标方程为 21cos0记直线的斜率为 k，则直线的方程为 0kxy，由垂径定理及点到直线距离公式知：226151，即2369014k，整理得 253k，则 3k（24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数12fxx，M 为不等式 2fx的解集.（I）求 M；（II）证明：当 a， b时， 1ab【解析】解：当 12x时， 22fxx，若 12x；当 时， 11f恒成立；当 12x时， 2fx，若 2fx， x综上可得， |1M当 ab， ， 时，有 210ab，即 221，则 2，则 22abb，即 1，证毕
