1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页泽库县高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x）= 被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f（x）有如下四个命题：f （f（x）=1；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对任意的 x=R 恒成立；存在三个点A（x 1，f（x 1），B（x 2， f（x 2），C （x 3，f （x 3），使得 ABC 为等边三角形其中真命题的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4
2、 个2 已知函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数 y=f（x）的图象大致是（ ）A B C D3 已知 ， ，其中 是虚数单位，则 的虚部为（ ）iz31iz2i21zA B C D54i54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.4 在复平面内，复数 所对应的点为 ， 是虚数单位，则 （ ）1zi(2,1)izA B C D 3i333i5 设 为双曲线 的右焦点，若 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到F2(0,)xyabOF另一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为（ ）1|
3、OFA B C D32232【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页6 已知 x，y 满足约束条件 ，使 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为（ ）A3 B3 C 1 D17 已知命题 p：对任意 xR，总有 3x0；命题 q：“x2”是“ x4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq C pq Dp q8 已知双曲线 的渐近线与圆 x2+（y2） 2=1 相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A（ ，+） B（1， ） C（2+） D（1，2）9 若 a=ln
4、2，b=5 ，c= xdx，则 a，b，c 的大小关系（ ）AabcB Bba cC Cbc a Dcba10在 中， ， ， ，则等于（ ）330BA B C 或 D23123211过直线 3x2y+3=0 与 x+y4=0 的交点，与直线 2x+y1=0 平行的直线方程为（ ）A2x+y 5=0 B2x y+1=0 Cx+2y 7=0 Dx2y+5=012已知集合 M=x|x|2，x R，N= 1，0，2，3 ，则 MN=（ ）A 1，0，2 B1，0 ，1，2 C1，0，2，3 D0 ，1，2，3二、填空题13 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，点 在双曲线上，满足 ，1F22x
5、yabaP120PF若 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ，则该双曲线的离心率为_.12P312【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力14已知 i 是虚数单位，复数 的模为 15在 中， ， ， 为 的中点， ，则 的长为_.ABC902BCM1sin3BAMC精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页16设函数 f（x）= ，若 a=1，则 f（x）的最小值为 ；若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 17设向量 =（1，3）， =（2，4）， =（ 1，2），若表示向量 4 ，4 2 ，2（ ），
6、的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 的坐标是 18在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1）和点 B（3，4），若点 C 在AOB 的平分线上且| |=2，则= 三、解答题19（本小题满分 12 分）若二次函数 满足 ,20fxabc+12fxfx且 .01f（1）求 的解析式；x（2）若在区间 上，不等式 恒成立，求实数 的取值范围,2fxm20在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）直线 l 的极坐标方程是 （sin + ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C 的交点为 O，P，与直线
7、l的交点为 Q，求线段 PQ 的长精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页21设 f（x）=x 2ax+2当 x，使得关于 x 的方程 f（x）tf（2a）=0 有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围22已知函数 （a0）是奇函数，并且函数 f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数 a，b 的值；（2）求函数 f（x）的值域精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页23如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D、E 分别是 AC、AB 上的点，且 DEBC，将ADE 沿 DE 折起到 A 1DE 的位置，使 A1DCD，如图 2（）求证：平面 A1BC平面 A1DC；
8、（）若 CD=2，求 BD 与平面 A1BC 所成角的正弦值；（）当 D 点在何处时，A 1B 的长度最小，并求出最小值24若数列a n的前 n 项和为 Sn，点（a n，S n）在 y= x 的图象上（nN *），（）求数列a n的通项公式；（）若 c1=0，且对任意正整数 n 都有 ，求证：对任意正整数 n2，总有精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页泽库县高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】 D【解析】解：当 x 为有理数时，f（x）=1；当 x 为无理数时，f （x）=0当 x 为有理数时
9、，f（f（x）=f（1）=1；当 x 为无理数时，f（f（x）=f（0）=1即不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f （x）=1，故 正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x），故 正确； 若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对 xR 恒成立，故 正确； 取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 f（x 1）=0，f（x 2）=1，f（x 3）=0A（ ，0）， B（0，1）， C（ ，0），恰好ABC 为等边三角形，故
10、正确故选：D【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题2 【答案】B【解析】解：函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则由于指数函数是单调函数，则有 a1，由底数大于 1 指数函数的图象上升，且在 x 轴上面，可知 B 正确故选 B3 【答案】B【解析】由复数的除法运算法则得， ，所以 的虚部为 .iiiiz 5431086)3(1321 21z544 【答案】D 【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算， ， ，选 D2zi()3zii5 【答案】B精选高中模拟
11、试卷第 8 页，共 18 页【解析】6 【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=ax+y，得 y=ax+z，若 a=0，此时 y=z，此时函数 y=z 只在 B 处取得最小值，不满足条件若 a0，则目标函数的斜率 k=a0平移直线 y=ax+z，由图象可知当直线 y=ax+z 和直线 x+y=1 平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时a=1，即 a=1若 a0，则目标函数的斜率 k=a0平移直线 y=ax+z，由图象可知当直线 y=ax+z，此时目标函数只在 C 处取得最小值，不满足条件综上 a=1故选：D精选高中模拟试卷第 9 页，共 18
12、页【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用 z 的几何意义是解决本题的关键注意要对 a 进行分类讨论7 【答案】D【解析】解：p：根据指数函数的性质可知，对任意 xR，总有 3x0 成立，即 p 为真命题，q：“ x 2”是“x4”的必要不充分条件，即 q 为假命题，则 pq 为真命题，故选：D【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定 p，q 的真假是解决本题的关键，比较基础8 【答案】C【解析】解：双曲线渐近线为 bxay=0，与圆 x2+（y2 ） 2=1 相交圆心到渐近线的距离小于半径，即 13a 2b 2，c 2=a2+b24a 2，e
13、= 2故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结合的思想的运用9 【答案】C【解析】解： a=ln2lne 即 ，b=5 = ，c= xdx= ，a，b，c 的大小关系为：bc a故选：C【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题10【答案】C【解析】精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页考点：余弦定理11【答案】A【解析】解：联立 ，得 x=1，y=3，交点为（1，3），过直线 3x2y+3=0 与 x+y4=0 的交点，与直线 2x+y1=0 平行的直线方程为：2x+y+c=0，把点（1，3）代入
14、，得：2+3+c=0，解得 c=5，直线方程是：2x+y 5=0，故选：A12【答案】A【解析】解：由 M 中不等式解得：2x 2，即 M=2，2，N=1，0，2 ，3 ，M N=1，0，2，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键二、填空题13【答案】 31【解析】精选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页14【答案】 【解析】解：复数 = =i1 的模为 = 故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题15【答案】 2【解析】精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页考点：1、正弦定理及勾股定理；2 诱导公式及直角三角形的性质.【方
15、法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.16【答案】 a1 或 a2 【解析】解：当 a=1 时， f（x）= ，当 x1 时，f（x）=2 x1 为增函数，f （x） 1，当 x1 时，f（x）=4（x 1）（x2）=4（x 23x+2）=4（x
16、 ） 21，当 1x 时，函数单调递减，当 x 时，函数单调递增，故当 x= 时，f（x） min=f（ ）=1，设 h（x）=2 xa，g（x）=4（xa）（x 2a）若在 x1 时，h（x）=与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x=1 时，h（1）=2a0，所以 0a 2，而函数 g（x）=4（x a）（x 2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 a1，若函数 h（x）=2 xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点，精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页则函数 g（x）=4（x a）（x 2a）有两个交点，当 a0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题
17、意（舍去），当 h（1）=2 a0 时，即 a2 时，g（x）的两个交点满足 x1=a，x 2=2a，都是满足题意的，综上所述 a 的取值范围是 a1，或 a217【答案】 （2， 6） 【解析】解：向量 4 ，4 2 ，2（ ）， 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 =4 +4 2 +2（ ）=（6 +4 4 ）= 6（1 ， 3）+4（2，4）4（ 1，2）=（2，6）=（2， 6），故答案为：（2， 6）【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题18【答案】 （ ， ） 【解析】解： ， ，设 OC 与 AB 交于 D（x，y）点则：AD：
18、BD=1 ：5即 D 分有向线段 AB 所成的比为则解得：精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页又| |=2 =（ ， ）故答案为：（ ， ）【点评】如果已知，有向线段 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）及点 C 分线段 AB 所成的比，求分点 C 的坐标，可将 A，B 两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式 进行求解三、解答题19【答案】（1） ；（2） =+1fx1m【解析】试题分析：（1）根据二次函数 满足 ，利用多项式相等，即0faxbc+12fxfx可求解 的值，得到函数的解析式；（2）由 恒成立，转化为 ，设,ab,m31，只需 ，即可而求解实数 的取值范围g31xm
19、ing试题解析：（1） 满足20fxabc1,fc，解得 ,2,1f xabx,1ab故 .2=+1x考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.20【答案】 【解析】解：（I）圆 C 的参数方程 （ 为参数）消去参数可得：（x 1） 2+y2=1把 x=cos，y=sin 代入
20、化简得：=2cos ，即为此圆的极坐标方程精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页（II）如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 （sin + ）=3 ，射线 OM： = 可得普通方程：直线 l ，射线 OM 联立 ，解得 ，即 Q 联立 ，解得 或 P |PQ|= =2【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题21【答案】【解析】设 f（x）=x 2ax+2当 x，则 t= ，对称轴 m= （0， ，且开口向下； 时，t 取得最小值 ，此时 x=9税率 t 的最小值为 【点评】此题是个指数函数的综合题，但在
21、求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页最值的知识考查的知识全面而到位！22【答案】【解析】解：（1）函数 是奇函数，则 f（x）=f （x） ，a0，x+b=xb， b=0（3 分）又函数 f（x）的图象经过点（ 1，3），f（1）=3 ， ，b=0，a=2（6 分）（2）由（1）知 （7 分）当 x0 时， ，当且仅当 ，即 时取等号（10 分）当 x0 时， ，当且仅当 ，即 时取等号（13 分）综上可知函数 f（x）的值域为 （12 分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键23【答案】【解
22、析】【分析】（）在图 1 中，ABC 中，由已知可得：ACDE在图 2 中，DEA 1D，DEDC，即可证明DE平面 A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明（）如图建立空间直角坐标系，设平面 A1BC 的法向量为 ，利用 ，BE 与平面所成角的正弦值为 （）设 CD=x（0x6），则 A1D=6x，利用 =（0x6），即可得出【解答】（）证明：在图 1 中，ABC 中，DE BC ，ACBC ，则 ACDE ，精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页在图 2 中，DEA 1D，DEDC，又A 1DDC=D，DE平面 A1DC，DEBC，BC平面 A1DC，BC 平面 A1BC，平面 A1
23、BC平面 A1DC（）解：如图建立空间直角坐标系：A 1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（2，0，0）则 ， ，设平面 A1BC 的法向量为则 ，解得 ，即则 BE 与平面所成角的正弦值为（）解：设 CD=x（0x6），则 A1D=6x，在（2）的坐标系下有：A 1（0，0，6x），B（3，x，0）， = = （0x6），即当 x=3 时，A 1B 长度达到最小值，最小值为 24【答案】 【解析】（I）解：点（a n，S n）在 y= x 的图象上（nN *）， ，当 n2 时， ， ，化为 ，精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页当 n=1 时， ，解得 a1= = = （2）证明：对任意正整数 n 都有 =2n+1，c n=（c ncn1）+ （c n1cn2）+（c 2c1）+c 1=（2n1 ）+（2n3）+ +3= =（n+1 ）（n 1）当 n2 时， = = = + = = ，又 = 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前 n 项和公式、“累加求和” 、“裂项求和” 、对数的运算性质、“放缩法” 、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
