1、最优化理论基础练习题辅导 001各位同学：最优化课程已经上了近 1/3，在学习过程中，有些同学反映做习题有困难。为此，我们组织了本课程的助教，将红书上和网上公布的 练习题中有代表性的 习题，作一点提示和解答，供大家参考。需要说明的是，大家一定不要把 这作为你学习的“ 拐杖”，最好的学习方法是自己思考加上与同学讨论。有困难是正常的，只有在不断地探索和犯 错误 中，才能学到数学，悟懂数学，舒舒服服是没有可能学好数学的。本次辅导是关于红书第一章的。周国标2007119P15.6T证明：（1）记 1maxiif则 ， 有 使得12,xS0,1km22kfxx又 为凸函数，则 2121kk kfxff即
2、 2121xxx（2）记 1mif则 ，2,xS0,112ifxiimiffx 21x即 为凸函数。x（3）记 ，121a,0miif，max,0i igf12,xS0,1则有： 12migx由（1）知 凸，故ixg上式 21()miiixx由（2）知，上式 2i则有 12x1xx证毕。P16.12T设 是 上的严格凸函数， ， ， ，使得fnSR0,1x2S，则12zxxS12f ffx证明: 当 时，不妨设 ,02x1z则 , 12xz1x由 凸 f1fff12xxfz即 12f ffx同理可得当 ，,有 得证。1212fxfxfxP16.7T证明：1.有下面的事实： 0,1N,Z存 在
3、的 一 个 子 集 使 得nN1= 2nk=1不 妨 记 为下面论述上述的结论： 111, ,2nk取 满 足 的 最 小 记 为2122kn再 取 满 足 的 最 小 记 为 nk=1-依 此 类 推 ， 按 照 语 言 能 得 到2. 证明 (1)()()fxyfxfy,xS用反证法：假设存在这样的 ， ，使得0,()()()fxyfxfynnn nkkkk=1=1=1=1()(222f fxfy即：f由 的 连 续 性 有 ,N+0MZ使 得nnn nkkkk=1=1=1=1()()()()(222NNNfxyfxfy成立。对于有限个的情况，用数学归纳法得出矛盾。当 =1 时，由已知条件
4、有：Nk()()()22xyffxfy,xS假设 =T 时，上述不等式成立 ,nnn nkkkk=1=1=1=1()()()()(222NNNNfxyfxfy即 ,xS下证当 =T+1 时也成立：不妨设Nnk=1,nk=1否 则 有 -nnkk=1=1()()22Nfxyn nkk=1=1(2*)(2*)2NNxyfn nkk=1=1()()()2NNfxyfnnk1k1=()()()2f f此时 ， 由假设 =T 时NTNnnn nkkkk=1=1=1=1()()()()(222Nfxyfxfy,xS有： nnn nkkkk=1=1=1=1()()()()(2NNNf ff,即对于 =T+1 时也成立。N故与 矛盾。nnn nkkkk=1=1=1=1()()()()(222NNNfxyfxfy综上则此题得证。P16.14 2(1)*limkx221(1)0.5)li(.kke21)limkek2140limkkek所以 (1)*()likxP16.15T 1()()TTAuvv111T TTAuvIv11 1()TTvIAu11TI
