1、精选高中模拟试卷第 1 页,共 18 页安次区高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知 (0,),且 sin+cos= ,则 tan=( )A B C D2 设集合 M=(x,y)|x 2+y2=1,x R,yR,N=(x,y)|x 2y=0,xR,y R,则集合 MN 中元素的个数为( )A1 B2 C3 D43 已知双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8 x 的焦点相同,且双曲线 C 过点 P(2,0),则双曲线 C 的渐近线方程是( )Ay= x By= Cxy=2 x Dy= x4 设 f(x)=e x+x4,则函数 f(x)
2、的零点所在区间为( )A(1 ,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)5 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( )A3 B C D26 长方体 ABCDA1B1C1D1中,AA 1=2AB=2AD,G 为 CC1中点,则直线 A1C1与 BG 所成角的大小是( )精选高中模拟试卷第 2 页,共 18 页A30 B45 C60 D1207 不等式 的解集为( )A 或 BC 或 D8 下列计算正确的是( )A、 B、 C、 D、213xx45()x45x450x9 设 F1,F 2分别是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,过 F2的直线交椭圆于 P,Q 两点,若F1PQ
3、=60,|PF 1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( )A B C D10已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为( )A B C D11将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )(A)150 种 ( B ) 180 种 (C) 240 种 (D) 540 种12在等差数列 中,首项 公差 ,若 ,则 na10,d1237kaa kA、 B、 C、 D、223245二、填空题13【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数若 有三个零点,则实数 m 的取值范围是_
4、21 58lnxfxm, , , , gxfm14已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对弧长为 精选高中模拟试卷第 3 页,共 18 页15若实数 x,y 满足 x2+y22x+4y=0,则 x2y 的最大值为 16抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角等于 的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交于点 A,则 AF 的长为 17在ABC 中,已知 =2,b=2a,那么 cosB 的值是 18用“” 或“”号填空:3 0.8 3 0.7三、解答题19 20已知数列a n满足 a1= , an+1=an+ ,数列b n满足 bn=()证明:b n(0,1)()证明:
5、=()证明:对任意正整数 n 有 an 精选高中模拟试卷第 4 页,共 18 页21某城市决定对城区住房进行改造,在建新住房的同时拆除部分旧住房第一年建新住房 am2,第二年到第四年,每年建设的新住房比前一年增长 100%,从第五年起,每年建设的新住房都比前一年减少 am2;已知旧住房总面积为 32am2,每年拆除的数量相同()若 10 年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番,则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(),求前 n(1 n10 且 nN)年新建住房总面积 Sn22武汉市为增强市民交通安全意识,面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100 名按年龄分组:第
6、 1 组20,25),第 2 组25 ,30),第 3 组30,35),第 4 组35,40),第 5 组40,45,得到的频率分布直方图如图所示(1)分别求第 3,4,5 组的频率;(2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者?(3)在(2)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率精选高中模拟试卷第 5 页,共 18 页23已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y2=4 x 的焦点,离心率是 (1)求椭圆 E 的标准方程;(2)已知动直线
7、 y=k(x+1 )与椭圆 E 相交于 A、B 两点,且在 x 轴上存在点 M,使得 与 k 的取值无关,试求点 M 的坐标24已知双曲线 C: 与点 P(1,2)(1)求过点 P(1,2)且与曲线 C 只有一个交点的直线方程;(2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P,若存在,求出弦 AB 所在的直线方程,若不存在,请说明理由精选高中模拟试卷第 6 页,共 18 页安次区高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1 【答案】D【解析】解:将 sin+cos= 两边平方得:(sin +cos) 2=1+2sincos= ,即 2sincos
8、= 0,0 , ,sincos0,( sincos) 2=12sincos= ,即 sincos= ,联立解得:sin= ,cos= ,则 tan= 故选:D2 【答案】B【解析】解:根据题意,MN= (x,y)|x 2+y2=1,x R,yR(x,y)|x 2y=0,x R,yR(x,y)| 将 x2y=0 代入 x2+y2=1,得 y2+y1=0,=50,所以方程组有两组解,因此集合 MN 中元素的个数为 2 个,故选 B【点评】本题既是交集运算,又是函数图形求交点个数问题3 【答案】A【解析】解:抛物线 y2=8 x 的焦点(2 ,0),双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8 x 的焦
9、点相同,c=2 ,双曲线 C 过点 P(2,0),可得 a=2,所以 b=2 双曲线 C 的渐近线方程是 y= x故选:A【点评】本题考查双曲线方程的应用,抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查精选高中模拟试卷第 7 页,共 18 页4 【答案】C【解析】解:f(x)=e x+x4,f( 1)=e 114 0,f(0)=e 0+040,f(1)=e 1+140,f(2)=e 2+240,f(3)=e 3+340,f( 1) f(2)0,由零点判定定理可知,函数的零点在(1,2)故选:C5 【答案】 B【解析】解:由程序框图得:第一次运行 S= =3,i=2;第二次运行 S= = ,i=3 ;第
10、三次运行 S= = ,i=4;第四次运行 S= =2,i=5;第五次运行 S= =3,i=6 ,S 的值是成周期变化的,且周期为 4,当 i=2015 时,程序运行了 2014 次,2014=4503+2,输出 S= 故选:B【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据程序的运行功能判断输出 S 值的周期性变化规律是关键6 【答案】C精选高中模拟试卷第 8 页,共 18 页【解析】解:以 D 为原点, DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD 1为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 AA1=2AB=2AD=2,A1(1,0,2),C 1(0,1,2), =(1,1,0),B(1,1,0),G(0,
11、1,1), =(1,0,1),设直线 A1C1与 BG 所成角为 ,cos= = = ,=60故选:C【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力,解题时要注意向量法的合理运用7 【答案】A【解析】令 得 , ;其对应二次函数开口向上,所以解集为 或 ,故选 A答案:A8 【答案】B【解析】试题分析:根据 可知,B 正确。a考点:指数运算。精选高中模拟试卷第 9 页,共 18 页9 【答案】 D【解析】解:设|PF 1|=t,|PF1|=|PQ|,F 1PQ=60,|PQ|=t,|F 1Q|=t,由F 1PQ 为等边三角形,得|F 1P|=|F1Q|,由对称
12、性可知,PQ 垂直于 x 轴,F2为 PQ 的中点,|PF 2|= ,|F1F2|= ,即 2c= ,由椭圆定义:|PF 1|+|PF2|=2a,即 2a=t = t,椭圆的离心率为:e= = = 故选 D10【答案】A【解析】解:双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为 ,(a0,b0)由此可得双曲线的渐近线方程为 y= x,结合题意一条渐近线方程为 y= x,精选高中模拟试卷第 10 页,共 18 页得 = ,设 b=4t,a=3t,则 c= =5t(t 0)该双曲线的离心率是 e= = 故选 A【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准
13、方程、基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题11【答案】A【解析】 人可以分为 和 两种结果,所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为51,3,2种,故选 A23350C12【答案】A【解析】 ,1237kaa 162ad1(2)ad 二、填空题13【答案】 714,【解析】14【答案】 【解析】解:如图:设AOB=2,AB=2,过点 0 作 OCAB,C 为垂足,精选高中模拟试卷第 11 页,共 18 页并延长 OC 交 于 D,则AOD=BOD=1,AC= AB=1RtAOC 中,r=AO= = ,从而弧长为 r=2 = ,故答案为 【点评】本题考查弧长公式的应用,解直角三角形求出扇
14、形的半径 AO 的值,是解决问题的关键,属于基础题15【答案】10【解析】【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形,设 z=x2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线z=x2y 过图形上的点 A 的坐标,即可求解【解答】解:方程 x2+y22x+4y=0 可化为(x1) 2+(y+2) 2=5,即圆心为(1,2),半径为 的圆,(如图)设 z=x2y,将 z 看做斜率为 的直线 z=x2y 在 y 轴上的截距,经平移直线知:当直线 z=x2y 经过点 A(2,4)时, z 最大,精选高中模拟试卷第 12 页,共 18 页最大值为:10故答案为:1016【答案】 4 【解析】解:由已知可得
15、直线 AF 的方程为 y= (x 1),联立直线与抛物线方程消元得:3x 210x+3=0,解之得:x 1=3,x 2= (据题意应舍去),由抛物线定义可得:AF=x 1+ =3+1=4故答案为:4【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,属于中档题17【答案】 【解析】解: =2,由正弦定理可得: ,即 c=2ab=2a, = = cosB= 故答案为: 【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题18【答案】 【解析】解:y=3 x是增函数,又 0.80.7,3 0.83 0.7故答案为:【点评】本题考查对数函数、指数函数的
16、性质和应用,是基础题三、解答题精选高中模拟试卷第 13 页,共 18 页19【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为5,15 ,(15 ,25,(25,35,(35,45 ,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),(1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在5,15 内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】(
17、1)求解得 a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20根据平均数值公式求解即可(2)XB(3, ),根据二项分布求解 P(X=0),P ( X=1),P (X=2)= ,P(X=3),列出分布列,求解数学期望即可【解析】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)10=1解得 a=0.03;又由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20,而 50 个样本小球重量的平均值为:=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6(克)故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克(2)利用样本估计总体,该盒子
18、中小球的重量在5,15内的 0.2;则 XB(3, ),X=0,1 ,2,3;P(X=0)= ( ) 3= ;P(X=1)= ( ) 2 = ;精选高中模拟试卷第 14 页,共 18 页P(X=2)= ( )( ) 2= ;P(X=3)= ( ) 3= ,X 的分布列为:X 0 1 2 3P即 E(X)=0 = 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出随机变量的数值,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力20【答案】 【解析】证明:()由 bn= ,且 an+1=an+ ,得 , ,下面用数学归纳法证明:0b n1由 a1= (0,1),知 0b
19、11,假设 0b k1,则 ,0b k1, ,则 0b k+11综上,当 nN*时,b n(0, 1);()由 ,可得, , = = 故 ;()由()得:,精选高中模拟试卷第 15 页,共 18 页故 由 知,当 n2 时,= 【点评】本题考查了数列递推式,考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题,训练了放缩法证明数列不等式,对递推式的循环运用是证明该题的关键,考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力,是压轴题21【答案】 【解析】解:(I)10 年后新建住房总面积为 a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a设每年拆除的旧住房为 xm2,则 42a+(32a10x)
20、=232a,解得 x=a,即每年拆除的旧住房面积是 am2()设第 n 年新建住房面积为 a,则 an=所以当 1n4 时,S n=(2 n1) a;当 5n10 时,S n=a+2a+4a+8a+7a+6a+(12 n)a=故【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型22【答案】 【解析】解:(1)由题意可知第 3 组的频率为 0.065=0.3,第 4 组的频率为 0.045=0.2,第 5 组的频率为
21、0.025=0.1;(2)第 3 组的人数为 0.3100=30,第 4 组的人数为 0.2100=20,第 5 组的人数为 0.1100=10;精选高中模拟试卷第 16 页,共 18 页因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为:第 3 组 =3;第 4 组 =2;第 5 组 =1;应从第 3,4,5 组各抽取 3,2,1 名志愿者(3)记第 3 组 3 名志愿者为 1,2,3;第 4 组 2 名志愿者为 4,5;第 5 组 1 名志愿者为 6;在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者有:(1,2),(1,
22、3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6);共有 15 种,第 4 组 2 名志愿者为 4,5;至少有一名志愿者被抽中共有 9 种,所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图,考查计算能力23【答案】【解析】解:(1)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,且 a= ,1 分c=ea= = ,故 b= = = ,4 分所以,椭圆 E 的方程为 ,即 x2+3y2=56 分(2)将 y=k(x+1 )代入方程 E:x
23、 2+3y2=5,得(3k 2+1)x 2+6k2x+3k25=0;7 分设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(m ,0),则x1+x2= ,x 1x2= ;8 分 =(x 1m ,y 1)= (x 1m ,k(x 1+1), =(x 2m,y 2)=(x 2m ,k(x 2+1); =(k 2+1)x 1x2+(k 2m )(x 1+x2)+k 2+m2=m2+2m ,要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0,解得 m= ;精选高中模拟试卷第 17 页,共 18 页存在点 M( ,0)满足题意13 分【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,也考查了椭圆的标准方程及其几
24、何性质,考查了一定的计算能力,属于中档题24【答案】 【解析】解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程,并整理得(2k 2)x 2+2(k 22k)x k2+4k6=0 ( *)()当 2k2=0,即 k= 时,方程( *)有一个根,l 与 C 有一个交点所以 l 的方程为 ()当 2k20,即 k 时=2(k 22k) 24(2k 2)( k2+4k6)=16(32k),当=0,即 32k=0,k= 时,方程( *)有一个实根,l 与 C 有一个交点所以 l 的方程为
25、3x2y+1=0综上知:l 的方程为 x=1 或 或 3x2y+1=0(2)假设以 P 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 2x12y12=2,2x 22y22=2,两式相减得 2(x 1x2)(x 1+x2)=(y 1y2)(y 1+y2)又x 1+x2=2,y 1+y2=4,2(x 1x2)=4(y 1y2)即 kAB= = ,直线 AB 的方程为 y2= (x1),代入双曲线方程 2x2y2=2,可得,15y 248y+34=0,由于判别式为 482415340,则该直线 AB 存在 精选高中模拟试卷第 18 页,共 18 页【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题,考查直线方程问题,考查分类讨论思想,是一道中档题