1、 1 课时跟 踪检测（四十七） 圆的方程 一抓 基础 ，多 练小 题做 到眼疾 手快 1点 (1,2)与圆 x 2 y 2 5 的位置 关系 是_( 填 “ 点在 圆内 ”“ 点在 圆上 ”“点在 圆外”) 解析： 把点(1,2) 代 入圆 的 方程左 边等 于5 ，所 以点 在圆上 答案： 点在 圆上 2 已 知点A(4，5) ，B(6，1) ，则 以线 段 AB 为直径 的圆 的方 程是_ 解析： 因为 圆心 为线 段 AB 的中 点(1 ，3)， 半径 为 AB 2 1 2 2 1 2 29 ，所以 所求 圆的 方程 为(x 1) 2 (y 3) 2 29. 答案：(x1) 2 (y 3
2、) 2 29 3 圆(x2) 2 y 2 5 关于 原点P(0,0) 对 称的 圆的 方 程为_ 解析：(x，y)关 于原 点 P(0,0) 的 对称 点为(x ，y)， 则(x 2) 2 ( y) 2 5 ，即(x2) 2 y 2 5. 答案：(x2) 2 y 2 5 4 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0 的 圆心 到直 线x y1 的距 离为_ 解析： 已知 圆的 圆心 是(1 ，2) ，到 直 线xy1 的距离 是 |12 1| 1 2 1 2 2 2 2. 答案： 2 5 已 知圆C 与 直线yx 及xy4 0 都相 切， 圆 心在直 线 y x 上 ， 则 圆C 的方 程 为_
3、解析： 由题 意 知 x y0 和 xy4 0 之间 的距 离为 |4| 2 2 2，所以 r 2 ；又 因 为 yx 与 xy0 ，x y4 0 均垂 直， 所以 由 yx 和 xy0 联 立得交 点坐 标为 (0,0) ，由yx 和 xy 40 联 立得 交点 坐标 为(2，2)， 所以 圆心 坐标 为(1，1) ， 圆C 的 标准 方程 为(x 1) 2 (y1) 2 2. 答案：(x1) 2 (y 1) 2 2 二保 高考 ，全 练题 型做 到高考 达标 1 圆C：x 2 y 2 2 2x2 3y 10 的 面积 等于_ 解析： 圆C 化为 标准 方程 为(x 2) 2 (y 3) 2
4、 4 ， 知 半径r 4 2， 则 圆的 面 积S r 2 4 . 答案： 4 2 以点(2， 1) 为 圆心 且与 直线 3x4y5 0 相切 的 圆的方 程 为_ 2 解析： 圆心(2， 1) 到直 线3x 4y 50 的 距离d |6 4 5| 5 3， 圆 的半 径为3， 即圆的 方程 为(x 2) 2 (y 1) 2 9. 答案：(x2) 2 (y 1) 2 9 3 ( 2016 苏 州中 学检 测) 已知直 线l ：xmy 4 0 ， 若 曲 线x 2 y 2 2x6y 10 上 存在两 点P ，Q 关于 直线l 对称， 则m 的值 为_ 解析： 因为 曲 线 x 2 y 2 2x
5、6y 10 是圆(x1) 2 (y3) 2 9， 若圆(x1) 2 (y 3) 2 9 上存 在两 点P ，Q 关 于直 线l 对 称 ， 则直 线 l ：xmy 40 过 圆心(1,3) ， 所以 1 3m40 ，解 得m 1. 答案： 1 4 (201 6 济南 模拟) 已知 圆C1 ：(x 1) 2 (y 1) 2 1，圆 C2 与圆 C1 关 于直 线 x y1 0 对 称， 则圆C2 的方 程 为_ 解析： 设 圆 C1 的圆 心坐 标 C1(1,1) 关于 直线 x y 10 的对 称点 为(a ，b) ， 依题意 得 b1 a1 1 ， a1 2 b1 2 10 ， 解得 a2，
6、 b2 ，所 以 圆 C2 的方程为(x 2) 2 (y 2) 2 1. 答案：(x2) 2 (y 2) 2 1 5 若 圆(x 3) 2 (y 5) 2 r 2 上有 且只 有两 个点 到 直线 4x3y2 的距 离等 于 1， 则半 径r 的 取值 范围 是_ 解析： 易求 圆心(3，5) 到直线4x3y2 的 距离 为 5.令 r4 ，可 知圆 上只 有一点 到 已知直 线的 距离 为1；令 r 6， 可 知圆 上有 三点 到已 知直线 的距 离 为1， 所以 半 径 r 取 值范 围在(4,6) 之间 符合 题意 答案：(4,6) 6 在平 面直 角坐 标系xOy 中， 以 点(1,0
7、) 为 圆心 且与 直线 mx y 2m 1 0(m R)相切 的所有 圆中 ，半 径最 大的 圆的标 准方 程为_ 解析： 因为 直 线 mx y2m10 恒过 定点(2 ，1) ，所 以圆 心(1,0)到直线 mx y 2m 1 0 的 最大 距离为d 2 1 2 2 ， 所以 半径 最大 时的 半 径r 2 ， 所以半 径最 大的 圆的 标准 方程为(x1) 2 y 2 2. 答案：(x1) 2 y 2 2 7 直线 x2y2k0 与 2x3y k 0 的 交点 在圆 x 2 y 2 9 的外 部，则 k 的 取值范 围是_ 3 解析： 由 x2y 2k 0， 2x3y k 0 得 x4
8、k， y3k.(4k) 2 (3k) 2 9，即 25k 2 9 ， 解得k 3 5 或k 3 5 . 答案： ， 3 5 3 5 ， 8 设 P 是圆(x 3) 2 (y 1) 2 4 上的 动点 ，Q 是 直线 x 3 上 的动 点， 则|PQ| 的最 小值为_ 解析： 如图 所示 ，圆 心 M(3 ，1) 与 定直 线x 3 的最短 距离 为|MQ|3 ( 3) 6 ， 又圆的 半径 为2 ，故 所求 最短距 离 为 624. 答案：4 9 已 知以 点 P 为圆 心的 圆经过 点 A(1 ，0) 和 B(3,4)，线段 AB 的垂 直平 分线交 圆 P 于点C 和D ，且|CD| 4
9、10. (1)求 直线CD 的 方程 ； (2)求圆 P 的方 程 解：(1) 由 题意 知， 直 线 AB 的 斜率k1 ，中 点坐 标 为(1,2) 则直 线 CD 的 方 程为 y2 (x 1) ，即 xy3 0. (2)设 圆心P(a ，b) ，则 由 点P 在CD 上得ab 3 0. 又 直径|CD|4 10 ， |PA| 2 10， (a1) 2 b 2 40. 由 解得 a3 ， b6 或 a5， b2.圆心 P( 3,6) 或 P(5，2) 圆 P 的 方程 为(x 3) 2 (y 6) 2 40 或(x 5) 2 (y 2) 2 40. 10 (2 016 南 师附 中月 考
10、)已知 圆心 为 C 的圆 经过 点 A(1,1) 和 B(2 ，2)， 且圆 心 C 在直 线l：xy 1 0 上 (1)求圆 C 的方 程； (2)线段 PQ 的端 点 P 的坐 标是(5,0) ， 端点Q 在圆 C 上运动 ， 求 线段 PQ 的 中点M 的轨 迹 方程 4 解：(1)设点 D 为线 段 AB 的中点 ，直 线m 为线 段 AB 的垂直 平分 线， 则D 3 2 ， 1 2 . 又 kAB 3 ，所 以 km 1 3 ， 所以直 线m 的方 程 为 x3y30. 由 x3y 30， xy10 ， 得圆 心C(3 ，2)， 则半 径rCA 3 2 2 2 5 ， 所以 圆C
11、 的 方程 为(x 3) 2 (y2) 2 25. (2)设点 M(x，y)，Q(x0 ，y0) 因为 点P 的 坐标 为(5,0) ， 所以 x x0 5 2 ， y y0 0 2 ， 即 x0 2x 5 ， y0 2y.又点Q(x0 ，y0)在圆 C ：(x 3) 2 (y 2) 2 25 上运 动， 所以(x0 3) 2 (y0 2) 2 25 ， 即(2x 53) 2 (2y 2) 2 25， 整理得(x1) 2 (y 1) 2 25 4 . 即所求 线 段PQ 的中 点 M 的 轨迹方 程为(x 1) 2 (y 1) 2 25 4 . 三上 台阶 ，自 主选 做志 在冲刺 名校 1
12、已知平面区域 x0， y0 ， x2y 4 0 恰好被面 积最小的圆 C：(x a) 2 (yb) 2 r 2 及 其内部 所覆 盖， 则 圆C 的 方程为_ 解析：由 题意知 ，此平 面 区域表示 的是 以 O(0,0) ，P(4,0) ，Q(0,2) 所 构成的 三角形 及 其内部 ，所 以覆 盖它 的且 面积最 小的 圆是 其外 接圆 OPQ 为 直角 三角 形 ， 圆心 为斜 边 PQ 的 中点(2,1) ， 半径r |PQ| 2 5， 因此 圆C 的 方程 为(x 2) 2 (y1) 2 5. 答案：(x2) 2 (y 1) 2 5 2 (20 16 南通 中学 检测) 如果圆 的方
13、 程为 x 2 y 2 kx 2y k 2 0， 那么 当圆 的面积 最 5 大时， 圆心 坐标 为_ 解析 ： r 1 2 k 2 4 4k 2 1 2 43k 2 ， 当 k 0 时，r 最大 ， 此时 圆的 面 积最大 ， 圆 的方程 可化 为x 2 y 2 2y 0，即 x 2 (y 1) 2 1， 圆心坐 标为(0，1) 答案：(0，1) 3 已 知点 P(2,2)，圆 C：x 2 y 2 8y 0， 过点P 的 动直 线l 与圆 C 交于 A，B 两点， 线 段AB 的中 点为M，O 为坐 标原点 (1)求M 的 轨迹 方程 ； (2)当|OP| |OM| 时 ，求 直 线l 的
14、方程 及 POM 的面 积 解：(1) 圆C 的 方程 可化 为 x 2 (y4) 2 16， 所以圆 心 为C(0,4) ，半 径 为4. 设 M(x ，y) ，则CM (x ，y 4)，MP (2 x,2 y) ， 由题设 知CM MP 0 ， 故 x(2 x) (y 4)(2 y)0，即(x 1) 2 (y3) 2 2. 由于 点P 在圆 C 的内 部， 所以M 的轨 迹方 程是(x1) 2 (y 3) 2 2. (2)由(1)可知 M 的轨 迹是 以点 N(1,3) 为圆 心， 2 为半 径的圆 由 于|OP| |OM| ，故 O 在线 段PM 的垂 直平 分线 上 ，又 P 在圆 N 上 ，从 而 ONPM. 因为 ON 的 斜率 为 3 ， 所以直 线l 的斜 率为 1 3 ， 所以直 线l 的方 程 为 y 1 3 x 8 3 . 又|OM| |OP|2 2，点 O 到 l 的 距离 为 4 10 5 ，|PM| 4 10 5 ， 所以 POM 的面 积为 16 5 .
