1、几种时频分析方法综述 2希尔伯特黄变换夏巨伟(浙江大学空间结构研究中心)摘 要：希尔伯特黄变换由经验模态分解（empirical mode decomposition，简称 EMD）和 Hilbert 谱分析两部分组成。经验模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解是以局部时间尺度为基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsic mode functions，简称 IMF)的线性叠加。通过分解得到 IMF 后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。本文
2、详细对 Hilbert-Huang Transform 的过程进行了阐述，并用算例分析指出了其优势所在。关键词：希尔伯特黄变换； 时频分析技术；1 希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang Transform）1.1 希尔伯特变换与瞬时频率（Hilbert Transform and instantaneous frequency）对于任意一个时间序列 X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式： -1()(t)=,XYPdt其中，P积分的柯西主值；希尔伯特变换对于任何属于 Lp 空间中的函数都存立，即上式中 X(t)L p（ ，+ ） 。通过上述定义，X(t) 和 Y(t)成为一组复共轭对，同
3、时能够构造一个实部和虚部分为 X(t)和 Y(t)的解析信号 (Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为：(t)=(t)a,itZXiYe其中， 1/22 (t)a(t)+,rctn.XYt 理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析信号结果的方法。X(t) 的 Hilbert 变换实质上是将 X(t)与函数 1/t 在时域上做卷积，这就决定了通过 X(t)的 Hilbert 变换能够考察其局部特性。得到 X(t)的瞬时相位函数后，其瞬时频率为： (t).dwt1.2 经验模态分解与固有模态函数（Empirical mode decomposition/
4、EMD and Intrinsic mode function/IMF）固有模态函数需要满足两个条件：（1）极值与零点的数量必须相等或最多相差一个；（2）由局部极大值包络和局部极小值包络定义的平均包络曲线上任何一点的值为 0；1.2.1 EMD筛选过程（Sifting process ）12k1kx(t)mh,.h.c.12n1njj1x(t)r,rx(t)cr.1.3 Hilbert 谱与 Hilbert 边际谱经过筛选过程后，X(t) 可以表示为 IMF 与残差量的和：nn1n122jnj jkj1j jkT12jkt0jk n122jjX(t)CrX(t)C(t)(t)Ct/tIOXt(
5、t)0对 X(t)的每一个 IMF 进行 Hilbert 变换可以得到 X(t)的 Hilbert 谱： jjj nnitdj jj1j1Hilbert SpcumHilbnitditjjj jj1ni ert Spcutjj1 mC(t)ae(H: a()e(t)C(t)(,)X(t)T)F:( 得到 Hilbert 谱后可以进一步定义 Hilbert 边际谱：Hilbert Maginl SpectrumT0h()H(,t)d1.4 算例分析1.4.1 一个有跳变的余弦信号 cos(6) 105 tsy0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20246位位/s位位位位0 2
6、 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4-2024位位/sC10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-50510位位/sR图 1:跳变信号及其分量0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200100200300400位位/s位位位位0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1000100200300位位/s位位位位位位位位10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1000100200300位位/s位位位位位位位位2X:6Y:18.59X:6Y:19.02图 2:跳变信号 EMD 分量的瞬时相位与频率1.4.2 频率发生改变的余
7、弦信号 cos(6)10 4tsy0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-101位位/s位位位位0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-202位位/sC10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-202x 10-3位位/sR图 3:频率改变余弦信号及其 EMD 分解分量0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200100200300400位位/s位位位位0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201214161820位位/s位位位位位位位位10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201214161820位位/s位位位
8、位位位位位218.9218.9212.5812.58图 4:频率改变余弦信号 IMF 分量瞬时相位与瞬时频率1.4.3 余弦扫频信号 2(10.)cos(4) 01yttts0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4-2024位位/s位位位位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4-2024位位/sC10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.0500.05位位/sR图 5：余弦扫频信号及其 EMD 分解分量0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-500050010001500位位/s位位位位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10001002003004
9、00位位/s位位位位位位位位10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000100200300400位位/s位位位位位位位位2图 6：余弦扫频信号 IMF 分量瞬时相位与瞬时频率1.4.4 两个不同频率的正弦信号的叠加 sin(10)i(5 10ytts0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202位位/s位位位位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101位位/sC10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101位位/sC20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.500.5位位/sR图 7：两个不同频率叠加的正弦信号及其 IMF 分量0 1 2 3 4
10、5 6 7 8 9 10-50050100位位/s位位位位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10020406080X: 4.26Y: 10.15位位/s位位位位位位位位10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10020406080位位/s位位位位位位位位2图 8：两个不同频率叠加的正弦信号 IMF1 分量瞬时相位与瞬时频率0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200204060位位/s位位位位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005101520X: 4.42Y: 5.129位位/s位位位位位位位位10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005101520位位/s位位位位位位位位2图 9：两个不同频率叠加的正弦信号 IMF2 分量瞬时相位与瞬时频率
