1、第一章 第四讲,习 题 课,一 阶行列式定义 ：,或：,主要内容,二 n 阶行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变, 余子式与代数余
2、子式,三 行列式按行（列）展开,3 关于代数余子式的重要性质,2 行列式按一行（列）展开,四 克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,定理,由Cramer法则可得齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 ，则齐次线性方程组没有非零解.,一、计算排列的逆序数,二、计算（证明）行列式,三、克拉默法则,典 型 例 题, 用定义计算（证明）,例 用行列式定义计算,二、计算（证明）行列式,一、计算排列的逆序数,习题一 2（4）,解
3、 （略）, 利用范德蒙行列式计算,例 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,右端行列式为n阶范德蒙行列式，,由范德蒙行列式知,评注 本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,习题一 7（5）,7 (5) 解, 利用性质化为三角行列式计算,例 计算,解,提取第一列的公因子，得, 利用按一行（列）展开行列式降阶计算,例 计算,解,5 用加边法（升阶）计算,例 习题7（4）解
4、法一,（1）若 中为0的个数大于等于2,则,则,（2）若 中仅有一个为0，不妨设,（3）若 都不为0，,则,6 用递推法计算,例 习题7（4）解法二,从而得递推公式,由此递推，得,于是, 用数学归纳法,例 证明,证,对阶数n用数学归纳法,由归纳假设,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法,小结,当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解,三、克拉默法则,解,设所求的二次多项式为,由题意得,由克莱姆法则，得,于是，所求的多项式为,
