1、函数的定义1. 下列各图给出了变量 x与 y之间的函数是: ( )自变量的取值范围1 求下列函数中自变量 x 的取值范围:(1) y3x 1; (2) y2x 27;(3) ; 21xy(4) 2y2.求下列函数中自变量 x 的取值范围:(1)y2x5x 2; (3) yx(x3);(3) ; (4) 36x1210(2009 黑龙江大兴安岭)函数 中,自变量 的取值范围是 xyx1下列函数中,自变量 x的取值范围是 x2 的是( )Ay= By= Cy= Dy= 212242x求值求下列函数当 x = 2 时的函数值:(1)y = 2x-5 ; (2)y =3x 2 ;(3) ; (4) 1
2、22(12 分)一次函数 y=kx+b的图象如图所示:(1)求出该一次函数的表达式;(2)当 x=10时,y 的值是多少?(3)当 y=12时,x 的值是多少?3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间 t(秒)滑下的距离 s(米)由下式给出:s10t 2t 2假如滑到坡底的时间为 8秒,试问坡长为多少?xyoAxyoBxyoDxyoC566-2xy1234-2 -1 5-1 4321O作图象例 1 画出函数 yx 1 的图象分析 要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值解 取自变量 x 的一些值,例如 x3,2,1,0,1,2,3 ,计算出对
3、应的函数值为表达方便,可列表如下:由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对:,(3,2),( 2,1),(1,0),(0 ,1),(1 ,2),(2,3),(3,4),在直角坐标系中,描出这些有序实数对( 坐标 )的对应点,如图所示通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图所示这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法例 2 画出函数 的图象xy21分析 用描点法画函数图象的步骤:分为列表、描点、连线三步解 列表:描点:用光滑曲线连线: 1.在所给的直角坐标系中画出函数 的图象(先填写下表,再描点、连线)xy21利用图像解决实际问题问题 王
4、教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)问 图中有一个直角坐标系,它的横轴(x 轴)和纵轴(y 轴)各表示什么?问 如图,线段上有一点 P,则 P 的坐标是多少?表示的实际意义是什么?看上面问题的图,回答下列问题:(1)小强让爷爷先上多少米?(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?三、实践应用例 1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式 击球,球正好进洞其中,y(m)xy5812是球的飞行高度,x(m) 是球飞出的水平距离(1)
5、试画出高尔夫球飞行的路线;(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?解 (1)列表如下:在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象(2)高尔夫球的最大飞行高度是 3.2 m,球的起点与洞之间的距离是 8 m例 2 小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离 s(米)与散步所用时间 t(分)之间的函数关系请你由图具体说明小明散步的情况解 小明先走了约 3 分钟,到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报,又向前走了 2 分钟,到达离家 450 米处返回,走
6、了 6 分钟到家2.一枝蜡烛长 20 厘米,点燃后每小时燃烧掉 5 厘米,则下列 3 幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间 t 之间的函数关系的是 ( )正比例函数和待定系数法特别地,当 b0 时,一次函数 ykx(常数 k0)出叫正比例函数正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例一次函数 y=kx+b(k0)三、实践应用例 1 下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?(1)面积为 10cm2的三角形的底 a(cm)与这边上的高 h(cm);(2)长为 8(cm)的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm);(3)食堂原有煤 120 吨,每天
7、要用去 5 吨,x 天后还剩下煤 y 吨;(4)汽车每小时行 40 千米,行驶的路程 s(千米)和时间 t(小时)例 2 已知函数 y(k 2)x 2k1,若它是正比例函数,求 k 的值若它是一次函数,求 k 的值例 3 已知 y+2 与 x3 成正比例,当 x4 时,y3(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;(2)y 与 x 之间是什么函数关系;(3)求 x2.5 时,y 的值22. (8 分) 已知 y=y1+y2,y 1与 x成正比例,y 2与 x-1成正比例,且 x=3时 y=4;x=1 时 y=2,求 y与 x之间的函数关系式,并在直角坐标系中画出这个函数的图象一次函数、正比例函
8、数以及它们的关系:函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为 ykx b 的形式,其中 k、b 是常数,k 0 特别地,当 b0 时,一次函数 ykx(常数 k0)出叫正比例函数(direct proportional function)正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例正比例图象快速作图直线的平移请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(1)y-x、y -x1 与 y-x-2;(2)y2x、y 2x1 与 y2x-2例 2 直线 分别是由直线 经过怎样的移动得到的 521,31xyxy xy21例 3 说出直线 y3x 2 与 ;y
9、5x-1 与 y5x-4 的相同之处五、检测反馈2.(1)将直线 y3x 向下平移 2 个单位,得到直线 ;(2)将直线 y-x -5 向上平移 5 个单位,得到直线 ;(3)将直线 y-2x 3 向下平移 5 个单位,得到直线 3.函数 ykx-4 的图象平行于直 线 y-2x ,求函数的表达式4.一次函数 ykxb 的图象与 y 轴交于点(0,-2),且与直线 平行,求它的函数表达式213xy1.一次函数 ykxb,当 x 0 时,y b;当 y0 时, .所以直线 ykx b 与 y 轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴kb的交点坐标是 ;,k3.已知函数 y2x -4.(1)作出它的图
10、象;(2)标出图象与 x 轴、y 轴的交点坐标;(3)由图象观察,当-2x4 时,函数值 y 的变化范围.4.一次函数 y3x b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24,求 b.图像位置与 k,b 的关系和单调性2.在同一直角坐标系中,画出函数 和 y3x-2 的图象.12y问 在你所画的一次函数图象中,直线经过几个象限.一次函数 ykxb 有下列性质:(1)当 k0 时,y 随 x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;(2)当 k0 时,y 随 x 的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.特别地,当 b0 时,正比例函数也有上述性质.当 b0,直线与 y 轴交于正半轴;当 b0
11、时,直线与 y 轴交于正半轴.下面,我们把一次函数中 k 与 b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:三、实践应用例 1 已知一次函数 y(2m -1)xm5,当 m 是什么数时,函数值 y 随 x 的增大而减小?例 2 已知一次函数 y(1-2m )xm-1,若函数 y 随 x 的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求 m 的取值范围.例 3 已知一次函数 y(3m -8)x1-m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方,且 y 随 x 的增大而减小,其中 m 为整数.(1)求 m 的值;(2)当 x 取何值时,0y4?1已知点 M(1,a)和点 N(2,b)是一次函数 y=2x+1
12、 图象上的两点,则 a与 b的大小关系是( )Aab Ba=b Cab D以上都不对6已知正比例函数 y=kx(k0)的图象上两点 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) ,且 x1x 2,则下列不等式中恒成立的是( )Ay 1+y20 By 1+y20 Cy 1y 20 Dy 1y 209.已知直线 y=kx+b不经过第三象限则下列结论正确的是( )Ak0, b0; Bk0, b0;Ck0, b0; Dk0, b0; 10. 已知一次函数 y=kx+b,y随着 x的增大而减小,且 kby 乙,120x+240144x+144, 解得 x4。答:当学生人数少于 4人时,乙旅行社更优惠;当
13、学生人数多于 4人时,甲旅行社更优惠;本题运用了一次函数、方程、不等式等知识,解决了优惠方案的设计问题。综上所述,利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问题,如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用,对解决方案问题的数学题是很有效的。练习1某童装厂现有甲种布料 38米,乙种布料 26米,现计划用这两种布料生产 L、M 两种型号的童装共 50套,已知做一套 L型号的童装需用甲种布料 0.5米,乙种布料 1米,可获利 45元;做一套 M型号的童装需用甲种布料 0.9米,乙种布料 0.2米,可获利润 30元。设生产 L型号的童装套数为 x,用这批布料
14、生产这两种型号的童装所获利润为y(元)。(1)写出 y(元)关于 x(套)的函数解析式;并求出自变量 x的取值范围;(2)该厂在生产这批童装中,当 L型号的童装为多少套时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?2A 城有化肥 200吨,B 城有化肥 300吨,现要把化肥运往 C、D 两农村,如果从 A城运往 C、D 两地运费分别是20元/吨与 25元/吨,从 B城运往 C、D 两地运费分别是 15元/吨与 22元/吨,现已知 C地需要 220吨,D 地需要 280吨,如果个体户承包了这项运输任务,请帮他算一算,怎样调运花钱最小?24.(9 分) A市和 B市分别库存某种机器 12台和 6台,
15、现决定支援给 C 市 10台和 D市 8台已知从 A市调运一台机器到 C市和 D市的运费分别为 400元和 800元;从 B市调运一台机器到 C市和 D市的运费分别为 300元和 500元(1)设 B市运往 C市机器 x台,求总运费 Y(元)关于 x的函数关系式(2)若要求总运费不超过 9000元,问共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?例 4 某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者果园基地对购买量在 3000 千克以上(含 3000 千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克 9 元,由基地送货上门;乙方案:每千克 8 元,由顾客自己租车运回已知该公司租车从
16、基地到公司的运输费为 5000 元(1)分别写出该公司两种购买方案的付款 y(元)与所买的水果量 x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由解 (1) ;)30(9xy甲58乙18. 下面有两处移动电话计费方式全球通 神州行月租费 50 元 /月 0本地通话 0.40 元/分 0.60 元/分你知道如何选择计费方式更省钱吗?yxO4有批货物,若年初出售可获利 2000元,然后将本利一起存入银行。银行利息为 10%,若年末出售,可获利2620元,但要支付 120元仓库保管费,问这批货物是年初还是年末出售为好?10. 如
17、图,在边长为 2的正方形 ABCD的一边 BC上,一点 P从 B点运动到 C点,设 BPx,四边形 APCD的面积为 y. 写出 y与 x之间的函数关系式及 x的取值范围; 说明是否存在点 P,使四边形 APCD的面积为 1.5?2.(宁夏回族自治区)已知:等边三角形 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 在 的边 上沿方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动(运动开始时,点 与点 重合,点 到达点 时运动终止),过点分别作 边的垂线,与 的其它边交于 两点,线段 运动的时间为 秒(1)线段 在运动的过程中, 为何值时,四边形 恰为矩形?并求出该矩形的面积;(2)线段 在运动的过程中,四边形
18、的面积为 ,运动的时间为 求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式,并写出自变量 的取值范围6、(金华)如图 1,在平面直角坐标系中,已知点 ,点 在 正半轴上,且 动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动,设运动时间为 秒在 轴上取两点 作等边 (1)求直线 的解析式;(2)求等边 的边长(用 的代数式表示),并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值;2. 如右图,在矩形 ABCD 中,AB=20cm ,BC=4cm,点P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4cm/s 的速度运动,点 Q 从 C开始沿 CD 边 1cm/s 的速度移动,如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发,当其中一点到达点 D 时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t(s),t 为何值时,四边形 APQD 也为矩形?