1、本 习 题 集 是 汇 集 全 国 各 大 高 校 期 末 考 试 经 常 出 现 的 题 型 ！ ！2018 年 4月 24日 高 等 数 学 试 卷 1（ 下 ）一 .选 择 题 （ 3分 10）1.点 1M 1,3,2 到 点 4,7,22M 的 距 离 21MM （ ） .A.3 B.4 C.5 D.62.向 量 jibkjia 2,2 ， 则 有 （ ） .A.a b B.a b C. 3, ba D. 4, ba 3.函 数 112 2222 yxyxy 的 定 义 域 是 （ ） .A. 21, 22 yxyx B. 21, 22 yxyxC. 21, 22 yxyx D 21,
2、 22 yxyx4.两 个 向 量 a与 b 垂 直 的 充 要 条 件 是 （ ） .A. 0ba B. 0 ba C. 0 ba D. 0 ba5.函 数 xyyxz 333 的 极 小 值 是 （ ） .A.2 B. 2 C.1 D. 16.设 yxz sin ， 则 4,1 yz （ ） .A. 22 B. 22 C. 2 D. 27.若 p 级 数 1 1n pn 收 敛 ， 则 （ ） .A. p 1 B. 1p C. 1p D. 1p8.幂 级 数 1n nnx 的 收 敛 域 为 （ ） .A. 1,1 B 1,1 C. 1,1 D. 1,19.幂 级 数 nn x 0 2 在
3、 收 敛 域 内 的 和 函 数 是 （ ） .A. x11 B. x22 C. x12 D. x2110.微 分 方 程 0ln yyyx 的 通 解 为 （ ） .A. xcey B. xey C. xcxey D. cxey 二 .填 空 题 （ 4分 5）1.一 平 面 过 点 3,0,0A 且 垂 直 于 直 线 AB ， 其 中 点 1,1,2B ， 则 此 平 面 方 程 为 _.2.函 数 xyz sin 的 全 微 分 是 _.3.设 13 323 xyxyyxz ， 则 yx z2 _.4. x21 的 麦 克 劳 林 级 数 是 _.5.微 分 方 程 044 yyy 的
4、 通 解 为 _.三 .计 算 题 （ 5分 6）1.设 vez u sin ， 而 yxvxyu , ， 求 ., yzxz 2.已 知 隐 函 数 yxzz , 由 方 程 05242 222 zxzyx 确 定 ， 求 ., yzxz 3.计 算 dyxD 22sin ， 其 中 2222 4: yxD .4.如 图 ， 求 两 个 半 径 相 等 的 直 交 圆 柱 面 所 围 成 的 立 体 的 体 积 （ R 为 半 径 ） .5.求 微 分 方 程 xeyy 23 在 00 xy 条 件 下 的 特 解 .四 .应 用 题 （ 10分 2）1.要 用 铁 板 做 一 个 体 积
5、为 2 3m 的 有 盖 长 方 体 水 箱 ， 问 长 、 宽 、 高 各 取 怎 样 的 尺 寸 时 ， 才 能 使 用 料 最 省 ？2曲 线 xfy 上 任 何 一 点 的 切 线 斜 率 等 于 自 原 点 到 该 切 点 的 连 线 斜 率 的 2倍 ， 且 曲 线 过 点 31,1 ，求 此 曲 线 方 程. 试 卷 1 参 考 答 案一 .选 择 题 CBCAD ACCBD二 .填 空 题1. 0622 zyx .2. xdyydxxy cos .3. 196 22 yyx .4. nn n n x 0 121 .5. xexCCy 221 .三 .计 算 题1. yxyxye
6、xz xy cossin ， yxyxxeyz xy cossin .2. 12,12 z yyzz xxz .3. 20 2 sin dd 26 .4. 3316 R .5. xx eey 23 .四 .应 用 题1.长 、 宽 、 高 均 为 m3 2 时 ， 用 料 最 省 .2. .31 2xy 高 数 试 卷 2（ 下 ）一 .选 择 题 （ 3分 10）1.点 1,3,41M ， 2,1,72M 的 距 离 21MM （ ） .A. 12 B. 13 C. 14 D. 152.设 两 平 面 方 程 分 别 为 0122 zyx 和 05 yx ， 则 两 平 面 的 夹 角 为
7、（ ） .A. 6 B. 4 C. 3 D. 23.函 数 22arcsin yxz 的 定 义 域 为 （ ） .A. 10, 22 yxyx B. 10, 22 yxyxC. 20, 22 yxyx D. 20, 22 yxyx4.点 1,2,1P 到 平 面 0522 zyx 的 距 离 为 （ ） .A.3 B.4 C.5 D.65.函 数 22 232 yxxyz 的 极 大 值 为 （ ） .A.0 B.1 C. 1 D.216.设 22 3 yxyxz ， 则 2,1xz （ ） .A.6 B.7 C.8 D.97.若 几 何 级 数 0n nar 是 收 敛 的 ， 则 （ ）
8、 .A. 1r B. 1r C. 1r D. 1r8.幂 级 数 nn xn 0 1 的 收 敛 域 为 （ ） .A. 1,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,19.级 数 1 4sinn nna 是 （ ） .A.条 件 收 敛 B.绝 对 收 敛 C.发 散 D.不 能 确 定10.微 分 方 程 0ln yyyx 的 通 解 为 （ ） .A. cxey B. xcey C. xey D. xcxey 二 .填 空 题 （ 4分 5）1.直 线 l过 点 1,2,2 A 且 与 直 线 tz ty tx 213 平 行 ， 则 直 线 l的 方 程 为 _.2.函 数 xyez
9、的 全 微 分 为 _.3.曲 面 22 42 yxz 在 点 4,1,2 处 的 切 平 面 方 程 为 _.4. 21 1x 的 麦 克 劳 林 级 数 是 _.5.微 分 方 程 03 ydxxdy 在 11 xy 条 件 下 的 特 解 为 _.三 .计 算 题 （ 5分 6）1.设 kjbkjia 32,2 ， 求 .ba 2.设 22 uvvuz ， 而 yxvyxu sin,cos ， 求 ., yzxz 3.已 知 隐 函 数 yxzz , 由 233 xyzx 确 定 ， 求 ., yzxz 4.如 图 ， 求 球 面 2222 4azyx 与 圆 柱 面 axyx 222
10、（ 0a ） 所 围 的 几 何 体 的 体 积 .5.求 微 分 方 程 023 yyy 的 通 解 .四 .应 用 题 （ 10分 2）1.试 用 二 重 积 分 计 算 由 xyxy 2, 和 4x 所 围 图 形 的 面 积 .2.如 图 ， 以 初 速 度 0v 将 质 点 铅 直 上 抛 ， 不 计 阻 力 ， 求 质 点 的 运 动 规 律 .txx （ 提 示 ： gdt xd 22 .当 0t时 ， 有 0xx ， 0vdtdx ）试 卷 2 参 考 答 案一 .选 择 题 CBABA CCDBA.二 .填 空 题1. 211212 zyx .2. xdyydxexy .3.
11、 488 zyx .4. 0 21n nn x .5. 3xy .三 .计 算 题1. kji 238 .2. yyxyyyyxyzyyyyxxz 33332 23 cossincossincossin,sincoscossin .3. 22 , zxy xzyzzxy yzxz .4. 322332 3 a .5. xx eCeCy 221 .四 .应 用 题1. 316.2. 00221 xtvgtx . 高 等 数 学 试 卷 3（ 下 ）一 、 选 择 题 （ 本 题 共 10小 题 ， 每 题 3分 ， 共 30分 ）1、 二 阶 行 列 式 2 -3 的 值 为 （ ）4 5A、
12、10 B、 20 C、 24 D、 222、 设 a=i+2j-k,b=2j+3k， 则 a 与 b 的 向 量 积 为 （ ）A、 i-j+2k B、 8i-j+2k C、 8i-3j+2k D、 8i-3i+k3、 点 P（ -1、 -2、 1） 到 平 面 x+2y-2z-5=0的 距 离 为 （ ）A、 2 B、 3 C、 4 D、 54、 函 数 z=xsiny在 点 （ 1， 4 ） 处 的 两 个 偏 导 数 分 别 为 （ ）A、 ,22 ,22 B、 ,22 22 C、 22 22 D、 22 ,225、 设 x2+y2+z2=2Rx， 则 yzxz , 分 别 为 （ ）A
13、、 zyz Rx , B、 zyz Rx , C、 zyz Rx , D、 zyz Rx ,6、 设 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 R， 面 密 度 为 22 yx 的 薄 板 的 质 量 为 （ ） （ 面 积 A= 2R ）A、 R2A B、 2R2A C、 3R2A D、 AR2217、 级 数 1 )1(n nn nx 的 收 敛 半 径 为 （ ）A、 2 B、 21 C、 1 D、 38、 cosx的 麦 克 劳 林 级 数 为 （ ）A、 0 )1(n n )!2( 2nx n B、 1 )1(n n )!2( 2nx n C、 0 )1(n n )!2( 2nx n D、
14、 0 )1(n n )!12( 12nx n9、 微 分 方 程 (y)4+(y)5+y+2=0 的 阶 数 是 （ ）A、 一 阶 B、 二 阶 C、 三 阶 D、 四 阶10、 微 分 方 程 y+3y+2y=0 的 特 征 根 为 （ ）A、 -2， -1 B、 2， 1 C、 -2， 1 D、 1， -2二 、 填 空 题 （ 本 题 共 5小 题 ， 每 题 4分 ， 共 20分 ）1、 直 线 L1： x=y=z与 直 线 L2： 的 夹 角 为zyx 1321 _。直 线 L3： 之 间 的 夹 角 为与 平 面 062321221 zyxzyx _。2、 （ 0.98） 2.0
15、3的 近 似 值 为 _,sin100的 近 似 值 为 _。3、 二 重 积 分 D yxDd 的 值 为1:, 22 _。4、 幂 级 数 的 收 敛 半 径 为0 !n nxn _， 0 !n nnx 的 收 敛 半 径 为 _。5、 微 分 方 程 y=xy 的 一 般 解 为 _， 微 分 方 程 xy+y=y2的 解 为 _。三 、 计 算 题 （ 本 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 30分 ）1、 用 行 列 式 解 方 程 组 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、 求 曲 线 x=t,y=t2,z=t3在 点 （ 1， 1， 1）
16、处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 .3、 计 算 D xyxyD，xyd 围 成及由 直 线其 中 2,1 .4、 问 级 数 1 1sin)1(n n ？，？n 收 敛则 是 条 件 收 敛 还 是 绝 对若 收 敛收 敛 吗5、 将 函 数 f(x)=e3x展 成 麦 克 劳 林 级 数6、 用 特 征 根 法 求 y+3y+2y=0的 一 般 解四 、 应 用 题 （ 本 题 共 2小 题 ， 每 题 10分 ， 共 20分 ）1、 求 表 面 积 为 a2而 体 积 最 大 的 长 方 体 体 积 。2、 放 射 性 元 素 铀 由 于 不 断 地 有 原 子 放 射 出 微 粒
17、 子 而 变 成 其 它 元 素 ， 铀 的 含 量 就 不 断 减 小 ， 这 种 现 象 叫做 衰 变 。 由 原 子 物 理 学 知 道 ， 铀 的 衰 变 速 度 与 当 时 未 衰 变 的 原 子 的 含 量 M成 正 比 ， （ 已 知 比 例 系 数 为 k）已 知 t=0时 ， 铀 的 含 量 为 M0， 求 在 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M（ t） 随 时 间 t变 化 的 规 律 。参 考 答 案一 、 选 择 题1、 D 2、 C 3、 C 4、 A 5、 B 6、 D 7、 C 8、 A 9、 B10,A二 、 填 空 题1、 218arcsin,182cosar
18、 2、 0.96， 0.173653、 4、 0， +5、 ycxcey x 11,22 三 、 计 算 题1、 -3 2 -8解 ： = 2 -5 3 = （ -3） -5 3 -2 2 3 +（ -8） 2 -5 =-1381 7 -5 7 -5 1 -517 2 -8 x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 +（ -8） 3 -5 =-1382 7 -5 7 -5 2 -5 2 7同 理 ： -3 17 -8 y= 2 3 3 =276 , z= 4141 2 -5所 以 ， 方 程 组 的 解 为 3,2,1 zzyyxx2、 解 ： 因 为 x=t,y=t2,z=t3,所
19、 以 xt=1,yt=2t,zt=3t2，所 以 xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3故 切 线 方 程 为 ： 312111 zyx法 平 面 方 程 为 ： （ x-1） +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、 解 ： 因 为 D 由 直 线 y=1,x=2,y=x围 成 ，所 以D： 1 y 2y x 2故 ： 21 21 32 811)22( dyyydyxydxxyd yD 4、 解 ： 这 是 交 错 级 数 ， 因 为。， 。n，n，nn，x，x，xn 。，nVn，Vn，nVnn nnn 原 级 数 条 件 收 敛所 以 发 散从 而发 散
20、又 级 数所 以时趋 于当又 故 收 敛型 级 数所 以 该 级 数 为 莱 布 尼 兹且所 以 1 11 1sin1111sinlimsin01sin 01sinlim,101sin 5、 解 ： 因 为 ),( !1!31!211 32 x xnxxxe nw用 2x 代 x， 得 ： ),( !2!32!2221 )2(!1)2(!31)2(!21)2(1 3322 322 x xnxxx xnxxxe nn nx6、 解 ： 特 征 方 程 为 r2+4r+4=0所 以 ， （ r+2） 2=0得 重 根 r1=r2=-2， 其 对 应 的 两 个 线 性 无 关 解 为 y1=e-2
21、x,y2=xe-2x所 以 ， 方 程 的 一 般 解 为 y=(c1+c2x)e-2x四 、 应 用 题1、 解 ： 设 长 方 体 的 三 棱 长 分 别 为 x， y， z则 2（ xy+yz+zx） =a2构 造 辅 助 函 数F（ x,y,z） =xyz+ )222( 2azxyzxy 求 其 对 x,y,z的 偏 导 ， 并 使 之 为 0， 得 ：yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a2=0联 立 ， 由 于 x,y,z均 不 等 于 零可 得 x=y=z代 入 2(xy+yz+zx)-a2=0得 x=y=z= 66a所
22、以 ， 表 面 积 为 a2而 体 积 最 大 的 长 方 体 的 体 积 为 366 3axyzV 2、 解 ： 据 题 意 。：， eM，M C，M MM ce，M CtMdtMdM MdtdM MMMdtdMtt tt 而 按 指 数 规 律 衰 减铀 的 含 量 随 时 间 的 增 加铀 的 衰 变 规 律 为由 此 可 知所 以所 以又 因 为所 以两 端 积 分 得 式对 于初 始 条 件 为 常 数其 中 00 00 00 lnln0 高 数 试 卷 4（ 下 ）一 选 择 题 ： 03103 下 列 平 面 中 过 点 （ , ,1） 的 平 面 是 （ ） （ ） （ ） （
23、 ） 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 方 程 222 yx 表 示 （ ） 圆 （ ） 圆 域 （ ） 球 面 （ ） 圆 柱 面 二 元 函 数 22 )1()1( yxz 的 驻 点 是 （ ） （ , ） （ ） （ , ） （ ） （ , ） （ ） （ , ） 二 重 积 分 的 积 分 区 域 是 41 22 yx ， 则 D dxdy （ ） （ ） 4 （ ） 3 （ ） 15 交 换 积 分 次 序 后 x dyyxfdx 010 ),( （ ） xdyxfdy y 110 ),( （ ） 1010 ),( dxyxfdy （ ） y dxyxfdy 010 ),(
24、（ ） 100 ),( dxyxfdyx 阶 行 列 式 中 所 有 元 素 都 是 ， 其 值 是 （ ） （ ） （ ） ！ （ ） 对 于 元 线 性 方 程 组 ， 当 rArAr )()( 时 ,它 有 无 穷 多 组 解 ,则 （ ） （ ） （ ） （ ） 无 法 确 定 下 列 级 数 收 敛 的 是 （ ） 1 1 1)1(n n nn （ ） 123n nn （ ） 1 1)1(n nn （ ） 1 1n n 正 项 级 数 1n nu 和 1n nv 满 足 关 系 式 nn vu ， 则 （ ） 若 1n nu 收 敛 ， 则 1n nv 收 敛 （ ） 若 1n nv
25、 收 敛 ， 则 1n nu 收 敛（ ） 若 1n nv 发 散 ， 则 1n nu 发 散 （ ） 若 1n nu 收 敛 ， 则 1n nv 发 散 已 知 ： 2111 xxx ， 则 21 1x 的 幂 级 数 展 开 式 为 （ ） 421 xx （ ） 421 xx （ ） 421 xx （ ） 421 xx二 填 空 题 ： 0254 数 )2ln(1 2222 yxyxz 的 定 义 域 为 若 xyyxf ),( ， 则 )1,(xyf 已 知 ),( 00 yx 是 ),( yxf 的 驻 点 ， 若 ayxfyxfyxf xyyyxx ),(,12),(,3),( 00
26、000,0 则当 时 ， ),( 00 yx 一 定 是 极 小 点 矩 阵 为 三 阶 方 阵 ， 则 行 列 式 A3 A 级 数 1n nu 收 敛 的 必 要 条 件 是 三 计 算 题 (一 )： 0356 已 知 ： yxz ， 求 ： xz ， yz 计 算 二 重 积 分 dxD 24 ， 其 中 20,40|),( 2 xxyyxD 已 知 ： ， 其 中 102 121 ， 100 210 321 ， 求 未 知 矩 阵 求 幂 级 数 1 1)1(n nn nx 的 收 敛 区 间 求 xexf )( 的 麦 克 劳 林 展 开 式 （ 需 指 出 收 敛 区 间 ） 四
27、 计 算 题 (二 )： 02201 求 平 面 和 的 交 线 的 标 准 方 程 设 方 程 组 111zyx zyx zyx ， 试 问 ： 分 别 为 何 值 时 ， 方 程 组 无 解 、 有 唯 一 解 、 有 无 穷 多 组 解 参 考 答 案一 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 二 21|),( 22 yxyx xy 66 a 0lim nn u四 1 解 ： yxyzyxxz yy ln1 2 解 ： 31634)4(44 20320 220 40 22 2 xxdxxdyxdxdx xD 3 解 ： 1542 201,100 210 721 11 ABB . 解 ： ,1
28、R 当 |x| 1时 ， 级 数 收 敛 ， 当 x=1时 ， 得 1 1)1(n nn 收 敛 ，当 1x 时 ， 得 11 12 1)1( nn n nn 发 散 ， 所 以 收 敛 区 间 为 1,1( . 解 ： .因 为 0 !n nx nxe ),( x ,所 以 nn nn nx xnnxe 00 !)1(!)( ),( x .四 1 解 ： .求 直 线 的 方 向 向 量 : kjikjis 53112 121 ,求 点 :令 z=0,得 y=0,x=2,即 交 点 为 (2,0.0),所以 交 线 的 标 准 方 程 为 :. 5312 zyx 2 解 ： 1)2)(1(0
29、0 0110 1111110 0110 111111 111 111111 111 111 2A(1) 当 2 时 , 3)(,2)( AAr ,无 解 ;(2) 当 2,1 时 , 3)()( AAr ,有 唯 一 解 : 21zyx ;(3) 当 1 时 , 1)()( AAr ,有 无 穷 多 组 解 : 21 211cz cy ccx ( 21,cc 为 任 意 常 数 ) 高 数 试 卷 5（ 下 ）一 、 选 择 题 （ 3分 /题 ）1、 已 知 jia ， kb ， 则 ba （ ）A 0 B ji C ji D ji2、 空 间 直 角 坐 标 系 中 122 yx 表 示
30、（ ）A 圆 B 圆 面 C 圆 柱 面 D 球 面3、 二 元 函 数 xxysinz 在 （ 0， 0） 点 处 的 极 限 是 （ ）A 1 B 0 C D 不 存 在4、 交 换 积 分 次 序 后 dy)y,x(fdx x 110 =（ ）A dx)y,x(fdy 1010 B dx)y,x(fdyx 101C dx)y,x(fdy y 110 D dx)y,x(fdy y 0105、 二 重 积 分 的 积 分 区 域 D是 1 yx ， 则 D dxdy （ ）A 2 B 1 C 0 D 46、 n阶 行 列 式 中 所 有 元 素 都 是 1， 其 值 为 （ ）A 0 B 1
31、 C n D n!7、 若 有 矩 阵 23A ， 32B ， 33C ， 下 列 可 运 算 的 式 子 是 （ ）A AC B CB C ABC D ACAB8、 n元 线 性 方 程 组 ， 当 r)A(r)A(r 时 有 无 穷 多 组 解 ， 则 （ ）A r=n B rn D 无 法 确 定9、 在 一 秩 为 r的 矩 阵 中 ， 任 r阶 子 式 （ ）A 必 等 于 零 B 必 不 等 于 零C 可 以 等 于 零 ， 也 可 以 不 等 于 零 D 不 会 都 不 等 于 零10、 正 项 级 数 1n nu 和 1n nv 满 足 关 系 式 nn vu ， 则 （ ）A
32、 若 1n nu 收 敛 ， 则 1n nv 收 敛 B 若 1n nv 收 敛 ， 则 1n nu 收 敛C 若 1n nv 发 散 ， 则 1n nu 发 散 D 若 1n nu 收 敛 ， 则 1n nv 发 散二 、 填 空 题 （ 4分 /题 ）1、 空 间 点 p（ -1， 2， -3） 到 xoy平 面 的 距 离 为2、 函 数 2864 22 yxyx)y,x(f 在 点 处 取 得 极 小 值 ， 极 小 值 为3、 A为 三 阶 方 阵 ， 3A ， 则 A4、 三 阶 行 列 式 000 zy zx yx =5、 级 数 1n nu 收 敛 的 必 要 条 件 是三 、
33、 计 算 题 （ 6分 /题 ）1、 已 知 二 元 函 数 xyz 2 ， 求 偏 导 数 xz ， yz2、 求 两 平 面 ： 22 zyx 与 42 zyx 交 线 的 标 准 式 方 程 。3、 计 算 二 重 积 分 dxdyyxD 22 ， 其 中 D由 直 线 2x ， xy 和 双 曲 线 1xy 所 围 成 的 区 域 。4、 求 方 阵 121 011 322A 的 逆 矩 阵 。5、 求 幂 级 数 1 51n n n)x( 的 收 敛 半 径 和 收 敛 区 间 。四 、 应 用 题 （ 10分 /题 ）1、 判 断 级 数 pnn n)( 11 11 的 收 敛 性
34、 ， 如 果 收 敛 ， 请 指 出 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 。2、 试 根 据 的 取 值 ， 讨 论 方 程 组 111321 321 321 xxx xxx xxx 是 否 有 解 ， 指 出 解 的 情 况 。参 考 答 案一 、 选 择 题 （ 3分 /题 ）DCBDA ACBCB二 、 填 空 题 （ 4分 /题 ）1、 3 2、 （ 3， -1） -11 3、 -3 4、 0 5、 0 nn ulim三 、 计 算 题 （ 6分 /题 ）1、 ylnyxz x22 ， 122 xyxyz2、 503012 zyx3、 494、 461 351 3411A5、 收 敛 半 径 R=3， 收 敛 区 间 为 （ -4， 6）四 、 应 用 题 （ 10分 /题 ）1、 当 0p 时 ， 发 散 ；10 p 时 条 件 收 敛 ；1p时 绝 对 收 敛2、 当 1 且 2 时 ， 3)()( ArAr ， 0A ， 方 程 组 有 唯 一 解 ；当 2 时 ， 2)(3)( ArAr ， 方 程 组 无 解 ；当 1 时 ， 31)()( ArAr ， 方 程 组 有 无 穷 多 组 解 。
