1、1第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前 n 项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，
2、解决此类问题需要抓住基本量 a1、d（或 q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意 q=1 和 q1 两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外. 如 an 与 Sn 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳 .5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法. 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达
3、到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查2考生的思维能力，
4、解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点 1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例
5、题例 1（2006 年广东卷）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 2，3，4 ，堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n)表示第 n 堆的乒乓球总数，则 ；f3_()_fn（答案用 n 表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4, 推测出第 n 层的球数。解答过程：显然 .f310第 n 堆最低层（第一层）的乒乓球数， ，第 n 堆的乒乓球数总数相当于 n 堆
6、乒n12n1aa2乓球的低层数之和，即 12fn(). 所以： f()6例 2（2007 年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 次全行的n数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 3第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应 1 的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第 1 次全行的数都为 1 的是第 =1 行，
7、第 2 次全行的数都为 1 的是第 =3 行，第 3 次全行的22数都为 1 的是第 =7 行，第 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数32nn是 5=32应填 ，3221n考点 2 数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若 且 ；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 的通项. n1a,1a nan1221 n1n2.再看“逐商法”即 且 ，可把各个商列出来求积。na1n12a !A A另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例 3（200
8、7 年北京卷理）数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列na121nac123n， ， ， 123a， ， 1（I）求 的值；（II）求 的通项公式c思路启迪：（1）由 成公比不为 的等比数列列方程求 ；123， ， c（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出 an 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式.解：（I） ， ， ，12ac32a因为 成等比数列，所以 ，解得 或 3， ， ()(3)c0c2当 时， ，不符合题意舍去，故 0c12 2（II）当 时，由于n4， ， ， ，21a
9、c32ac 1()nac所以 ()(1)2n又 ， ，故 1c(3)n， ，当 时，上式也成立，所以 2(1)na， ，小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例 4（2006 年广东卷）已知数列 满足 ， ， 若 ， 则 nx1212nnx3,4lim2nx( B )（） （） （） （） 32思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程： ， .n1nxn1n2xx相叠加 .321344n12n31xx n212n1， .2n1，
10、， ， .n1limxli2nlimx2161x3解答过程 2：由 得：1n，n1221+x，因为 .lix2nli所以： .13解答过程 3：由 得：12nnx ，n1 2n3xx2 n2n11xx从而 ； ； .31431n1x5叠加得： .23n1n21x2， .nn216 n2n21limx6， 从而 .1x13小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ，可转化为n-1akd2,k；对连续三项递推的关系nd n1n-1akda2如果方程 有两个根 ，则上递推关系式可化为2xk=0、或 .n1n1aann1a考点 3 数列的通项
11、 与前 n 项和 之间的关系与应用S与 的关系： ，数列前 n 项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的naS1nn =a2nSna关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子1 1naS问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子.nan例 5（2006 年辽宁卷） 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于a12nSnn（ ）(A) (B) (C) (D)12n3nn31n命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则na12naq1na2121221(
12、)()0n n naq即 ，所以 ，故选择答案 C.nnS例 6.已知在正项数列a n中，S n 表示前 n 项和且 ，求 a n.n2S1思路启迪：转化为只含 或者只含 的递推关系式.nan解答过程 1：由已知 ，得当 n=1 时，a 1=1；当 n2 时，216a n= S nS n1 ，代入已知有 ， .nn12Sn1nS2，又 ，故 .211a0,， 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，nn故 .Sna2解答过程 2：由已知 ，得当 n=1 时，a 1=1；当 n2 时nSa1因为 ，所以 .na122n1，22nn14aa0，因为 ，1naa0n所以 ，所以 .2n考点 4. 数
13、列中与 n 有关的等式的理解与应用对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的 n 换为 得到另外的式子。也可以把 n 取自然数中的具1体的数 1，2，3 等，得到一些等式归纳证明 .例 7（2006 年福建卷）已知数列 满足 (nN )na1n1,a2（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足 (nN*),证明: 是等差数列;bn312nbb1bb144a nb思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程： （I）解： *12(),naN12(),nna是以 为首项，2 为公比的等比数列。1.n即 *().naN（II）证法一
14、： ，n312nbb1bb144a12(b.).nn.,b71211(.)().nnbb ，得 1,n即 1()0,n 2.nb，得 21,nnb即 210,n*21(),nbN故 是等差数列.b考点 5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余1na,dqnS两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等1aq差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，nampqmnpqanmnp则 . mnpqa（2）等差数列 中， 成等差数列
15、。其中 是等差数列的前 n 项和；n 2n32nkn1S,S, nS等比数列 中（ ）， 成等比数列。其中 是等比数列的前 n 项q1k 和；（3）在等差数列 中，项数 n 成等差的项 也称等差数列. nana（4）在等差数列 中， ； .2n1S2n1Sa在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例 8（2006 年江西卷）已知等差数列 的前 n 项和为 Sn，若 ，且 A、B、C 三点a1OaB 20共线（该直线不过原点 O），则 S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.2018命题目的：考
16、查向量性质、等差数列的性质与前 n 项和。过程指引：依题意，a 1a 2001，故选 A例 9（2007 年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目 a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+ r） n 1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+ r） n 2，. 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的
17、储备金总额.（）写出 Tn 与 Tn1 （n2）的递推关系式；（）求证 Tn=An+ Bn，其中A n是一个等比数列，B n是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解：（I）我们有 ).2()1(narTn（II） 反复使用上述关系式，得2,1aT对 nnnn rrr)()()(12,21 a在式两端同乘 1+r，得).1()()1()()( 2121 raTr nnnnn ，得 .,| ;)0(1)(|, ,)1(.,)()( )(212121121为 公 差 的
18、 等 差 数 列首 项是 以 为 公 比 的 等 比 数 列以为 首 项是 以其 中则如 果 记即 rdraBrATndaBrdanrradannnn nn nnn2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用9考点 6 等差、等比数列前 n 项和的理解与应用等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数. 等比数列的前 n 项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于 n 的指数1n1aqaSq1nSaqb (0)函数，当 时， .qn1例 10（2007 年广东卷理）已知数列 的前 n 项和 Sn=
19、n29n,第 k 项满足 5a；na（3）记 （n=1,2,），求数列b n的前 n 项和 Snlnab思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求 的值；（2）注意先求 ；（3）注意利用 的关,()fx,系解：（1） ， 是方程 f(x)=0 的两个根 ，2()1fx, () 55,（2） ，()21fx2115(2)()4nnnn aaa = ， ，由基本不等式可知 （当且仅当 时取等号），514()421nna1a2510a152a15 同，样 ， （n=1,2,）2510a3512a512na（3） ，而 ，即 ，1()()nnn n1，同理 ， ，又21()nna21()1nna1nb13
20、5lnl2lnb352()l2nS【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知a 是等比数列，且 a 0，a a +2 a a +a a =25，那么 a + a 的值等于（ ）nn24354635A.5 B.10 C.15. D.202.在等差数列a 中，已知 a +a +a +a +a = 20，那么 a 等于（ ）n123453A.4 B.5 C.6 D7.3.等比数列a n的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若 ，则 Sn 等于( )2150limC.2 D.232 B. 32A. 4.已知二次函数 y=a(a+1)x2(2a+1)x+1 ，当 a=1，2，n，时，其抛物线在 x 轴上
21、截得的线段长依次为 d1,d2， ,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )limA.1 B.2 C.3 D.4二.填空题5.已知 a,b,a+b 成等差数列， a,b,ab 成等比数列，且 00,S130 知 q0，nnn因 a a +2 a a + a a =25，243546所以，a q a q +2a q a q +a q a q =25，112135即a q （1+ q ） =25， a q （1+ q ）=5 ，222得 a + a = a q +a q = a q （1+ q ）=5 . 故选择答案 A .351241解法二：因a 是等比数列， a a = a ，a a = a
22、 ，n2434625原式可化为 a +2 a a + a =25, 即（a + a ） =25.235因 a 0 , a + a = 5 , 故选择答案 An2. 解法一：因为a 是等差数列，设其首项为 a ，公差为 d，n 1由已知 a + a +a +a +a = 20 有 5 a +10d = 20，12345a +2d = 4, 即 a = 4.故选择答案 A. 解法二：因a 是等差数列，所以 a + a = a + a =2 a ，n15243由已知 a +a +a +a +a = 20 得 5 a = 20， a = 4.123453故选择答案 A3.解析：利用等比数列和的性质.
23、依题意， ，而 a1=1,故 q1,2510S ,根据等比数列性质知 S5，S 10S 5，S 15S 10,也成等比数列，且它的公比为321510Sq5,q 5= ,即 q= . .31liman18故选择答案 B.4.解析：当 a=n 时 y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由x 1 x2= ，得 dn= ，)1d 1+d2+dn .1)(lim)(li 1,32321 nnnn 故选择答案 A.二、5.解析：解出 a、b,解对数不等式即可.故填答案:(,8)6.解析：利用 S 奇 /S 偶 = 得解.n1故填答案:第 11 项 a11=29. 111 27.|()|(),2nnnnii
24、cz解 析 设 .21 nnncS .21limn故填答案:1+ .28.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列a n，可得 an= ，正三角形的内切圆构成等比数列12rn，可得 rn= a,1263这些圆的周长之和 c= 2 (r1+r2+rn)= a2，limn3面积之和 S= (n2+r22+rn2)= a2li 9故填答案:周长之和 a，面积之和 a239.解析：第一次容器中有纯酒精 ab 即 a(1 )升，第二次有纯酒精 a(1 ) ，即 a(1 )2bb)1(b升，故第 n 次有纯酒精 a(1 )n 升.19故填答案:a(1 )nab10.解析：从 2001 年到 2005 年
25、每年的国内生产总值构成以 95933 为首项，以 7.3%为公比的等比数列，a 5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).故填答案:120000.三、11. 解：因为 a 为等比数列， 所以 S ，S S ，S S 是等比数列.n10210320即 5，155，S 15 是等比数列, 得 5（S 15）=10 , S =35.30 312.解：设等差数列a 共有 2n1 项，S =80，S =75，则 = = = ，n1221n75816得 n=16，所以 2n1=2 161=31 即此数列共有 31 项.又由a 的项数为 2n1，知其中间项是 a ，故 a = S S =8075
26、=5，n nn12a =5.1613. 解：设等差数列a 中，前 m 项的和为 S ，其中奇数项之和为 S ，偶数项之和为 S ，由题意得nm12S =77，S =33，S = S S = 44，m212令 m=2n1 则 = = ，得 n =4，n34m=7， a =S S =11，又 a a =18，得首项为 20，公差为3，41217故通项公式为 a =3 n+23.n14.(1)解：依题意有： .0213,13213daS解之得公差 d 的取值范围为 d3.74(2)解法一：由 d0 可知 a1a2a3a12a13,因此，在 S1，S 2，S 12 中 Sk 为最大值的条件为：ak0
27、且 ak+10, 即 )(3ka 3=12, ，d0,2 k3 .1d d3, 4,得 5.5k7.7247因为 k 是正整数，所以 k=6,即在 S1，S 2，S 12 中，S 6 最大.20解法二：由 d0 得 a1a2a12a13，因此，若在 1k12 中有自然数 k,使得 ak0, 且 ak+10,则 Sk 是 S1，S 2，S 12 中的最大值.由等差数列性质得，当 m、n 、p、qN *,且 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq.所以有：2 a7=a1+a13= S130,a 70,a 7+a6=a1+a12= S120,a 6a 70,故在3S1，S 2，S 12 中 S6
28、 最大.解法三：依题意得： )(2)1()(21 ndndn最小时，S n 最大；2 45,0)45(8)(2dnd d 3, 6 (5 ) 6.5.从 而 ， 在 正 整 数 中 ，74当 n=6 时 ， n (5 ) 2 最小，所以 S6 最大.1d415.解：(1)由题意知 a52=a1a17，即(a 1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2,d0,a 1=2d,数列 的公比 q= =3,nb54 =a13n 1 nb又 =a1+(bn1)d = n 12an由得 a13n1 = a1.a 1=2d0,b n=23n1 1.(2)Tn=C b1+C b2+C bn=C (2301)+C (2311)+C (23n1 1)n 2n= (C +C 32+C 3n)(C +C +C )= (1+3)n1(2 n1)= 4n2 n+ ,21 12n.32)41(2lim4lilim1nnnnb
