1、北中数学网共 8 页 第 1 页数学思想方法同步讲坐 第 1 讲 函数方程是一类新题在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！从内容上看，在“函数考章”中有 5 个考点：（1）映射. 函数. 函数的单调性、奇偶性.（2）反函数.互为反函数的函数图像间的关系. （3）指数概念的扩充. 有理指数幂的运算性质. 指数函数. （4）对数. 对数的运算性质. 对数函数. （5）函数的应用.从题型上看，常规分类是：选择题，填空题，解答题三类. 也不见函数方程的题型. 经常提到的数学思想：（1）函数方程思想，（2）数形结合思想，（3）分类讨论思想，（4）化归与转化思想等等，高考命题难道可按数学思想分类？
2、存在决定意识. 高考试题的客观存在，决定了人们在试题分类上认识的深化. 【例 1】 （2006 年陕西卷12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文( 加密), 接收方由密文明文(解密), 已知加密规则为: 明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为 （ ）A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7【分析】 这是个什么问题？人们往往用“新题型”三字将其归类，或说详细点，这是一种“信息加密问题”有的还很满
3、足这种分类. 殊不知,这种归类是一种“情境归类”或“形式分类”，没有归类到“数学内容”或“数学思想”的实质与高度上来.从数学的角度审视“信息加密”，这是一个从集合 A（明文）到集合 B（ 密文）的映射问题. 因为集合 A、B 都是数集，所以加密问题是个“函数问题”，解密问题是对应的“反函数问题”.【解析】本题是信息安全与密码问题. 欲求明文 a，b，c，d，需建立关于a，b，c，d 的四个方程 .由于收到的密文是 14，9， 23，28 时，由加密规则可得方程组，解得 ，214938cd6417abcd此即为解密得到的明文，故选 C【点评】 本题在考函数，在考哪一个具体函数？本题在考方程，在考
4、哪一个具体方程？都不“具体”，本题是在考一种数学思想.所谓“函数方程思想”，就是函数与方程的“统一思想” .北中数学网共 8 页 第 2 页本题中，加密是“函数建模”，解密是“函数还原”，前者是明文到密文的函数式，后者是密文到明文的方程（组）.初看解析，这似乎是一个单一的“方程问题”.那么试问：如果没有（背后的）函数，方程从何而来？如果把“函数问题”看作原问题，那么“方程问题”则为原问题的逆问题. 如果函数与反函数是一个问题的两个方面，那么函数与方程这两个方面也统一在同一个整体之中.【链接】 为了看清方程与函数的“平等地位”，我们可以从“加密函数式”中解出它的反函数式，即得“解密函数式”：（）
5、 （） 432dcba dcdba4/18/3216/当密文为 =14， =9， =23， =28 时，利用函数式（），可直接求ad得明文为 a=6，b=4 ，c=1，d=7.事实上，信息安全部门在制作“密码本”时，“加密本”与“解密本”是同时“出版”的. 说明了，这里的工作是把“函数问题”与“方程问题”视作对立的、一体的.【启示】 高考命题，为什么“逆向问题”那么多？总在要你去待定、去假设、去探求？因为命题人考虑到， 顺向考查只是一个单向，而逆向则是双向考查. 这就是高考命题“热中逆向问题”的原因.逆向问题虽应从方程角度思考，但如果离开了正向的函数问题，则这个方程是盲目的、缺乏思想高度的.
6、正是在这一点上,须要研究“函数方程的互逆性和统一性”.【例 2】 （2007 年安徽21）某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 ，以后每年交纳的数目均比上一年增加1a，因此，历年所交纳的储备金数目 是一个公差为 的等差数(0)d 12a， d列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为 ，那么，在第 年末，第一年所交纳(0)rn的储备金就变为 ，第二年所交纳的储备金就变为 ， 以11()nar 22(1)nar Tn 表示到第 年末所累计的储备金总额n（）写出 Tn 与 的递推关系式；1(2)（）求证： ，其中 是一个
7、等比数列， 是一个等差数nABnAnB列北中数学网共 8 页 第 3 页【分析】T n 与 都是数的集合，找它们的关系就是找函数关系，1(2)T因此本题是一个求函数式的问题.函数式是一个等式，求等式就是“布列方程”，因此求函数式是一个列方程的过程. 【解析】 第 年末所累计的储备金总额 n= 上年末储备金总额的（1+ r）倍 + 当年交纳的储备金用符号表示就是：1()(2)nnTra这就是所求的 Tn 与 的递推关系式1【点评】 本题是用“布列方程求函数式”的典型. 第一步，用 Tn 1 作“未知数”；第二步，用含未知数 Tn 1 的代数式来表示其他“未知量”：T n 1(1+r)+an；第三
8、步，用列代数式时没有用过的等量关系组织等式：. 1()(2)nTra这个等式就是所求的方程，即本题所求的函数式. 【分析】 的意思是，数列 Tn 可写成数列 An 与数列 An 的和. 为此可nnAB考虑先求出数列 Tn 的通项公式 .【解析】 由递推式 T1=a1，T n= Tn 1(1+r)+an 得关于 T1，T 2，T n 的 n 元方程组： nnarTr)1()(32321消 T1，得 T2= a1 (1+r)+a2；消 T2，得 T3= a1 (1+r)2+a2 (1+r)+a3；消 Tn 1，得 Tn= a1 (1+r)n 1 +a2 (1+r) n 2 +an 1 (1+r)+
9、an.【插话】T 1， T2，T n 1 已全部消去，T n 已经求出 . 以下只是一个对 Tn 表达式化简的问题. 仍可按“函数方程问题”来处理.【续解】 将上面 Tn 的表达式看作方程，将方程两边同乘以(1+r )得新方程，两方程联立 (2) 1()1()()1( 21 rararrannnn 北中数学网共 8 页 第 4 页（2）（1）得rTn = a1(1+r)n+(a2+a1) (1+r)n 1 +(an a n 1 )(1+r) an= a1(1+r)n+ d(1+r) n 1+(1+r)n 2 +(1+r) an(即 1122)nn adTrr如果记 ， ，(adAnBnr则 n
10、n其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列；12()r1(0)r是以 为首项， 为公差的等差数列nB12addr【点评】本题的第（）问是布列方程的问题，第（）问是方程组求解的问题.把函数式 Tn= Tn 1(1+r)+an 看作含 T1、T 2、T n 的 n 方程组，并用消元法从中解出 Tn，是函数与方程的精彩转换.【小结】 本题的知识载体是“特殊的”数列内容：等差数列与等比数列、由数列的递推式求数列的通项公式等等. 本题的思想则是“普遍的”函数方程思想. 本题以函数设问，用方程作答，函数与方程的视角随机换位，按其所需. 【例 3】（2007 年重庆卷第 22 题）如图1，（）（求得）椭圆的
11、方程 .12736yx（）在椭圆上任取三个不同点 ，31,P使 ，证明321FPF为定值，并求此定值.| 321P【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题心里有函数的人，首先看到了函数：|FP 1|、|FP 2|、 |FP3|都是角 =xFP 1的函数.心里有方程的人，首先看到了方程：|FP 1|cos= x c ( x 是点 P1 的横坐标).图 1北中数学网共 8 页 第 5 页心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.【解析】设（自变量）xFP 1=，于是有 xFP 2 = ，xFP 3 =3.34设|FP 1| = r1，由图 2 可
12、得 |FM| = r1cos，由 e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：r1cos+2r 1 = 12 3 = 9，从而有（函数）：r = ，继而有（方程）：cos29同理有 ,91r ,9)32cos(12r于是有（函数方程的统一体）：,)34cos(23r=|1|132FPFP .329)34cos()32cos(9 【小结】所谓“函数方程的普遍性”是指，当知识载体如本题的椭圆载体一旦更换（成了例 1 的信息加密、例 2 的数列推递）之后，只要还是关于数集与数集、变量与变量间的“关系问题”，无不是函数方程的领域 .显然，函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、
13、带全局性的数学思想. 因此，高考中的“函数方程考题 ”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题.对应训练1. 已知 ，（a、b、cR），则有（ ）15(A) (B) (C) (D) b42ac42acb42，ac图 2北中数学网共 8 页 第 6 页2. 二项式 的展开式中常数项为 （用数字作答）.103x3. 已知锐角三角形 ABC 中，sin(A+B)= ,sin(A-B)= .531()求 tanA=2tanB;()设 AB=3，求 AB 边上的高.对应答案1. 解析 法一：依题设有 a5b c 0 是实系数一元二次方程 的一个实根；52x 0 故选(B)cb42c4法二：去分
14、母，移项，两边平方得：10ac 25ac20ac， 故选(B)2215a acb42点评 解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为 b2 是 a、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2. 本题考查二项展开式的通项公式和幂运算.解题的切入点是正确写出通项公式，并正确化简.根据二项展开式的通项公式 Tr+1=C 得rnbaTr+1=C =C10rx1)(3 rrrnx21103)()(=C Crrxx)(12310310)(r=(-1)rC 650北中数学网共 8 页 第 7 页要使 Tr+1 为常数项，只需(-1) rC 中 x 的指数
15、为 0，即 =0，65201r652r解得 r=4,代回通项公式，得常数项为 （-1） 4C .210在解答过程中正确运用二项展开式得通项公式是解题的关键，而通过方程=0 得出 r=4，则可得到常数项在展开式中的位置，进而求出常数项.65203. 分析 本题是一个三角函数的证明与计算问题.分析题目后发现,已知条件比较复杂,因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有 sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.解析 由已知两个等式,得sinAcosB+cosAsinB= ,53sinAcosB-cosAsinB= .1研究这两个等式发现,左侧的两个解析式只相差一个符号.实际上,可把sinAc
16、osB 看成一个未知数,把 cosAsinB 看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组,解这个方程组便可求出sinAcosB= .51sinco52，到此便可以完成第() 问的证明,将上两式左右两边分别相除,便可得到 tanAcotB=2,即 tanA=2tanB.在第( )问中 ,可画出图形帮助我们进行研究,如右图,从图中并借助已知条件不难发现,应该先求出 tanA 和 tanB 的值.由 sin(A+B)= 及 A+B ,可求得 tan(A+B)=- ,53243展开后得 .tan1t为求出 tanA 和 tanB 的值, 还应再有一个关于 tanA、tanB 的方程，
17、这个方程正是第（）问所证的结论：tanA=2tanB.解由这两个方程组成的方程组，求得 .26tan,62tan下面再解直角三角形，求 CD 就容易了. .63tantCDBADAB由 AB=3 可解得 CD=2+ .6北中数学网共 8 页 第 8 页再回忆以上的分析和求解过程，我们不难发现方程思想贯穿了解答的全过程.第（）问的证明过程中，求解了一个二元一次方程组，既体现了方程的思想，又使用了换元法；第（）问的求解过程中，仍旧是列出一个二元方程组，然后再求出 tanA 和 tanB 的值，最后一步由 AB 求 CD 时，也是列出一个关于CD 的方程，然后再求解.可以认为，本题是突出体现方程思想的一道绝妙好题，它也提示我们，对于三角求值、计算、证明问题，要把方程思想放在解决问题的首选.
