1、第五章 直线与平面、两平面之间的相对位置,垂 直 问 题,相 交 问 题,平 行 问 题,要求,（一）平行问题1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。 （二）相交问题1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2掌握利用重影点判别投影可见性的方法。,（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。 （四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,5-1 直线与平面平
2、行 两平 面平行,一、直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,a,c,b,m,a,b,c,m,例3：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,例4：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,
3、a,m,a,b,c,m,唯一解,二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,例3试判断两已知平面 ABC和 DEFG 是否平行。（平行、不平行）,1,1,2,2,例4
4、试判断两已知平面 ABC和 DEFG 是否平行。（平行、不平行）,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线,直线与平面、平面与平面不平行则必相交。 直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。 求线面交点、面面交线的实质是求共有点、共有线的投影。,一、直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们
5、只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。,（1）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。,作图步骤,判别可见性,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,
6、1(2),作 图,（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,二、平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平
7、面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。,二、一般位置平面与特殊位置平面相交,作图步骤,判别可见性,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交
8、线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DE
9、F这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,三、直线与一般位置平面相交,求作交线的步骤： 1.含直线DE 作辅助平面,2.求辅助平面与平面ABC 的交线,3.求交线与已知直线DE 的交点,为便于在投影图上求作交线应选特殊位置辅助平面。,空间分析,以铅垂面为辅助平面作图,以铅垂面为辅助平面作图,1.含直线DE 作辅助 平面P,2.求辅助平面P 与平 面ABC 的交线MN,3.求交线MN 与已知 直线DE 的交点K,空间分析,以正垂面为辅助平面作图,以正垂面为辅助平面作图,1.含直线DE 作辅助 平面S,2.求辅助平面S 与平 面ABC 的交线MN,3.求交线MN 与已知 直线DE 的
10、交点K,判别可见性,四、两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,用直线与平面求交点的方法求两平面的交线,用直线与平面求交点的方法求两平面的交线,判别可见性,例题 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,分析：,过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,作图,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H 。,3连接KH，KH即为所求。,用三面共点法求两平面的交线,用三面共点法求两平面的
11、交线,5-3 直线与平面垂直、两平面垂直,一、直线与平面垂直二、两平面垂直,直线与平面垂直,直线与平面垂直，则该 直线必垂直于平面上的任 何直线。,LK平面P 则： LK水平线AB LK正平线CD,线面垂直定理,定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。,例题 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,a,例题 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂
12、直于该平面。,结论： mn不垂直ef MN不垂直平面,两平面垂直的几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,A,D,两平面相垂直,两平面不垂直,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,例题 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。,例题 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。,结论： 因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。,5-4 点、线、面综合题及其解法,解题的一般步骤,1)分析题意 主要是分析清楚已知条件和欲求的结果，以及其应满足的条件。,2)确定解题方法和步骤在分析
13、题意的基础上，确定解题方法，设想解题的空间步骤。这是解题的关键。,3)投影作图 这一步是将设想的解题步骤，逐步绘制在投影图上，最后求出结果，完成作图。,解题方法,1 综合分析法,从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理，最后得到所要的结果。,2 轨迹相交法,它适用于有两个或多个作图条件的问题。单独考虑每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交点即为所求的结果。,4 变更问题法,如右图：求两平面的夹角。这时可以自两平面外的任一点K向两平面引垂线KM、KN，再求出KM、KN间的夹角，则其补角即为要求的二面角。,3 辅助作图法,辅助作图法是解画法几何题经常使用的方法，例如
14、在解决从属关系作图时要作辅助线，在求公共元素（如交点、交线）时要作辅助面。,6 投影变换法,投影变换法也是解画法几何题的常用方法。这种方法与上述几种方法相比是属于另一种类型。,5 反求法,解题时，有时从正面推导不易得到结果，而根据要求的结果，先在图外作出其投影图，加以分析而得到解题方法，这种方法就是反求法。,例试过点K 作直线KL，使其同时垂直于两相错直线AB、CD。,分析：由已知条件可知，所要求的直线KL，应满足三个条件：KL过K 点，KLAB 及KLCD 。 因要求KL同时垂直于AB和CD，因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平面P 。,l,l,例已知等边三角形ABC的边AB的V投影a
15、b平行于X 轴，及AC 边的H 投影ac，试完成该三角形的投影 。,分析：根据要作的是等边三角形，且其一边AB是水平线，先在旁边画出这样的等边三角形的正投影图（右图），就可以发现，其H 投影一定是等腰三角形abc，且acbc，而ab即等边三角形ABC边的实长。,b,平行问题, 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,垂直问题, 直线与平面垂直, 两平面垂直,两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,
