1、专题五立体几何问题中的巧妙解法,立体几何是高中数学的主要知识板块之一,在高考中占有重要位置.解立体几何试题的基本能力是空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,基本的解题方法是综合法的逻辑推理,在这个基本方法下,还有一些技巧性方法,下面做简单介绍.,方法一,模型法,思路点拨:根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体一部分,先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体.,方法总结 空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表达的空间几何体.,类型2.模型法判断空间位置关系【例2】 (2015
2、龙岩高三5月质检)已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是()若l,m,l,m,则;若l,l,=m,则lm;若l,则l;若l,lm,则m.(A) (B) (C) (D)思路点拨:长方体中存在各种平行、垂直关系,构造长方体模型,结合选项,考虑线面位置的各种可能作出判断.,解析:构造长方体模型.命题,如图(1),显然不正确,排除选项A,B,答案只能是选项C,D,根据选项C,D可知一定正确,只要判断是否正确即可作出结论,对于命题,如图(2),有直线l在平面内的可能,所以命题不正确.综上可知正确选项为C.故选C.,方法总结 长方体、三棱锥等模型包含了空间线面位置关系的所有
3、可能,在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助于几何模型能起到非常直观的作用,提高解题的准确率.,方法二,展开法,思路点拨:展开侧面,把折线长度之和的最小值转化为平面上两点间的距离.,方法总结 涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时,把空间几何体的表面展开,把折线、曲线转化为直线.,方法三,割补法,思路点拨:第(1)小题几何体是由圆柱截割得来,把其补充为圆柱,利用补充前后的体积关系得之;,思路点拨:第(2)小题利用正方体模型得出空间几何体,利用分割方法求解.,方法总结 割补的目的是实现由难到易的转化,是化归转化思想在空间几何体体积问题中的体现.,思路点拨:根据几何体的形状补形,使之
4、补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球.,思路点拨:根据几何体的形状补形,使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球.,方法总结 当多面体是长方体的一个部分时,其外接球与长方体的外接球必然存在联系(如具有相同的外接球),补形的目的就是找到这种联系.补形法是求解球与多面体构成的组合体的方法之一.,方法四,平行线法,思路点拨:在一条直线上找点,使得过该点的一条直线与另一条直线平行.,方法总结 两异面直线所成角的最基本求法是根据定义,把其化为两相交直线所成的角,平行线法是实现上述转化的基本方法.,思路点拨:找平行线,得出线面平行的条件.,证明:法一取OB中点E,连接ME,NE,如图(1),因
5、为MEAB,ABCD,所以MECD,又因为NEOC,所以平面MNE平面OCD,所以MN平面OCD.,方法总结 线面平行是平行关系的重点,但线线平行是解决平行关系的必经之路,无论是线面平行、面面平行都离不开线线平行,平行线法是证明空间平行关系的基本方法.,方法五,线面垂直法,【例8】 若四面体的两组对棱互相垂直,则另一组对棱也互相垂直.思路点拨:把线线垂直化为线面垂直,再通过线面垂直得出线线垂直.,解:已知:四面体ABCD,ABCD,BCDA.求证:ACBD.,方法总结 在垂直关系的证明中,线面垂直可以是最终目标,但大多数情况下线面垂直是证明的一个过程(即使在最终目标是线面垂直时也有这种可能),
6、通过证明线面垂直得线线垂直、面面垂直,再通过得出的垂直关系,得出线面垂直,进一步得出其它的垂直关系.在垂直关系的证明中线面垂直是核心,把线面垂直当作一种证明方法就是基于这种情况.,思路点拨:根据线面角的定义,利用线面垂直的方法找出所求的线面角.,方法总结 直线与平面所成的角是平面的斜线与其在该平面内射影所成的角,作线面角时离不开线面垂直.,类型3.线面垂直法求二面角【例10】 已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于.思路点拨:两个平面角AEF与ABC有一个公共点A,只要再找到这两个
7、平面的另一个公共点即可作出两个平面的交线,然后根据正方体中的垂直关系不难作出二面角的平面角,具体计算即可.,方法总结 二面角是高考中的一个考查重点,一般偏重使用空间向量的方法求解,实际上综合几何法求二面角更为简洁明了,其关键是作出二面角的平面角,基本方法(也是应用最广泛的方法)是在二面角的一个半平面内找一点A作另一个半平面的垂线AB,B为垂足,再过垂足B作二面角棱的垂线BC,垂足为C,则可得二面角的棱垂直平面ABC,从而AC垂直于二面角的棱,即ACB即为二面角的平面角.这种方法作出的二面角的平面角在一个直角三角形中,角的求解非常简单.,思路点拨:找出或作出点D到平面ABC的距离DE,根据面面垂
8、直的性质不难证明AC平面,进而平面平面ABC,所以过D作DEBC于E,则DE就是要求的距离.,方法六,球心位置分析法(解球的问题),思路点拨:(1)该四面体的外接球的球心O必在过ABC外接圆的圆心O且垂直于平面ABC的直线上,且球心到四面体各顶点的距离相等,据此得出球的半径满足的关系式;,答案:(1)D,思路点拨:(2)大小球的球心以及小球与大球的切点必共线,大球的半径等于大球的球心与小球的球心的距离加上小球的半径;,(3)棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径分别是、 .,思路点拨:(3)根据对称性,正四面体的外接球和内切球的球心必定相同,且一定为正四面体四条高的交点,球心到一个顶点的距离为其外接球的半径、球心到一个面的中心的距离为内切球的半径,两球的半径之和等于正四面体的高.,
