1、 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 2 /13 天津一中 20162017 届高三年级三月考数学学科试卷（理） 第卷（本卷共 8 道题，每题 5 分，共 40 分） 一、选择题： 1. 设全集 U=R，集合 A=x|1og 2 x 2，B=x|（x3）（x+1） 0，则（C U B） A=（ ） A. (,1 B (,1 ( 0 , 3 ) C 0,3)D (0,3)2.下列说法正确的是（ ） A若 aR ，则“ 1 a 1”是“ a 1”的必要不充分条件 B“ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的必要不充分条件 C若命题 p：“ xR，sinx+
2、cosx ”，则p是真命题 D命题“ x 0 R，使得 x 0 2 +2x 0 +30”的否定是“ xR，x 2 +2x+30” 3设变量 y x, 满足约束条件 2 0 24 xy xy xy , 则目标函数 y x z 3 2 的最小值为( ) A 5 B 4 C 3 D 2 4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ） Ayx1的图象上 B y2x的图象上 Cy2 x 的图象上 D y2 x-1 的图象上 5.在 ABC 中, a、b 、 c分别为角 A、 B、C 所对的边， 5 4 cos A , 2 b ,面积 3 S ，则 a为（ ） . A 5 3 . B 13 . C 21
3、 . D 17 6.数列 n a 满足 1 1 a ，对任意的 N n 都有 n a a a n n 1 1 ，则 2016 2 1 1 1 1 a a a （ ） A 2016 2015B 2017 2016C 2017 4034D 2017 4032天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 3 /13 7.已知双曲线 1 : 2 2 2 2 b y a x C ) 0 , 0 ( b a 与抛物线 ) 0 ( 2 2 p px y 的交点为 A、 B，直线 AB经过抛物线的焦点 F ，且线段 AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的 离心率为 （ ） . A 1
4、 2 . B 3 . C 2 . D 2 8. 已知函数 2 ln 2 , 0 3 ,0 2 xxx x fx xx x 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 1 y 的 对称点在 1 y kx 的图象上，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1 ,1 2 B 13 , 24 C 1 ,1 3 D 1 ,2 2 第卷（本卷共 12 道题，共 110 分） 二.填空题： 9.若复数 2 , 12 bi bR i i 为虚数单位 的实部和虚部互为相反数，则 b =_. 10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积是 _ 3 cm . 11.若 m dx x 1 6 ) 1 2 (
5、 ，则二项式 m x 3 ) 2 1 ( 的展开式各项系数的和为_. 12.在直角坐标系 xOy中，以原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 M 的极坐标方程为 2c o s ( )1 4 , 曲线 N 的参数方程为 2 4 4 x t yt （t为参 数）. 若曲线 M 与 N 相交于 , A B两点，则线段 AB的长等于 . 13. ABC 是边长为23 的正三角形， P是以C 为圆心，半径为 1的圆上任意一点，则 APB P 的取值范围是 14.若关于 x的不等式 1 xxx a 对 x R 恒成立，则 a的取值范围是_ _. 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所
6、有 ww w. mysc 4 /13 三 解答题(共 6 题，80 分)重庆名校资 15.函数 f(x)cos(x) 0 2 的部分图象如图所示 (1)求 及图中 x 0 的值； (2)设 g(x)f(x)f x 1 3 ，求函数 g(x)在区间 1 2 ， 1 3 上 的最大值和最小值 16.从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中，每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出 的球中有红球（不放回） ，则实验结束 （1）求第一次实验恰好摸到 1个红球和 1个白球的概率； （2）记实验次数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 来源:Zxxk.Com天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版
7、权所有 ww w. mysc 5 /13 17.如图，正方形 ABCD的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G为 AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG平面 ADF； （II）求二面角 O-EF-C的正弦值； （III）设 H为线段 AF上的点，且 AH= 2 3 HF， 求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值. 18.已知函数 () l o g k fxx （k为常数，k0且 k 1），且数列 () n f a 是首项为 4， 公差为 2的等差数列 （1）求证：数列 n a 是等比数列； （2）若 () nn n bafa ，当 1 2 k 时
8、，求数列b n 的前 n项和 S n 的最小值； （3）若 lg nnn caa ，问是否存在实数 k，使得c n 是递增数列？若存在，求出 k的 范围；若不存在，说明理由 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 6 /13 19已知椭圆 E： 22 22 1( 0) xy ab ab 的焦距为 2 ，其上下顶点分别为 C 1 ， C 2 ，点 A（1，0） ，B（3，2） ，AC 1 AC 2 （1）求椭圆 E的方程及离心率； （2）点 P的坐标为（m，n） （m 3） ，过点 A任意作直线 l与椭圆 E相交于点 M，N 两点，设直线 MB，BP，NB的斜率依
9、次成等差数列，探究 m，n之间是否满足某种数 量关系，若是，请给出 m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由 20. 已知函数 x ax x h ln 2 ) ( （）当 1 a 时，求 ) (x h 在 ) 2 ( , 2 ( h 处的切线方程； （）令 ) ( 2 ) ( 2 x h x a x f ，已知函数 ) (x f 有两个极值点 2 1 , x x ，且 2 1 2 1 x x ， 求实数 a的取值范围； （）在（）的条件下，若存在 2 , 2 2 1 0 x ，使不等式 2 ln 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ln( ) ( 2 0 a a m a x f 对任意 a（
10、取值范围内的值）恒 成立，求实数 m的取值范围. 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 7 /13 参考答案 1.D 2. A 3A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. A 二.填空题： 9. 3 2 10. 3 1611. -1 12. 8 13.1, 1 3 14. 0,1 三.解答题： 15. 6 . x 0 5 3 . 最大值 3；最小值 3 2 .(2)因为 f x 1 3 cos x 1 3 6 cos x 2 sin x， 所以 g(x)f(x)f x 1 3 cos x 6 sin xcos xcos 6 sin xsin 6s in
11、 x 3 2 cos x 3 2 sin x 3sin 6 x . 当 x 1 2 ， 1 3 时， 6 6 x 2 3 .所以 1 2 sin 6 x 1， 故 6 x 2 ，即 x 1 3 时，g(x)取得最大值 3； 当 6 x 6 ，即 x 1 3 时，g(x)取得最小值 3 2 . 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 8 /13 16. 源17.试题解析：依题意， OF ABCD 平面 ，如图，以 O为点，分别以 , ADB AO F 的方 向为 x 轴， y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 (0,0,0) O ， 1, 1,
12、0 , ( 1, 1, 0 ) , (1, 1, 0 ) , (1 1, 0 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0, 0, 2 ) , ( 1, 0, 0 ) ABCDEFG ， . （I）证明：依题意， (2,0,0), 1 , 1 ,2 AD AF .设 1 , nx y z 为平面 ADF 的法向 量，则 1 1 0 0 nA D nA F ，即 20 20 x xyz .不妨设 1 z ，可得 1 0, 2,1 n ，又 0,1, 2 EG ，可得 1 0 EG n ，又因为直线 EG ADF 平面 ，所以 / EG ADF 平面 . （II）解：易证， 1, 1, 0 OA 为
13、平面OEF 的一个法向量.依题意， 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 9 /13 1, 1, 0 , 1, 1, 2 EF CF .设 2 , nx y z 为平面CEF 的法向量，则 2 2 0 0 nE F nC F ， 即 0 20 xy xyz .不妨设 1 x ，可得 2 1, 1, 1 n .因此有 2 2 2 6 cos , 3 OA n OA n OA n ，于是 2 3 sin , 3 OA n ，所以，二面角 OE FC 的正弦值为 3 3 . 考点：利用空间向量解决立体几何问题 18. 【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质
14、【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列 【分析】（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得 a n =k 2n+2 ，再由等比数列的定 义即可得证； （2）求得 a n ，f（a n ），再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小 值； （3）由题意可得（n+1）lgk（n+2）k 2 lgk对一切 nN * 成立讨论 k1，0k1，运 用数列的单调性即可得到所求 k的范围 【解答】解：（1）证明：由题意可得 f（a n ）=4+2（n1）=2n+2， 即 log k a n =2n+2， ， 常数 k0且 k 1，k 2 为非零常数， 数列a n 是
15、以 k 4 为首项，k 2 为公比的等比数列； 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 10 /13 （2）当 时， ，f（a n ）=2n+2， 所以 ， 因为 n 1，所以， 是递增数列， 因而最小值为 S 1 =1+3+ = （3）由（1）知， ， 要使 c n c n+1 对一切 nN * 成立， 即（n+1）lgk（n+2）k 2 lgk对一切 nN * 成立 当 k1时，lgk0，n+1（n+2）k 2 对一切 nN * 恒成立； 当 0k1时，lgk0，n+1（n+2）k 2 对一切 nN * 恒成立， 只需 ， 单调递增， 当 n=1时， ，且
16、0k1， 综上所述，存在实数 满足条件 19 【考点】椭圆的简单性质 【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质 与方程 【分析】 （1）由 AC 1 AC 2 ，可得 =1b 2 =0，又 2c=2 ，a 2 =b 2 +c 2 ，即可得 出 （2）m，n之间满足数量关系 m=n+1下面给出证明：当取 M ， N 时，根据斜率计算公式、及其直线 MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即 可证明 当直线 MN的斜率不为 0时，设直线 MN的方程为：ty+1=xM（x 1 ，y 1 ） ，N（x 2 ， y 2 ） 与椭圆方程联立化为： （t 2 +3）y 2
17、+2ty2=0，根据斜率计算公式、及其直线 MB， BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明 【解答】解： （1）AC 1 AC 2 ，C 1 （0，b） ，C 2 （0，b） ，A（1，0） ， =1b 2 =0，b 2 =1 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 11 /13 2c=2 ，解得 c= ，a 2 =b 2 +c 2 =3 椭圆 E的方程为 =1 离心率 e= = = （2）m，n之间满足数量关系 m=n+1下面给出证明： 当取 M ，N 时，k MB = ，k BP = ，k NB = ， 直线 MB，BP，NB的斜率依次成
18、等差数列，2 = + ，化为： m=n+1 当直线 MN的斜率不为 0时，设直线 MN的方程为：ty+1=xM（x 1 ，y 1 ） ，N（x 2 ， y 2 ） 联立 ，化为： （t 2 +3）y 2 +2ty2=0， y 1 +y 2 = ，y 1 y 2 = k MB = ，k BP = ，k NB = ， 直线 MB，BP，NB的斜率依次成等差数列， 2 = + ， 由于 + = = =2， =1，化为：m=n+1 20. （1） x a x h 1 2 ) ( 1 a 时 x x x h ln 2 ) ( x x h 1 2 ) ( 2 ln 4 ) 2 ( h 2 3 ) 2 (
19、h ) (x h 在 ) 2 ( , 2 ( g 处的切线方程为 0 2 2 2 2 3 ln y x 3分 （2） ) 0 ( 1 2 1 2 ) ( 2 x x ax ax x a ax x f 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 12 /13 0 1 2 0 ) ( 2 ax ax x f ， 所以 2 1 1 2 0 4 4 2 1 2 1 2 a x x x x a a ，所以 2 1 a 6分 （3）由 0 1 2 2 ax ax ，解得 a a a a x a a a a x 2 2 2 1 , ， 2 1 a ， 2 2 1 1 1 1 2
20、a x 而 ) (x f 在 ) , ( 2 x 上单调递增， ) (x f 在 2 , 2 2 1 上单调递增 7分 在 2 , 2 2 1 上， 2 ln 2 ) 2 ( ) ( max a f x f 8 分 所以，“存在 2 , 2 2 1 0 x ，使不等式 2 ln 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ln( ) ( 2 0 a a m a x f 恒成 立”等价于“不等式 2 ln 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ln( 2 ln 2 2 a a m a a 恒成立”， 即，不等式 0 1 2 ln ) 1 ln( 2 m a ma a 对任意的a（ 2 1 a ）恒成立 9
21、分 令 1 2 ln ) 1 ln( ) ( 2 m a ma a a g ，则 0 ) 1 ( g 1 2 2 1 2 1 1 ) ( 2 a a ma ma ma a a g 1 0 分 当 0 m 时， 0 1 2 2 ) ( 2 a a ma ma a g ， ) (a g 在 ) 2 , 1 ( 上递减 0 ) 1 ( ) ( g a g ，不合题意 当 0 m 时， 1 ) 2 1 1 ( 2 ) ( a m a ma a g 若 ) 2 1 1 ( 1 m ，记 ) 2 1 1 , 2 min( m t ，则 ) (a g 在 ) , 1 ( t 上递减 天津市立 思 辰网络教 育 有限公司 版权所有 ww w. mysc 13 /13 在此区间上有 0 ) 1 ( ) ( g a g ，不合题意 因此有 1 2 1 1 0 m m ，解得 4 1 m ， 所以，实数m的取值范围为 4 1 , ( 14分
