1、 1 课时跟 踪检测（十一） 函数与方程 一抓 基础 ，多 练小 题做 到眼疾 手快 1 若 函 数 f(x) ax 1 在区间( 1,1) 上 存 在 一 个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _ 解析： 由题 意知 ，f( 1) f(1)1. 答案：( ，1) (1 ， ) 2 函 数 f(x) 2alog2x a4 x 3 在 区 间 1 2 ，1 上 有 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _ 解析 ： 函 数f(x)在 1 2 ，1 上是 单 调函数 ， 又f 1 2 30 ， 则根 据零点 存在 性定 理 ， 应 满 足f(1) 4a31， m3
2、， 解得 10 的零 点个 数为_ 解析： 法一 ：由 f(x) 0 得 x0， x 2 x 20 或 x0， 1ln x 0 ， 解得 x 2 或 x e. 因此函 数f(x) 共有2 个 零 点 法二： 函 数f(x)的 图象 如 图所示 ，由 图象 知函 数 f(x)共有 2 个 零点 3 答案：2 3 (20 16 苏锡 常镇 调研) 设mN， 若 函 数f(x) 2x m 10xm10 存 在整 数零 点 ， 则m 的 取值 集合 为_ 解析 ： 令f(x) 0，得 m 2x10 10x 1 .因为m N，则 2x 10 0 或 2x 100 ， 10x Z 且2x10 能被 10
3、x1 整 除并且 商为 自然 数， 所以 有如下 几种 情况 ： 当 2x 10 0，即 x 5 时，m 0； 当 x1 时，m3 ； 当 x9 时，m14 ； 当 x10 时，m 30. 综上所 述，m 的 取值 集合 为0,3,14,30 答案：0,3,14,30 4 设 函数 y f(x)满足 f(x2) f(x)， 且 当 x 1,1时，f(x)|x| ， 则函 数g(x) f(x) sin x 在区 间 ， 上 的零 点个 数为_ 解析： 要求 函数g(x) f(x)sin x 的零 点， 即求 方程 f(x)sin x0 的根 ，将其 转 化为f(x) sin x 的 根， 进 一
4、步转 化为 函 数 yf(x) 与函 数ysin x 的 图象 交 点的问 题 在 同一坐 标系 下， 作出 两个 函数的 图象 如图 所示 ，可 知在区 间 ， 上有3 个交 点 答案：3 5 (201 5 南京 三模) 已知 a ，t 为正 实数， 函数f(x)x 2 2x a， 且对 任意 的 x0， t ，都 有f(x) a，a 若对 每一 个正 实 数 a ，记 t 的最 大值 为g(a) ，则 函数 g(a) 的值 域为_ 解析： 因 为f(x)(x1) 2 a1 ，且 f(0) f(2) a； 当 a 1 a，即 a 1 2 时， 此时， 恒有a1，a a，a，故 t (0,2
5、， 从 而 g(a) 2； 4 当 a10 ， g(x)f(x) 1 2 xb 有 且仅 有一 个零 点 时，b 的 取值 范 围是_ 解析： 要使 函数 g(x) f(x) x 2 b 有 且仅 有一 个零 点 ， 只需 要函 数f(x) 的 图象 与函 数 y x 2 b 的 图象 有且 仅有 一 个交点 ， 通过 在同 一坐 标 系中同 时画 出两 个函 数的 图象( 图略) 并 观察得 ，要 符合 题意 ，须 满足 b 1 或b 1 2 或 b0. 答案：( ，0 1 ，) 1 27 已 知 00 和 k1 或 k0， 即 34a0 ， 1 2a0 ，解得 1 2 2 ， 若关 于x
6、的 方程f(x) 2 af(x) 7a 16 0， aR 有且 仅 有 8 个 不同 的实数 根， 则实 数a 的取 值范围 是_ 解析： 作出函 数 f(x)的 图象( 如图)令 tf(x) ，则 关于 x 的方程f(x) 2 af(x) 7a 16 0(a R)有 且仅 有8 个不同 的 实数根 可转 化为 关于x 的方 程t f(x)在R 上有4 个 不同的 实数 根， 由函数 图象 可知 ，t 1， 3 4 时关 于 x 的方 程 tf(x) 在 R 上有 4 个 不同 的实 数根 ， 故 可转化 为求 关于 实 数t 的 方程t 2 at 7a 16 0 在t 1， 3 4 内 有两
7、个 不等 实根 ， 令 g(t) t 2 at 7a 16 ，则 0， 10， 即 a 2 7 4 a0， 3 2 0， 9 16 3 4 a 7 16 a0，解得 7 4 0. f(x)min f(1) 4a4，a 1. 故函 数f(x)的 解析 式为 f(x)x 2 2x 3. 8 (2)g(x) x 2 2x 3 x 4ln x x 3 x 4ln x 2(x0) ， g(x)1 3 x 2 4 x x x x 2 . 令 g(x) 0，得 x1 1 ，x2 3. 当 x 变 化时 ，g (x) ，g(x)的取 值变 化情 况如 下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3， ) g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 当 0x 3 时，g(x)g(1) 40. 又因 为g(x)在(3 ， ) 上单调 递增 ，因 而g(x) 在(3， ) 上只 有1 个零 点 故 g(x)在(0 ， ) 上仅 有1 个 零点
