1、数学的特点1.甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉道数学的这些特征:第一它的抽象性,第二是精确性,或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性,最后是它的应用的极端广泛。简单的计算中表现出来。我们运用抽象的数字,却并不打算每次都把他们同具体的对象联系起来。我们在学校中学抽象的乘法表总是数字的数字表,而不是男孩的数目乘上苹果的数目,或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。同样地在几何中研究的,例如,是直线,而不是拉紧绳子,并且在几何线的概念中舍弃了所有性质,只留下在一定方向上的伸长,总之,关于几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果。全部数学都具有这种抽象的特征。关于
2、整数的概念和关于几何图形的概念这只是一些最原始的数学概念。之后才是其他许多达到象复数、函数、积分、微分、泛函、n 维甚至无限维空间等等这种抽象程度的概念,这些概念的抽象化好像是一个高于一个;一直高到这种的抽象程度,以致看上去已经失去了同生活的一切的联系,以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以外什么也不能理解。事实上情形当然不是这样,虽说 n 维空间的概念的确非常抽象,但它却有完全现实的内容,要了解这内容并不那么困难。在本文中将要特别强调和解释上列举的那些抽象概念的现实意义,并且使读者相信这些概念全部都是即从它们自身的起源方面也从实际应用方面同生活联系着的。不过,抽象并不是数学独有的属性,它是任
3、何一门科学乃至今全全部人类思维都具有的特性。因此,单是数学概念的抽象性还不能说尽数学的特点。数学在它的抽象方面的特点还在于:第一,在数学的抽象中首先保留的关系和空间形式而舍弃了其他一切。第二,数学的抽象是经过一系列阶段而产生的;它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。我们将以数学的基本概念:数与形为例来详细理解这两点。最后这也是惹人注意的数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的互相关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验,那数学家证明定理只需用推理和计算。当然,数学家为了发现自己的定理和方法也常常利用模型,物理的类比,注意许多单个的十分具体的实例等等。所有这些都是
4、理论的现实来源,有助于理论的定理,但是每个定理最终地在数学中成立只有当它已从逻辑的推论上严格地被证明了的时候。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时,只限于在模型上把它表示出来,那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了。对于证明一个定理的要求从中学的几何课程中就可以很好地了解到了,这种要求贯穿在全部数学中,我们可以极精确地测量成千上万的等腰三角形的底角,但并不能给我们以关于等腰三角形两底角相等的定理的数学证明,数学要求从几何的基本概念推导出这个结果(现在在几何的严格叙述中基本概念的性质是精确地表述在公理中) ,并且总是这样的:证明一个定理对于数学家来说就是要从这个定理引用的那些概念固
5、有的原始性质出发,用推理的方法导出这个定理。这样看来,不仅数学的概念是抽象的、思辨的,而且数学的方法也是抽象的、思辨的。数学结论本身的特点具有很大的逻辑严格性。数学推理的进行具有这样的精密性,这种推理对于每个只要懂得它的人来说,都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种精密性和确定性人们从中等学校课程就已很好懂得了。数学真理本身也是完全不容争辩的。难怪人们常说:“像二乘二等于四那样的证明” 。这里,数学关系式 2*2=4 是正是取作不可反驳、无可争辩的范例。但是数学的严格性不是绝对的,它在发展着;数学原则不是一劳永逸地僵立不动了,而是变化着的并且也可能成为甚至已经成为科学争论的对象。归根到底,数
6、学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象,但却如我们所坚信的那样,它们是从现实来的,并且在其他科学中,在技术中,在全部生活实践中都有广泛的应用;这一点,对于了解数学是最主要的。数学应用的非常广泛也是它的特点之一。第一,我们经常地、几乎每时每刻地在生产中、在日常生活中、在社会生活中运用最普通的数学概念和结论,甚至并不意识到这一点。例如,我们计算日子或开支时就应用了算术,而计算住宅的面积就运用几何学的结论。当然,这些结论都是十分简单的,不过,记起这一点是有益的:在古代某个时候,这些结论曾经是当时正在萌芽中数学的一些很高的成就。第二,如果没有数学,全部现代技术都是不可能。离开或多或少复杂的计算
7、,也许任何一点技术的改进都不能有;在新的技术部门的发展上数学起着十分重要的作用。最后,几乎所有科学部门都多多少少很实质地利用着数,“精确科学”力学、天文学、物理学、以及在很大程度上的化学通常都是以一些公式来表示自己的定律(这是每个从中学毕业的人都早已懂得的) ,都在发展自己的理论是广泛地运用了数学工具。没有数学这些科学的进步简直是不可能的。因此,力学、天文学和物理学对数学的需要恰好也是在数学的发展上起了直接的、决定性的作用。在其他科学中数学起着较小的作用。但是就是在这些领域中,他也是重要的应用。当然,在研究像生物现象和社会现象那样复杂度现象时,数学方法本质不能起像在物理学中所能起那样的作用。数
8、学的应用总是只有于具体现象的深刻理论相结合才有意义,在这些现象的研究中尤其如此。记住这一点是很重要的,这样才不致迷惑于毫无实在内容的公式游戏。但是无论如何,数学几乎在所有科学中,从力学到政治经济学,都有着这样的应用。我们已经足够强调了数学在日常生活实践中,在科学中都有最广泛的应用,并且只从数学本身内部生长起来的理论在精确科学和许多技术问题中也有其运用。除了数学的抽象性、严格性和它的结论的确定性以外,数学另一个特征便是如此。2.注意了所有这些数学的特点,我们当然没有阐明数学的本质,毋宁说只是指出了数学的外表特征。问题在于要理解这些特点,为此至少应该回答下列问题:抽象的数学概念反映什么东西?换句话
9、说,数学的现实的现实是怎样的?为什么抽象的数学结论如此令人确信无疑,而原始的概念又如此显然?换句话说,数学方法的基础是什么?为什么数学尽管如此抽象,却有最广泛的应用,而不是空洞的抽象把戏?换句话说,数学的意义从何而来?最后,什么样的力量推动数学发展,使它把抽象性和应用广泛统一起来?换句话说,数学发展过程的内容是什么?回答了这些问题,我们就可以可以得到关于数学的对象,关于他的方法的根据,关于它的意义和发展的一般概念,也就是说抓住了它的本质。唯心主义者和形而上学者们不但在解决这些问题方面陷于混乱,而且简直是把数学翻转过来完全加以歪曲。例如,看到数学结论的高度抽象性和明确性,唯心主义者们就想象说,数学是从纯粹思维中产生的。事实上数学没有给唯心主义和行而学以任何根据;恰好相反,客观地考察一下全部数学的关系和发展,它正可以给辩证唯物主义提供又一个光辉明证,并且每一步都反玻璃唯心主义和形而上学。我们只要试图从最一般的特点上回答前面所提出的关于数学本质问题,就会相信一点的。我们相信这些问题的答案已经包含在马克思主义经典作家所建立的关于数学以及关于科学和认识一般的本质原理了。