1、2006 中国数学奥林匹克 （第二十一届全国中学生数学冬令营） 第一天 福州 1月 12 日 上午 8001230 每题 21 分 一、 实数 满足12,naa aL120naa a+ +=L ，求证： ()122111max ( )3nkikninaa+= ia1kaad+=21 11,k kkk nkkk na add aadd d+ += = LL1 证明 只需对任意 1 ，证明不等式成立即可 kn记 ，则 1,1,2,kkkdaak n+= = Lkaa= ， 1kkk， ， 11212112,kkkk kkk kkka ad a ad d aad d d =+ =+ + =+ + +
2、， 120naa a+ +=L把上面这 n 个等式相加，并利用 可得 11 1 21()( 1) (1) (2)kk kn k kna n k d n k d d k d k d d+ + + +=LL012 由 Cauchy 不等式可得 2211 1 2() ( ) ( 1) (1) (2)kkknkkna n k d n k d d k d k d d+ =+ 112211 1knkniii iii d = =+11 12211 1(1)(21)6nn niiii inn nid d = = = 23 1213niind=， ()122113nkiinaaa+=所以 i 2005122 3
3、 2006,aaaaa aL二、正整数 （可以有相同的）使得1 2 2006,aa aL两两不相等问： 中最少有多少个不同的数？ 1 2 2006,aa aL解 答案： 中最少有 46 个互不相同的数 1 2 2006,aa aL由于 45 个互不相同的正整数两两比值至多有 45 44 1 1981 个，故中互不相同的数大于 45 1 2 2006,aa aL下面构造一个例子，说明 46 是可以取到的 设 为 46 个互不相同的素数，构造 如下： 12 4,pp pL1 2 2006,aa aL611213231434241,ppppppppppppppL ， 112 21, , ,kk kk
4、 k k kppp pp p ppppLL， 14544454345 452451,p ppppp ppppL ， 46 45 46 44 46 46 22 46,p pppp pppL ， 这 2006 个正整数满足要求 所以 中最少有 46 个互不相同的数 1 2 2006,aa aL23mn k k= +三、正整数 m，n ，k 满足： ，证明不定方程 2211 4x ym+=2211 4x yn+ =和 中至少有一个有奇数解 (, )xy证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程 2211 4x y+=m 00(, )x y ，或有满足 或有奇数解00(2 1) (mod )x ky
5、m + 00(, )x y ， 其中 k 是整数 的偶数解引理的证明 考虑如下表示 (2 1)x ky+ 2, xx ym0为整数，且 ,02my ， ()21 12mm+12,0,2x xmm则共有 个表示，因此存在整数 ，12,0,2myy11 2 2(, )(, )x yxy ，且 ，满足112 2(2 1) (2 1) (mod )x kyx ky m+ ， 这表明 (2 1) (mod )x ky m+ ， 12 2,1x xxyy y= =。由此可得 这里2222(2 1) 11 (mod )x ky y m+ ， 2,2mxmy2211x ykm+= ，所以 ， 因为故22111
6、1 4 74x ymm+ ， 即命题对 n1 也成立 原命题等价于 ()12 1212nnnnnnaa a aa a + +LL1211 111naa a1 L 1210,2xx11() ln 1, 0,2fx xx=()f x设 ，则 是凸函数，即对 ，有() ()121222f xfxxxf+ () ( )112222f xfxxxf+等价于 事实上，212 1 221111xx x x1 +， ()2120xx 所以，由 Jenson 不等式可得 ( ) ( ) ( )1212nnf xfx fxxx xfnn+LL， 12 1 211 1111nnnnaa a a a a +LL即 另
7、一方面，由题设及 Cauchy 不等式，可得 ()11111nniiiiianaa=+= +22111() 2nnii n innaa a a a+=+ 211122nniinnaa=， 1111(1 )12niinnniiiiiiannaaa=所以 ， ()1212 12 12(1 ) (1 ) (1 )12nn nnnnaa annaa a aa a aa a + + + + LLL L故 1211 111naa a1 L ， 从而原命题得证 六、设 X 是一个 56 元集合求最小的正整数 n，使得对 X 的任意15 个子集，只要它们中任何 7 个的并的元素个数都不少于 n，则这15 个子
8、集中一定存在 3 个，它们的交非空 解 n 的最小值为 41 首先证明 合乎条件用反证法假定存在 X 的 15 个子集，它们中任何 7 个的并不少于 41 个元素，而任何 3 个的交都为空集 因每个元素至多属于2 个子集，不妨设每个元素恰好属于 2 个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为 A，至少含有41n =256115+ 8 个元素，又设其它 14 个子集为 考察不含 A 的任何 7 个子集，都对应 X 中的 41 个元素， 所有不含 A 的 7子集组一共至少对应 个元素另一方面，对于元素 a，若 a ，则 中有 2 个含有 a，于是 a
9、被计算了 次；若 ，则 中有一个含有 a，于是 a 被计算了次，于是 12 14,AA AL71441CA12 1,AA AL47aA12 14,AA AL714 12CC7714 13CC777714 14 12 14 1341 (56 )( ) ( )CACCAC + 7C 77 7714 12 13 1256( ) ( )CC ACC= 77 7714 12 13 1256( ) 8( )CC CC， 由此可得 196 ，矛盾 195其次证明 41n 1, 2, , 56X = L用反证法假定 ，设 40n ，令 , 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 , 1, 2, ,
10、7iAii i i i i i i i=+ =L ， , 8, 16, 24, 32, 40, 48 , 1, 2, ,8jBj jjjjj j=+ =L 8( 1, 2, ,7), 0(1 7)iijAi AA ij= =LI 7( 1,2, ,8)jBj=L显然， ， ，0(1 8)ijBB ij=I 1(1 7,1 8)ijAB i j= I ，于是，对其中任何 3 个，jB子集，必有 2 个同时为 ，或者同时为iA ，其交为空集 对其中任何 7 个子集12 1 2, ,( 7stii i j j jAA AB B Bst )+ =LL ，有 12 1 2ii i j j jA AABB BUULUUUULU 12 1 2stii i j j jA AABB B= + + + + + LLst)87 87(7)(7stst s ss s=+=+ 2(3)4040s= +， 任何 3 个子集的交为空集，所以 41n 综上所述， n 的最小值为 41
