1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页汨罗市第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 四面体 中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）ABCDPQMNA BACDC. D异面直线 与 所成的角为CPQNPMB452 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱 BB1 的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为（ ）A60 B90 C45 D以上都不正确3 设函数 f（ x）是奇函数 f（x）（xR ）的导函数，f（2）=0，当 x0 时，xf（x） f（x
2、）0，则使得f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A（，2）（0，2） B（ ，2）（2，+ ） C（ 2，0） （2，+） D（2，0）（0，2）4 不等式 ax2+bx+c0（a 0）的解集为 R，那么（ ）Aa0，0 Ba 0，0 Ca 0，0 Da0，05 与圆 C1：x 2+y26x+4y+12=0，C 2：x 2+y214x2y+14=0 都相切的直线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条6 如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为（， ），AOC=，若|BC|=1，则 cos2 sin cos 的
3、值为（ ）A B C D7 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页A64 B72 C80 D112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.8 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 M（0，2）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A3 B C D9 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 分别是 AA1，AD 的中点，则 CD1 与 EF 所成角为（ ）A0 B45 C60 D9010平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0）
4、，| |=1，则| +2 |=（ ）A B C4 D1211用反证法证明命题：“已知 a、bN *，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ）Aa、b 都能被 5 整除 Ba 、b 都不能被 5 整除Ca、 b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页12已知函数 ，若存在常数使得方程 有两个不等的实根21,0)()3,xf ()fxt12,x（ ），那么 的取值范围为（ ）12x1)xfA B C D3,)413,)8631,)623,)8二、填空题13设某双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，
5、其中一个交点的坐标为327yx，则此双曲线的标准方程是 .)4,15(14设 ，在区间 上任取一个实数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，则随机xfe0,0x()fx0,()fxk事件“ ”的概率为_.0k15 = .-231+log6-24（ ）16在平面直角坐标系中， ， ，记 ，其中 为坐标原(1,)a(,2)b(,)|MOabO点，给出结论如下：若 ，则 ；(1,)(,)对平面任意一点 ，都存在 使得 ；M,(,)若 ，则 表示一条直线；, ；(,)(2)(15若 ， ，且 ，则 表示的一条线段且长度为 02(,)2其中所有正确结论的序号是 17已知 a，b 是互异的负数，A 是 a，b
6、 的等差中项，G 是 a，b 的等比中项，则 A 与 G 的大小关系为 18【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f（x）lnx （mR）在区间1，e上取x得最小值 4，则 m_ 三、解答题19在极坐标系内，已知曲线 C1 的方程为 22（cos 2sin）+4=0，以极点为原点，极轴方向为 x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数）（）求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C2 的普通方程；精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页（）设点 P 为曲线 C2 上的动点，过点 P 作曲线 C1 的切线，求这条切线长的最小值20
7、设集合 .2 22|30,|150AxBxax（1）若 ,求实数的值；B（2） ,求实数的取值范围.111121（本小题满分 13 分）设 ，数列 满足： ， 1()fxna121(),nnafN（）若 为方程 的两个不相等的实根，证明：数列 为等比数列；12,()fx 12na（）证明：存在实数 ，使得对 ， mN21nm）精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页22已知数列a n和b n满足 a1a2a3an=2 （n N*），若a n为等比数列，且 a1=2，b 3=3+b2（1）求 an 和 bn；（2）设 cn= （nN *），记数列c n的前 n 项和为 Sn，求 Sn23已知点（
8、1， ）是函数 f（x）=a x（a 0 且 a1）的图象上一点，等比数列a n的前 n 项和为 f（n） c，数列b n（b n0）的首项为 c，且前 n 项和 Sn 满足 SnSn1= + （n 2）记数列 前 n 项和为 Tn，（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）若对任意正整数 n，当 m1，1时，不等式 t22mt+ T n 恒成立，求实数 t 的取值范围（3）是否存在正整数 m，n，且 1m n，使得 T1，T m，T n 成等比数列？若存在，求出 m，n 的值，若不存在，说明理由24甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化 印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，
9、近8 次的训练成绩如下（单位：分）：精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98（）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（）本次竞赛设置 A、B 两问题，规定：问题 A 的得分不低于 80 分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值 100 元的奖品，问题 B 的得分不低于 90 分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300 元的奖品答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题选手答题问题 A，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频
10、率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页汨罗市第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1 【答案】B【解析】试题分析：因为截面 是正方形，所以 ，则 平面 平面 ，PQMN/,/PQMNP/Q,/ACDMBA所以 ,由 可得 ，所以 A 正确；由于 可得 截面/,/ACBDACBD，所以 C 正确；因为 ，所以 ，由 ，所以 是异面直线 与PQN /PN所成的角，且为 ，所以 D 正确；由上面可知 ，所以 ，BD045/, ,B而 ，所以 ，所以 B
11、是错误的，故选 B. 1,考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.2 【答案】B【解析】解：E 是 BB1 的中点且 AA1=2，AB=BC=1，AEA 1=90，又在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD平面 ABB1A1，A 1D1AE ，AE平面 A1ED1，故选 B【点评】本题考查线面角
12、的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角3 【答案】A【解析】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x0 时总有 xf（x） f（ x）0 成立，即当 x0 时，g（x）0，精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页当 x0 时，函数 g（x）为减函数，又 g（ x）= = = =g（x），函数 g（x）为定义域上的偶函数，x 0 时，函数 g（x）是增函数，又 g（ 2）= =0=g（
13、 2），x 0 时，由 f（x）0，得：g（x）g（2），解得：0x2，x0 时，由 f（x）0，得： g（x）g（2），解得：x2，f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是：（，2）（0，2）故选：A4 【答案】A【解析】解：不等式 ax2+bx+c0（a 0）的解集为 R，a0，且=b 24ac0，综上，不等式 ax2+bx+c0（a 0）的解集为的条件是：a 0 且0故选 A5 【答案】C【解析】【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数【解答】解：圆 C1：x 2+y26x+4y+12=0，C 2：x 2+y214x2y+14=0 的方程可化为
14、，； ；圆 C1，C 2 的圆心分别为（3，2），（7，1）；半径为 r1=1，r 2=6两圆的圆心距 =r2r 1；两个圆外切，它们只有 1 条内公切线，2 条外公切线故选 C6 【答案】 A【解析】解：|BC|=1，点 B 的坐标为（ ， ），故|OB|=1，BOC 为等边三角形，BOC= ，又 AOC=，AOB= ，cos（ ）= ， sin（ ）= ，精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页sin（ ）= cos=cos （ ）=cos cos（ ）+sin sin（ ） = + = ，sin=sin （ ）=sin cos（ ） cos sin（ ）= = cos2 sin cos
15、= （2cos 2 1） sin= cos sin= = ，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题7 【答案】C.【解析】8 【答案】B【解析】解：依题设 P 在抛物线准线的投影为 P，抛物线的焦点为 F，则 F（ ，0），依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点 P 到点 M（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|MF|= = 即有当 M，P， F 三点共线时，取得最小值，为 故选：B【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想9 【答案】C
16、【解析】解：连结 A1D、BD、A 1B，精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 分别是 AA1，AD 的中点，EFA 1D，A 1BD 1C，DA 1B 是 CD1 与 EF 所成角，A 1D=A1B=BD，DA 1B=60CD 1 与 EF 所成角为 60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10【答案】B【解析】解：由已知|a|=2 ，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|= 故选：B【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角
17、和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定11【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“ a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“ a，b 都不能被 5 整除”故选：B12【答案】C【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程 有两上不等的实根，则 ，由 ，可得fxt314t324x，由 ，可得 （负舍），即有 ，即 ，则14
18、x23x312,4x精选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页.故本题答案选 C.212131,6xfx考点：数形结合【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.二、填空题13【答案】 1542xy【解析】试题分析：由题意可知椭圆 的焦点在 轴上，且 ，故焦点坐标为 由双曲3627yy927362c3,0线的定义可得 ,故 ， ，故所求双4
19、01540152a a542b曲线的标准方程为 故答案为： 42xy2xy考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质14【答案】 35【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算，由 得， ，随机事件“ ”的概率为 01()xkfe0()f01x0k2315【答案】 32【解析】精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页试题分析：原式= 。233336134log6l21log1log622考点：指、对数运算。16【答案】【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力由 得 ， ，错误；(1,4)ab1242与 不共线，由平面向量基本定理可得，正确；记 ，由
20、 得 ，点 在过 点与 平行的直线上，正确；OAMabAMAb由 得， ， 与 不共线，ab(1)()0ba ， ，正确；122,5设 ，则有 ， ， 且 ， 表示的一(,)xyx213xy20xy260y(,)条线段且线段的两个端点分别为 、 ，其长度为 ，错误(2,4),)517【答案】 AG 【解析】解：由题意可得 A= ，G= ，由基本不等式可得 AG，当且仅当 a=b 取等号，由题意 a，b 是互异的负数，故 AG 故答案是：AG【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题18【答案】3e【解析】f（x） ，令 f（x）0，则 xm，且当 xm 时， f（x）0
21、 ，f （x）单调递增若m1，即 m1 时，f（x） minf （1）m 1，不可能等于 4；若 1e，即 me 时，f（x） minf （e）1 ，令 1 4，得 m3e，符合题意综上所me述，m3e.三、解答题19【答案】 【解析】【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程【分析】（）运用 x=cos，y= sin，x2+y2=2，即可得到曲线 C1 的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线 C2 的参数方程为普通方程；（）可经过圆心（1，2）作直线 3x+4y15=0 的垂线，此时切线长最小再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值【解答】解：（）对于曲线 C1 的方程为 22（c
22、os 2sin）+4=0，可化为直角坐标方程 x2+y22x+4y+4=0，即圆（x1） 2+（y+2） 2=1；曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数），可化为普通方程为：3x+4y 15=0（）可经过圆心（1，2）作直线 3x+4y15=0 的垂线，此时切线长最小则由点到直线的距离公式可得 d= =4，则切线长为 = 故这条切线长的最小值为 【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题20【答案】（1） 或 ；（2） 1a53a【解析】精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页（2） . 1,1,2AB 无实根,
23、 , 解得 ; 250xax3a 中只含有一个元素， 仅有一个实根, 2250ax故舍去; 0,3,1A 中只含有两个元素，使 两个实根为和, B22需要满足 方程组无根，故舍去, 综上所述 .1111.Com21=a5 3a考点：集合的运算及其应用.21【答案】 【解析】解：证明： ， ， 2()10fxx21021 ， （3 分）121 111122 222nnnnnaaaa， ，120a12数列 为等比数列 （4 分）n精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页（）证明：设 ，则 512m()fm由 及 得 ， ， 12a1nna35a130am 在 上递减， ， ，（8 分）()fx0
24、,)13()()fff241342ama下面用数学归纳法证明：当 时， N212nn当 时，命题成立 （9 分）假设当 时命题成立，即 ，那么nk212kkkkaa由 在 上递减得()fx0,)2122()()()()kfffmffa 22231kkkam由 得 ， ，312321kfff242kk当 时命题也成立， （12 分）n由知，对一切 命题成立，即存在实数 ，使得对 ， .nNnN122nnama22【答案】 【解析】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，数列a n和b n满足 a1a2a3an=2 （nN *），a1=2， ， ， ，b 1=1， =2q0， =2q2，又 b3=
25、3+b22 3=2q2，解得 q=2a n=2n =a1a2a3an=2222n= ， （2）c n= = = =，数列c n的前 n 项和为 Sn= +精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页= 2= 2+= 1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23【答案】 【解析】解：（1）因为 f（1 ）=a= ，所以 f（x）= ，所以 ，a 2=f（2）cf（1）c= ，a 3=f（3） cf（2）c=因为数列a n是等比数列，所以 ，所以 c=1又公比 q= ，所以 ；由题意可得： = ，又因为 b
26、n0，所以 ；所以数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，并且有 ；当 n2 时，b n=SnSn1=2n1；所以 bn=2n1（2）因为数列 前 n 项和为 Tn，所以 = ；因为当 m 1，1时，不等式 恒成立，精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页所以只要当 m1，1时，不等式 t22mt0 恒成立即可，设 g（m）=2tm+t 2，m1，1，所以只要一次函数 g（m） 0 在 m1，1上恒成立即可，所以 ，解得 t2 或 t 2，所以实数 t 的取值范围为（，2）（2，+）（3）T 1，T m， Tn 成等比数列，得 Tm2=T1Tn ，结合 1mn 知，m=2，n=12
27、【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题24【答案】 【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近 8 次的训练的平均成绩分别为 、 ，方差分别为 、 ， ，因为 ， ，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加（II）记事件 C 表示为“甲回答问题 A 成功”，事件 D 表示为“ 甲回答问题 B 成功”，则 P（C ）= ，P（D ）= ，且事件 C 与事件 D 相互独立 记甲按 AB 顺序获得奖品价值为 ，则 的可能取值为 0，100，4
28、00P（=0）=P（ ）= ，P（=100）=P（ ）= ，P（=400）=P（CD）= 精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页即 的分布列为： 0 100 400P所以甲按 AB 顺序获得奖品价值的数学期望 记甲按 BA 顺序获得奖品价值为 ，则 的可能取值为 0，300，400P（=0）=P （ ）= ，P（=300）=P（ ）= ，P（ =400）=P （DC）= ，即 的分布列为： 0 300 400P所以甲按 BA 顺序获得奖品价值的数学期望 因为 EE，所以甲应选择 AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想
