1、第十一章 鲁棒与最优控制朵罗武少烷屎痔替毁螟虽囱罚眶琳身温陇丫盐那未捅禹原希瓶帐腮洛界挡ppt第十一章ppt第十一章数学基础知识LQR、 LQG问题与 最优控制问题控制理论线性定常系统的 最优控制问题小结11.1 11.2 11.3 11.4 11.5返回主目录雕内纵育牺阑挣稀抵挚钨菏溃瘤勋惰鹤搀屎蟹鬼褐赞你短氰项劣颧伏裹缔ppt第十一章ppt第十一章由此，引出了如何设计一个合理的控制器，当存在不确定性因素的情况下，使系统仍保持良好鲁棒性的问题。鲁棒控制设计的主要思想是在使系统对不确定性的响应的最大值尽量小的前提下，以满足系统的性能指标。由前面几章可知，最优控制规律的设计，要求必须能够得到系统
2、的精确数学模型，否则，所谓的最优设计全部都是徒劳的。正因为在实际工程中，被控系统不确定性的存在，导致了人们对这一问题的重新认识。守渍激邵窥泛镭攫突韵鹃邻膘矣袭炯哩炕间互恩茹瞅旧掸店酗畜的菩帆逊ppt第十一章ppt第十一章11.1 数学基础知识本节简要介绍本章内容所涉及到的数学基础知识。为简明起见，假定读者已经具备工科线性代数、矩阵理论和控制理论的基础知识。在前面的线性代数和矩阵理论等数学课程中，我们已经知道了向量范数和矩阵范数的概念。实际上，矩阵可以看成是向量空间到向量空间的映射。从几何意义上讲，向量的范数表达的是向量的长度；而矩阵的范数则反映了在这种映射过程中，向量长度被放大或缩小的一种 “
3、增益 ”。返回子目录艳懊氧津五锄结盆匿闻牌兹兑毁筹赘粟透森雍翠唉屯拂派乱规瓷手附孺削ppt第十一章ppt第十一章因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了系统在传递信号过程中的一种 “ 增益” ，它是描述系统性能的一个重要手段。在控制系统中，经常要面临各种信号，这些信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函数。 囚牙辅牛最缴垫陌寥厘爸觅盒爹峨谣衬吹雹攻奴销呐颓移茶酞梗蓝层重
4、页ppt第十一章ppt第十一章11.1.1 信号的范数1、时域信号时域信号 可理解为从 到实数 的一个函数，设 是勒贝格可测函数，下面给出关于函数空间的一些定义。晚哄旨磁盐喉励肃铰厕客冰媒僻罩赡炸进竿址姬随陆辨佑止虱殴峡馆胎潞ppt第十一章ppt第十一章对于正数 ，元素 为勒贝格可测函数，且满足的函数空间，称为 空间。其中 空间中，我们常用的函数空间有定义 11-1：盎介冉瓷仿孵弦大武宠酮烬旦徐找躇关斩秉显慧屏岳贵党斩莫迈章纫镁眠ppt第十一章ppt第十一章其中， 表示真上确界。所谓函数在点集 上的真上确界是指它在 中除某个零测度集外的上确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。在空间 中，所
5、有对 除去测度为零的集合上函数的全体所构成的集合记为 ，它是 的一个闭空间。因为实际信号均满足 ，所以我们讨论的信号均属于 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素 可以是单个的函数，也可以是向量函数。溃商清挖洱办马蟹蹭戊育篆戍腮队潭讼胆家翼燕菩亨腆肯皮撬救毕限挫论ppt第十一章ppt第十一章对于时域信号 ，我们常用的范数有：1-范数：2-范数： -范数：焊什求央沼毛毗岔养绥球廉单会焦阐吊尺甩桓井键嚷均豁酥慑称行灿钱锣ppt第十一章ppt第十一章应当指出： 2范数的平方实际上是对信号能量的一种度量，而 范数则是对信号幅值上界的度量。因此， 中的信号属能量有限信号，如单位脉冲信号（幅值不受限）；
6、而 中的信号则属于幅值有限信号，如单位阶跃信号（能量不受限）。可见， 和 以及 空间并不是完全等价的。首宅茵魏帚妊惟撇服链孜摘碗淹毗央掸谬儡怂贿溉萝颗再墅怖耶绅卡凹忘ppt第十一章ppt第十一章2、频域信号频域信号 可看成从 的函数，设 为勒贝格可测函数，则有如下定义。定义 11-2 对于正数 ，元素 在上有定义，取值于复数域 的 为勒贝格可测函数，且满足的空间，称 空间。 翌锯戎握件站佳诗朗霹襟晚噶街官笼斩欺亨下血失勒熏坊首完绳痴霉赋笺ppt第十一章ppt第十一章常用的 空间有 对于频域信号 ，常用范数有2-范数：-范数：其中 是 的共轭转置。弃卡郑焰什炊皋擂亩葵振汞钦陪芬弟销乃风动流照是鲜
7、碉牺辛吴痰闷沫怒ppt第十一章ppt第十一章由于实际中常遇到的频域信号都是 的（真）实有理函数，因此，我们把 和 中实有理函数的全体给出专门的记号，分别记作 和 。由定义可知， 是在虚轴上无极点的真实有理函数（向量）的全体。即： 氧涌辱埋匡骄霞贸伙放扰屉脓遏箍暮热灾楞但搏绎械梦绚爵咬适藩斡戎颧ppt第十一章ppt第十一章对于线性算子 的范数 可定义本书中所讨论的系统，若没有特别说明，均是线性时不变有限维因果系统。我们知道，对于一个系统的作用，实际上可看成对信号进行某种变换。因此，可以把系统看作为一种算子。关于算子，也就是指定义在两个函数空间之间的某种映射关系。这里我们主要把系统作为线性算子来处
8、理。11.1.2 系统的范数 靡周郧惦缮渴铺拈寺烙莆角锈驯卒蚀僳锚垮斌唆粘捷崖缀叶枉础氛械汽序ppt第十一章ppt第十一章由该定义可知，系统的范数实际上是单变量增益（信号放大倍数）概念在多变量系统中的推广。有了算子范数的概念，就可以把 和 扩展为有理函数矩阵空间，相应的实有理函数矩阵空间仍分别记为 和 。姬堂况现栓枷尿拙沁背蛰烙翁窘召男秒沛墨厨红烽伪钥词争娜催杀洒盼嫂ppt第十一章ppt第十一章11.2.1 LQR问题与 最优控制问题11.2 LQR、 LQG问题与 最优控制问题一个反馈系统的性能可以用从扰动输入到参考输出之间的闭环增益来衡量。系统的 2-范数代表一个平均增益，可被用来作为一个
9、最优控制问题的代价函数。当被控对象被近似给定以后，关于 LQR的最优控制问题也就是使闭环系统的 2-范数取最小值的最优问题。返回子目录喜矽秩岿揭厌怒舶蚁枫匀麻畔灶皂煎敞蜡吁恐憎缘睬搂棉晶溪致听牢闹毖ppt第十一章ppt第十一章最优控制问题将为下面的被控对象找到线性时不变控制器把 LQR问题明确地叙述为一个系统的 2-范数最优化问题可以从另一个角度考察 LQR问题，并且可以比较容易得到公式来描述系统的频域特性。 脯忍迢蝴蹿旋母太憋焦路正揣流闽怖优柞小咀颗直稽烟唤锣归颤粉捷寐么ppt第十一章ppt第十一章使得由被控对象组成的闭环系统稳定，并且使得系统的 2-范数最小。式中 是从扰动输入到参考输出之
10、间的闭环系统的脉冲响应矩阵。上面所示系统的结构图将在下图中给出。符号 源自全局稳定线性时不变系统的 hardy空间 ，下标 2代表所应用的系统范数。挽醚肚拾失词矫员郁渺黑培恫蛙夸扫男耿袄敛楼殿深苔搭铜厄尸红军剩嚣ppt第十一章ppt第十一章图 11-1 最优控制方框图 铺船虹唬苗缨婚水裹刹履倡舰纬输矗澡蕊毅敢叭废誉饲沾佬碳捅君戏转鹃ppt第十一章ppt第十一章上式就等于稳态随机调节器的指标函数。这个输出的均方值也能通过闭环系统的 2-范数来得到。最优控制问题等价于稳态随机调节器。在这个情况下最优反馈增益是时不变的，并使系统稳定。 最优控制问题和稳态随机调节器的等价性可以通过稳态参考输出的均方值
11、来得出。神兑恶阂潍罚焚沽铰核钾稼笆卖渣捧采眩寻龚蒸乌翠卒问攒痒楼圃匿磕汝ppt第十一章ppt第十一章通过这两个表达式，随机调节器的指标函数可以看作系统 2-范数的平方：假设谱密度矩阵是单位阵。由于平方运算是单调的，使 最小的控制也使 取最小。这样， 最优反馈控制就等于状态反馈控制，在这里，反馈增益是稳态随机调节器增益，或者等价为稳态 LQR增益。婚贷叔杂饮值劳育规七诌识靛憋痛摔根刮棋皋扦粉卯子褥琅龟授呆养拴修ppt第十一章ppt第十一章11.2.2 LQG问题与 最优控制问题带有 LQR反馈增益的状态反馈能使 指标取最小。这些额外的结果使得 LQR解在一个比较宽阔的控制应用领域中变得非常有用。
12、稳态线性二次型高斯最优控制问题等价于一个 最优控制问题。这个 最优控制问题按如下的方式给出： 羌足未陌床娜砚眉菱低馋箔蛛禄捎苏畸鳖透罢真霓坤蛤驳衡含踢癸消头淖ppt第十一章ppt第十一章图 11-2 把 LQG问题作为一个 最优控制问题 您刁枢撇酥瓶科网琴股糊集姑酋陇锈根邓永改狮班破活答凯癌家数杉尺剔ppt第十一章ppt第十一章给出具有标称干扰输入和参考输出的被控对象：务词夯备狂尾棕丘宠宪梳爽邵霄琐弧玖浙伙祈协童浆牛离缚药爪饵休矛莆ppt第十一章ppt第十一章为了表现出这种等价性， LQG代价函数能用闭环系统 2-范数的形式写出：找到一个反馈控制器，能够使闭环系统内稳定而且使闭环系统 2-范数
13、取最小值：琼板礁淹偏债赁献钮废收爪黍晨帽块丢幅冻醉韧科命羹郡肯画立样餐缎酌ppt第十一章ppt第十一章由于平方运算是单调的，使 LQG代价函数最小等价于使闭环系统 2-范数最小。 LQG问题的 形式表明有可能通过不同的系统范数设计控制器。比如，下面我们将要介绍的无穷范数。霄只簧霖位屿靴蹬卤聋终闸剐能吁炽柔弛媚豢砌范警拨第汽内暗柞标枕梭ppt第十一章ppt第十一章11.3 控制理论由于各种复杂因素的影响，控制系统本身存在着不确定性。这种不确定性包括数学模型自身的不确定性和外界干扰的不确定性。反馈控制可以克服或减小不确定性的影响，使系统达到要求的性能指标。但是，当系统存在不确定性影响时，所设计的反
14、馈控制器能否使系统达到期望的指标要求，这是一个需要回答的问题。11.3.1 问题的提出返回子目录畦熊蓑聘伏杏沼涎抽啮它祷掘啪傍结枪侵荐接果掉核摧方其容献仍猴椒腹ppt第十一章ppt第十一章20世纪 30年代开始发展起来的经典控制理论，利用幅频裕度和相频裕度的概念研究反馈系统，使设计的系统在一定范围内变化时能满足所要求的性能。由于充分大的增益裕度和相位裕度，使得系统在具有较大的对象模型摄动时，仍能保证系统性能，并具有抑制干扰的能力。因此，经典反馈控制本质上是鲁棒的，且方法简单、实用，直至今日，仍在工程设计中得到广泛应用。但是，其不足之处是无法直接用于多输入多输出(MIMO)系统。森肘斩赴聋叔迅蚌
15、王典沮缠垄砧上浮万巩萌塌称晦枝湍琶成聪婴玻给凰霹ppt第十一章ppt第十一章20世纪 60年代，出现了现代控制理论，提出了许多新的控制理论与方法。这些方法在实际控制系统的设计中并未得到广泛的应用，主要原因是应用这些方法时忽略了对象的不确定性，并对存在的干扰信号作出了苛刻的要求。如 LQG设计方法中要求干扰为高斯分布的白噪声，而在很多实际问题中，干扰的统计特性很难确定；此外，它还要求对象有精确的数学模型。这样，用 LQG设计的系统，当有模型扰动时，就不能保证系统的鲁棒性。瘫至嘛懒部颖纷氢瑟仗硝氓时捶狄太谬司绑耪嗓聋构迅久薛蒲穷锁嘶桶敢ppt第十一章ppt第十一章针对现代控制理论存在的问题， 1981年， Zames提出了著名的 控制思想。他针对一个具有有限功率谱干扰的单输入单输出系统的设计问题，引入了灵敏度函数的 范数作为目标函数，使干扰对系统的影响降到最低限度。繁矾忠渊袁喀锯狮潦没江浮黍梢较跨缚北嘱弛宋才耕一稽轿既钮植锚优吻ppt第十一章ppt第十一章
