1、第六章 散射理论 6-1 一般描述,一、引言：散射（又称碰撞),讨论的是微观粒子之间的散射过程。,散射实验是研究微观粒子运动规律，粒子之间相互作用以及粒子内部结构的重要手段。,例如：卢瑟福通过粒子在原子上的弹性散射实验证实了原子的有核结构；近代高能电子在核子上的非弹性散射实验证实了基本粒子的有心结构，即基本粒子由更小的粒子夸克组成。目前，世界各地建造的各种高能粒子加速器，包括北京正负电子对撞机，都是为散射实验设计的。,在散射实验中，具有一定动量（能量）的粒子，沿确定的方向射向靶粒子，由于受到靶子的作用而发生偏转，然后射出。,实验上就是对出射粒子的角分布、能量等进行观测。,入射粒子与靶子的相互作
2、用只在空间一个小区域中才较显著。入射粒子束的制备与出射粒子的探测均在此作用力程之外。因此，入射粒子（初态）及出射粒子（末态）均处在自由粒子状态。,实际上散射过程是由于空间小区域中的相互作用而导致的粒子从一个自由态到另一个自由态的跃迁，散射的重要任务之一就在于把角分布等观测量与相互作用及粒子的内部结构联系起来。,前面讲的势垒贯穿问题是一维散射问题，现讨论三维空间中的散射问题。弹性碰撞和非弹性碰撞：如在碰撞过程中，两粒子间只有动能的交换而粒子内部状态并无改变则称这种碰撞为弹性碰撞（或弹性散射），否则称为非弹性碰撞。我们在下面只讨论前者。,另外，碰撞问题是一个两体问题，为计算方便，通常在理论计算中，
3、与经典力学类似化两体问题为单体问题。（两粒子的碰撞归结为一粒子受一力场的散射！）即理论计算在质心系中，而实际观测在实验室坐标系中。两种坐标系之间的关系见6.5节。,二、散射截面,考虑一粒子流，沿着z轴向粒子A射来，A称为散射中心。设粒子A的质量比入射粒子的质量大得多，则由于碰撞而引起的A的位移可忽略，入射粒子受到A的作用而偏离原来的运动方向，发生散射，粒子被散射后的运动与入射方向之间的夹角为。 为散射角。,入射粒子流强度N：单位时间内穿过垂直于粒子前进方向上单位面积的粒子数。 则单位时间内散射到（，）方向上立体角d内的粒子数dn应与N， d分别成正比即：,写成等式：,比例系数,当强度N固定时，
4、单位时间内散射到 方向上的粒子数dn由比例系数 决定。一般说来， 应与入射粒子、散射中心的性质以及它们之间的相互作用和相对动能有关。,由(1)式得：,它表示：单位时间内一个入射粒子受A的作用被散射到 方向上单位立体角内的几率，通过量纲分析可知， 具有面积的量纲，故称之为微分散射截面。,将 对所有可能的方向积分，得到总散射截面,表示一个入射粒子被散射的几率（不论哪个方向）。,特别对于中心力场的散射，由于势场相对于z轴对称， 应与 无关，则：,（在质心系中）取散射中心为坐标原点，用 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势，体系的波函数 满足薛定谔方程：,由于观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的
5、地方，所有只讨论 时 的行为就够了。,一部分是描写入射粒子的平面波：,假设 ，即粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用 。（只有在r很小的范围内入射粒子受到靶粒子即势场的作用出现散射波），这样在 的地方， 应由两部分组成：,另一部分是描写散射粒子的球面波：,为散射振幅。为沿 方向传播出去的散射波的振幅,这个波是由散射中心向外传播的，所以,由于我们仅考虑弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢 的数值不变（由于势场的散射，使粒子只改变了原来的运动方向。,即在单位体积内找到粒子的几率为1，这表明每单位体积内只有一个入射粒子，入射波（只沿z轴）的几率流密度为：,这也就是入射粒子流密度，即(1)中的
6、N，若单位面积内有m个入射粒子，则入射粒子几率流密度为mv，而这时散射的几率流密度为：,它表示单位时间内穿过半径为r的球面上单位面积上的粒子数。,所以穿过球面上ds面的粒子数为：,由于N=v，将(8)式与(1)式比较得,这样求散射截面 的问题就归结为求散射振幅 的问题了，而 的具体形式要通过在条件(6)下解薛定谔方程(5)得出：,6.2 分波法,在中心力场情况下，由于,与、无关，,则描写中心力场中散射问题的薛定谔方程为：,所满足的边界条件为：,取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称轴，波函数和散射振幅f()都与无关。,由原来对中心力场的讨论得式的一般解为
7、：,因为(r)与无关，所以m=0，则上式变为：,把 代入式，左乘 并对角度部分 积分，注意到 是 的本征函数（本征值为 ）和 的正交归一性，得到径向函数满足的下列径向方程：,由假设，,式变为：,则有：,其解为：,为方便，令,将式代入式，再代入式得式在 的渐近解为：,将这渐近解与 在 时应满足的边条件式比较，以便求出 .,为便于比较，需将平面波 按球面波展开,其中 为球Bessel函数,其渐近式为：,所以平面波 在 时的渐近行为是：,将式代入式，并令式与式相等：,整理后得：,将上式中的正弦函数化为指数函数,利用勒让德多项式的正交性：,即：,将(19)式代入(17)式中，并利用,可得：,中心力场中
8、散射振幅普遍公式,由(14)式和(11)式可知：,由此可见，求散射振幅 的问题归结为求 。,是入射波第 个分波的位相,是散射波第 个分波的位相,的具体数值只有通过求解方程(4)才能得到。,由(20)式可得微分散射截面：,总散射截面为：,其中,即：总散射截面等于各分波散射截面之和。,是第 个分波的散射截面。,(21)、(22)两式就是微分散射截面及总散射截面通过各分波的相移来描述的一般公式，这样计算散射截面的问题就归结为求各分波的相移的问题。,由(20)式，并利用,所以 f(0) 的虚部是,所以(22)式可写成：,称为光学原理,总之，分波法是说入射平面波,每一个分波，在中心力场V(r)的影响下各
9、自产生一个相移 ,波函数可表示为：,最后归结为根据边界条件,解 所满足的径向方程(4)，可求出 ，代入有关公式，可求得散射截面。,讨论：,1. 的物理意义:,如果不存在相互作用，入射波不被扰动， 该平面波满足,入射波经过散射后第 个分波的位相移动相移,2. 的符号与相互作用势符号的关系:,当存在相互作用时，势场对入射波产生影响，被扰动的波满足方程,比较这两个方程，势场范围内（小区域），波长从 变到，在势场力程之外（r较大时）波长不变，于是对于引力势 ，所以在力程内波长变短，位相超前，即,同样对于斥力势，因为 ，所以在力程内波长增加，位相落后即： 。,3.分波法的适用范围,由于,原则上讲，分波法
10、具有普遍性。如果上式中的级数收敛得很快，则只须计算前面几个分波的相移就可以得到比较精确的结果，反之分波法就变得不那么方便了。,具体处理散射问题时要准确计算多少个分波就足够精确了呢？一般来说，l愈大的分波所描述的粒子距中心的平均距离就愈大，因而受中心力场的影响就愈小，即 愈小。,下面用半经典图像大致估计一下具体问题中需要计算多少个分波的相移:,如图，设相互作用力程为a，即只有当相互作用距离ra时作用力较显著，设入射粒子的速度为v,瞄准距离为，则角动量 ，,又,只有 的那些分波才受到势场的作用，（产生明显的相移）。,的那些分波几乎不会被散射。因而从l=0起算到l=ka就可以了。,这是很低能情况下散
11、射截面的共同特征， 总之，分波法适用于低能散射情况。,为s散射的截面,说明：在只考虑s分波时，角分布是球对称的，或者说是各向同性的。,又因为 ，所以能量越低（k愈小）需要计算的分波就越少。假若能量很低，低到ka1,即l1, 则此时只需计算s 分波就可以，这时,6-3方形势阱与势垒所产生的散射,作为应用分波法的一个例子，我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子的能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多，原子和中子的低能散射可以近似的归结为这种情况。以a表示方形势阱的范围，于是粒子的势能可写为：,在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积，它与经典情况不同。在经典情况下，总散射截
12、面就是作为散射中心的硬球的最大面积，即为a2，所以量子力学中计算得到的截面是经典值的四倍。,4 玻恩近似,分波法在低能散射的情况下适用，但如入射粒子的动能较大时，应用起来很不方便。如果入射粒子的动能比粒子与散射中心相互作用的势能大得多，以至于势能U(r)可以看作是微扰时，可用玻恩近似法来计算散射截面。,体系的哈密顿可写为：,其中 是自由粒子的哈密顿，,取箱归一化的动量本征函数 作为H0的本征函数。这种归一化描写在体积L3内有一个粒子，微扰使粒子从动量为 的初态，跃迁到动量为 的末态，根据能量守恒,入射粒子流强度为vL-3，（每单位体积只有一个入射粒子时，入射粒子流强度为v.）其中,即单位时间内
13、散射到立体角d内的粒子数为：,另一方面，由（5.7节，跃迁几率）,动量大小为 ，方向在立体角d内的末态的态密度是：,将此式代入黄金规则：,可得出单位时间内散射到立体角d内的粒子数为：,比较(1)、(2)两式，且,上式中绝对值符号之内保留负号是因为用其他方法算出的散射振幅f()有一负号。,其中为散射角， 为散射引起的动量的变化,（3）式中积分部分，可以简化为：,积分时，选K方向为z轴方向，=,若势能U(r)已知，由左式可求得微分散射截面。,讨论：,1、适用条件,如果势能可以近似地表示为球形对称的方势垒或势阱：,可得出玻恩近似适用的条件。,由6.2节讨论，如果散射波的相移很小，特别是s分波的相移很小，就说明势场对散射的影响很小，因而可把势场看作微扰。所以分析s分波的相移就可以得出玻恩近似成立的条件。,由6.3节，,如果粒子能量很高，,左边余切的宗量可写为：,所以 很小时，相移 就很小，于是玻恩近似有效的条件是：,其中v为入射粒子的经典速度,即：玻恩近似适用于粒子的高能散射。,2、在势阱情况下 ， 玻恩近似对低能散射也可能有效。,对(4)式，低能ka1, E|U0|时，,ka1,可忽略，移项得,其中,只要 不是很接近 ，则 就很小，于是玻恩近似就可以应用,例：用玻恩近似法求在势能为 场中散射时的微分散射截面。,解：,
