1、1小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算 .2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似 .3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算 .4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小 .5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题 .学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用 .答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?提示:答
2、:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例 1】已知 =3,则 (b+d0)的值是 . ab=cd a+cb+d【思路点拨】由已知可知:3 b=a,3d=c,得到 (b+d0)的值 .a+cb+d解析:2.相似三角形的判定与性质【例 2】如图所示,在 ABC 中, D,E 分别为 BC,AC 的中点, AD,BE 相交于点 G,若 S GDE=1,求S ABC.【思路点拨】先求与 GDE 相似的 GAB 的面积,由相似比为 1 2,得 S ABG=4,再根据 AGE, BGD 分别与 GDE 等高,可得面积为 GDE 的面积的 2 倍,从而可以得到四边形 ABDE的面积,只要求出 DEC 的面积即
3、可得出所求 .解:2【例 3】如图所示,四边形 ABCD 中, AC 平分 DAB, ADC= ACB=90,E 为 AB 的中点,连接 CE.(1)求证: AC2=ABAD;(2)求证: CE AD;(3)连接 DE,交 AC 于点 F.若 AD=4,AB=6,求 的值 .ACAF【思路点拨】(1)由 AC 平分 DAB, ADC= ACB=90,可得 ADC ACB,从而得AC2=ABAD.(2)由 E 为直角三角形斜边 AB 的中点,得 CE= AB=AE,则 DAC= ECA,得到12CE AD.(3)证 AFD CFE,由相似三角形的对应边成比例,求得 的值 .ACAF解:【例 4】
4、如图所示,已知在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线,以 AB 为直径的 O 交 BC 于点D,过 D 作 MN AC 于点 M,交 AB 的延长线于点 N,过点 B 作 BG MN 于 G.(1)求证: BGD DMA;(2)求证:直线 MN 是 O 的切线 .【思路点拨】(1)根据垂直定义得出 BGD= DMA=90,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出 DBG= ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明 BGD DMA;(2)连接 OD.由三角形中位线的性质得出 OD AC,根据垂直于同一直线的两直线平行得出 AC BG,由平行公理推论得到 OD
5、 BG,再由 BG MN,可得 OD MN,然后根据切线的判定定理即可证明直线 MN 是 O 的切线 .证明:3.相似三角形的应用【例 5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度,如图所示,当李明走到点 A 处时,张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等,接着李明沿 AC 方向3继续向前走,走到点 B 处时,李明直立时(身高 BN=AM)的影子恰好是线段 AB,并测得 AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为 1.75 m,求路灯的高 CD.(结果精确到 0.1 m)【思路点拨】根据 AM EC,CD EC,BN EC 得到 MA CD BN,从而得到 A
6、BN ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可 .解:4.位似图形的画法与性质【例 6】如图所示,已知 O 是 坐标原点, B,C 两点的坐标分别为(3, -1),(2,1).(1)以 O 点为位似中心在 y 轴的左侧将 OBC 放大为原来的 2 倍(即新图与原图的相似比为 2),画出图形;(2)分别写出 B,C 两点的对应点 B,C的坐标;(3)如果 OBC 内部一点 M 的坐标为( x,y),写出 M 的对应点 M的坐标 .【思路点拨】(1)延长 BO,CO 分别到 B,C,使 OB,OC的长度分别是 OB,OC 的 2 倍 .顺次连接三点即可 .(2)从直角坐标系中,读出
7、B,C的坐标 .(3)观察坐标之间的关系可得 M的坐标为( -2x,-2y).解:评价作业1.(6 分)下列四条线段中,不是成比例线段的是( )A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a= ,b=8,c=5,d=1583C.a=1,b= ,c= ,d=2 5 3D.a= ,b=1,c= ,d=2 6 32.(6 分) ABC ABC, A=45, B=100,则 C等于( )A.45 B.100 C.55 D.353.(6 分)如图所示, l1 l2 l3,直线 a,b 与 l1,l2,l3分别相交于点 A,B,C 和点 D,E,F,若,DE=4,则 EF 的长是( )ABBC=23A.83B.
8、2034C.6D.104.(6 分)如图所示,在 ABCD 中, E 为 CD 上一点,连接 AE,BD,且 AE,BD 交于点 F,SDEFS ABF=4 25,则 DEEC 等于( )A.2 5 B.2 3 C.3 5 D.3 25.(6 分)如图所示,在 ABC 中, AB=AC, A=36,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,若 AC=2,则 AD 的长是( )A.5-12B.5+12C. -15D. +156.(8 分)如图所示,1 =2,添加一个条件使 ADE ACB: . 7.(8 分)如图所示,在 ABC 中, ACB=90,CD AB,垂足是 D,BC= ,BD=1,则
9、CD= 6,AD= . 8.(8 分)为了测量一棵树 AB 的高度,测量者在 D 点立一高 CD=2 m 的标杆,现测量者从F 处可以看到杆顶 C 与树顶 A 在同一条直线上,如果测得 BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB 的高度为 m. 9.(10 分)如图所示,点 C,D 在线段 AB 上, PCD 是等边三角形 .(1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时, ACP PDB?5(2)当 ACP PDB 时,求 APB 的度数 .10.(10 分)如图所示,在边长均为 1 的小正方形网格纸中, OAB 的顶点 O,A,B 均在格点上,且 O 是直角坐标系的原点,点 A
10、 在 x 轴上 .(1)以 O 为位似中心,将 OAB 放大,使得放大后的 OA1B1与 OAB 对应线段的比为2 1,画出 OA1B1(所画 OA1B1与 OAB 在原点两侧);(2)求出线段 A1B1所在直线的函数关系式 .11.(12 分)如图所示,直线 PM 切 O 于点 M,直线 PO 交 O 于 A,B 两点,弦 AC PM,连接OM,BC.求证:(1) ABC POM;(2)2OA2=OPBC.612.(14 分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地 ABC,AB=AC=5 米, BC=6 米,现打算把它开垦出一个矩形 MNFE 区域种植韭菜, AMN 区域种植芹菜, CME 和
11、 BNF 区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点 M,N 分别在 AC,AB 上 ,点 E,F 在 BC 上,已知韭菜每平方米收益 100 元,芹菜每平方米收益 60 元,青菜每平方米收益 40 元,设 CM=5x 米,王爷爷的蔬菜总收益为 W 元 .(1)当矩形 MNFE 恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形 MNFE 的面积 .(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的 2 倍,求这时 x 的值 .(3)求王爷爷的蔬菜总收益为 W 关于 x 的函数表达式及 W 的最大值 .参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相
12、似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 .位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上 .2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为 1 的三角形的相似 .判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似 .符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X
13、”型.(2)判定定理 1:三边成比例的两个三角形相似 .(3)判定定理 2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 .(4)判定定理 3:两角分别相等的两个三角形相似 .(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 .73.答:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等 .4.答:应用位似作图的一般步骤是: 确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上 . 连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点 . 画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点
14、,得到新的图形 . 写出作图的结论 .平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的 .第二层学习:典例剖析1.比例线段【例 1】解析:由 =3,得 3b=a,3d=c,ab=cd =3.a+cb+d=3b+3db+d=3(b+d)b+d答案:32.相似三角形的判定与性质【例 2】解: D ,E 分别是 BC,AC 的中点,DE AB,DE= AB,12 AGB DGE, =4.S ABGS DGE=(ABDE)2S GDE=1,S ABG=4. AGE 的 AG 边
15、上的高与 GDE 的 DG 边上的高相等, =2,S AGE=2,S AGES GED=AGDG=ABDE同理可得 S GBD=2,S 四边形 ABDE=4+2+2+1=9.DE AB, EDC ABC,设 S ABC=x,则 ,解得 x=12,即 S ABC=12.xx-9=(21)2【例 3】解:(1) AC 平分 DAB, DAC= CAB. ADC= ACB=90, ADC ACB,ADAC=ACAB ,AC 2=ABAD.(2)E 为 AB 的中点,CE= AB=AE, EAC= ECA.12 DAC= CAB, DAC= ECA,CE AD.(3)由(2)知 CE AD, AFD
16、CFE.8ADCE=AFCF.CE= AB,CE= 6=3.12 12AD= 4, , .43=AFCF ACAF=74【例 4】证明:(1) MN AC 于点 M,BG MN 于 G, BGD= DMA=90. 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D,AD BC, ADC=90, ADM+ CDM=90. DBG+ BDG=90, CDM= BDG, DBG= ADM. BGD DMA.(2)如图所示,连接 OD.BO=OA ,BD=DC,OD 是 ABC 的中位线, OD AC.MN AC,BG MN,AC BG,OD BG.BG MN,OD MN, 直线 MN 是 O 的切线 .3.
17、相似三角形的应用【例 5】解:设路灯高 CD 为 x m,AM EC,CD EC,BN EC,EA=MA,MA CD BN,EC=CD=x, ABN ACD, ,BNCD=ABAC即 ,1.75x = 1.25x-1.75解得 x=6.1256 .1. 路灯高 CD 约为 6.1 m.4.位似图形的画法与性质【例 6】解:(1)如图所示 .(2)B(-6,2),C(-4,-2).(3)M 的对应点 M的坐标为( -2x,-2y).9评价作业1.C 2.D 3.C 4.B 5.C6. B= E(答案不唯一) 7. 5 8.359.解:(1)当 CD2=ACDB 时, ACP PDB. PCD 是
18、等边三角形, PCD= PDC=60, ACP= PDB=120,若 CD2=ACDB,由 PC=PD=CD 可得PCPD=ACDB,即 , ACP PDB.PCBD=ACPD(2)当 ACP PDB 时, APC= PBD,由题知 PDC=60, DPB+ DBP=60, APC+ BPD=60, APB= CPD+ APC+ BPD=120,即 APB 的度数为 120.10.解:(1)如图所示的 OA1B1就是 OAB 放大后的图象 .(2)由(1)可得点 A1,B1的坐标分别为(4,0),(2, -4),故设此直线的解析式为y=kx+b(k0), 解得 故线段 A1B1所在直线的函数关
19、系式为0=4k+b,-4=2k+b, k=2,b= -8.y=2x-8.11.证明:(1) 直线 PM 切 O 于点 M, PMO=90. 弦 AB 是直径, ACB=90, ACB= PMO.AC PM, CAB= P, ABC POM.(2) ABC POM, .又 AB=2OA,OA=OM, . 2OA2=OPBC.ABPO=BCOM 2OAPO=BCOA12.解:(1)作 AH BC 于点 H,交 MN 于点 D.AB=AC ,AH BC,CH=HB= 3,在 Rt ACH 中, AH= =4.52-32ME AH, ,CMCA=EMAH=CECHCE= 3x,EM=EF=4x,易证 MEC NFB,CE=BF= 3x, 3x+4x+3x=6,x= ,35EM= ,12510 矩形 MNFE 的面积为 平方米 .14425(2)由题意:100 4x(6-6x)=2 ,6012(6-6x)(4-4x)+404x3x解得 x= .12或 35(3)由题意 W=1004x(6-6x)+60 (6-6x)(4-4x)+404x3x=-1 12200x2+960x+720=-1 200 +912,(x-25)2- 12000,x= 时, W 有最大值,最大值为 912 元 .25
