1、1,第二章 波函数与Schrdinger方程,2.1 波函数的统计解释1、对微观粒子波粒二象性的理解我们知道：粒子-定域性 ， 波动-广延性,电子的衍射图样,2,不能认为一个粒子就是经典概念下的波,历史上曾经把粒子用波包来等价，比如一 自由粒子的平面波包（由一定范围动量，即 不同的 构成，因为 ）。以波包中心 表示粒子的位置，波包的大小表示粒子的大 小。群速度表示粒子的速度。则,3,即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。,但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小1,4,结论：微观粒子既是粒子又是波。,也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性 分布的概念，但具
2、有波动的相干叠加性。,两者统一于 Born 的几率波概念中。,不能认为波是由一群粒子组成。否则必 然导致波动是由粒子间的相互作用产生的,但它不是经典粒子：不能用( )确定粒子状态，没有经典轨道概念；,5,2、几率波 多粒子系的波函数(1)几率波分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发射电子流强度无关。多个电子一次行为与一个电子的多次行为结果相同。多个电子的一次行为,干涉图样,明条纹,暗条纹,“粒子”观点,到达电子多,少,“波动”观点,波强度大,小,子弹过双缝无此现象,6,结论：到达屏某处电子数正比于波强度。若总发射电子数为M，到达某处的电子数为N，则到达某处的电子几率为N/ M,单个电子的多次
3、行为,结论：这种波是一种几率波,“波动”观点,波强度大,小,“粒子”观点,发现电子几率大,小,干涉图样,明条纹,暗条纹,7,一般情况下称 为几率振幅，它描述微观粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态（ ）的描述。由此得到,微观粒子的状态用波函数 完全描述。,波函数的统计解释：,若衍射振幅用 表示，与在光学中类似， 波的强度可用 表示。,量子力学的基本原理之一：,波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波。,8,不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。,而t 时刻在 端点附近dV 内发现粒子的概率为:,t 时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的几率。,几率密
4、度用 表示，,其物理涵义是(见下图）：,9,这就是波函数的统计解释。显然几率是归 一的，即,与经典波不同，对空间中的各点， 描述同一个状态,考虑的几率是相对几率。比如对空间中任意两点 的相对几率为,几率的相对性,10,经典波系数相差c，强度相差 |c|2。经典波一般 描述绝对强度，因此谈不上归一化。,即使归一化，波函数仍具有 的相位不稳 定性，因为,显然,若,还是原来的 波函数吗？,11,（2）多粒子系的波函数,在 t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为,而,12,一般定义内积,13,3、动量的几率分布,如测量其它力学量，几率分布如何？,但一般情况下， 含有各种波长的分波，为 一波包。因而相应动
5、量有一分布。,实际上是位置的几率分布。,14,可以设想 同样给出 的几率分布。 那么 与 有何联系？,答案： 是 的平面波展开，即 Fourier 变换:,其逆变换为：,代表 中含有平面波 的成分,15,设电子垂直入射到单晶表面，入射波是一 具有一定波长 的平面波。衍射沿一定 角出射，且满足Bragg公式：,以电子的晶体衍射为例。,16,若入射波为一波包，则每一Fourier分波将 按一定角度出射，得到一波谱。在足够远 处，将在空间分开。,在衍射过程中， 未变，因此衍射波谱反映 了衍射前粒子动量的几率分布。,对于一个粒子，在 方向被测到的几率,设沿 出射的波幅为,因为沿 方向衍射波强度,17,
6、容易验证：,即 也满足归一化条件。,即粒子动量在 范围内的几率为,18,在前面的推导中，我们利用了函数的性质,同理,这样,同理可推知三维坐标矢量的函数的形式,作业：,P23 Ex. 2, 3,5,19,4、测不准关系,Werner Karl Heisenberg德国人（1901-1976） 创立量子力学，获得1932年诺贝尔物理学奖,Heisenberg将其形象地概括为 测不准关系。,那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？,但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。,按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。,20,测不准关系的严格证明在第四章给出。这里从简单的例子出发引出测不准关系。,一维
7、自由粒子具有确定的动量 p0 自由粒子动量的不确定度p=0,则,例1,而位置完全不确定，可取任何值，,相应的波函数是平面波,即在任何位置上动量都有确定值,21,则,例2,一维粒子位于x0处，即 x=0。,相应波函数,其Fourier展开为,表明在位置x0处动量取各值的几率相等,故,将波函数代入即得,如何得来？,22,即粒子主要局限于 , 即,有,例3,见右图：,23,的Fourier变换为,24,这就是测不准关系，即粒子的坐标(位置)和动 量不能同时有确定值。它是粒子的波粒二象 性的反映。如何理解不确定性？,用de Broglie关系 ,容易得到,严格证明见(4.3.1),25,测不准关系常用
8、来估计体系的主要特征，而不必知道体系精确的波函数或严格求解薛定谔方程。,说某一点的动量如同说在某一点的波长一样 是无意义的。然而由于 h 是个很小的量，所以 其实际影响与日常经验并无矛盾，但实在存在 却是本质的。对于宏观系统， 量子效应可 忽略不计。,26,估算 H 原子的轨道半径R- 玻尔半径,由不确定关系,则电子活动范围,例 估算一些物理量的量级,解：设H原子半径为 R,27,假设核静止，按非相对论，基态电子能量为,作为数量级估算，可取,则,28,最稳定，即能量最低,得,29,5、力学量的平均值和算符的引进,前面的学习告诉我们，在 态中，不是所有的力学量都具有确定值。,但它们有一定的分布几率,因而有确定的平均值,30,如波函数没有归一化，应当除以归一化因子，写成,同理,31,则,另外，若波函数没有归一化，且,32,但对于动量，其平均值,试思考：为什么？,那么如何求？,解释： 不是动量的几率分布函数，且粒子在某一点的动量是没有意义的,33,(再利用一次FT),34,注意:,且,35,此时,或,36,但是,这里要注意：由于测不准关系的存在， 是没有意义的，因为不能同时有确定值。,(?),(?),作业： P47 1(a),37,6、统计解释对波函数提出的要求,38,39,如散射理论中的入射粒子,40,思考：比较量子力学波函数与经典波的差异 ,
