1、第四章 将椭球面元素归算至高斯平面,平面子午线收敛角计算公式 方向改化计算公式 距离改化计算公式 高斯投影的邻带换计算,1、长度比的通用公式2、柯西.黎曼条件,上一讲应掌握的内容,正形条件长度比m与方位角A无关，即满足：,上一讲应掌握的内容,3、什么是高斯投影坐标正、反算？ 4、高斯投影必须满足以下三个条件(1)中央子午线投影后为直线，两侧的投影对称于中央子午线(2)中央子午线投影后长度不变(3)投影具有正形性质，即正形投影条件 5、高斯投影坐标正算推导思路 由第一个条件可知：由第三个条件可知：,上一讲应掌握的内容,5、高斯投影坐标正算推导思路（续）由恒等式两边对应系数相等，得：由第二条件可知
2、：位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。,即当 l=0 时,注意：l为大地经度与中央子午线差,用纬度计算弧长X,上一讲应掌握的内容,6、高斯投影坐标反算推导思路 由第一个条件可知：由第三个条件可知：由恒等式两边对应系数相等，得： 由第二条件可知：当y=0时，x=X（ 等于投影前从赤道量至该点的子午弧长）；此时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度，用Bf（n0）,n0=?,上一讲应掌握的内容,高斯投影坐标反算公式 由（x，y） 计算（B，L）,注意： Bf为x值对应的底点纬度， tf f Mf Nf 均为底点纬度的函数。 l 为大地经度与中央子午线经度
3、之差:l=L-L0,上一讲应掌握的内容,7、高斯投影坐标正、反算公式几何解释,椭球面元素化算到高斯投影面的内容,第四章 .将椭球面元素归算至高斯平面,3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的。,椭球面三角系归算到高斯投影面的计算,1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角及方向改化实现的。,因此将椭球面三角系归算到
4、平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。,当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。,4) 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化s实现的。,椭球面三角系归算到高斯投影面的计算,4.9.5-7 将椭球面上的元素化算至高斯平面,1、平面子午线收敛角的定义 过某点的子午线切线与坐标纵轴正向之间的夹角计算平面子午线收敛角的意义：,一、平面子午线收敛角计算公式,2、公式推导 1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角的公式,一、平面子午线收敛角计算公式,由高斯投影正算公式，可以得到：,条件：B
5、=常数，dB=0,经整理得平面子午线收敛角计算公式,(1)为l 的奇函数，而且l 愈大，也愈大； (2)有正负，当描写点在中央子午线以东时，为正；在西时，为负； (3)当l 不变时，则随纬度增加而增大,将高斯投影反算公式中的 l 代入上式，且用Bf代替B即可。经整理得：,2、公式推导,2）平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角的公式,二、方向改化计算公式,（一）定义：大地线描写形曲线与其弦线之间的夹角， 叫方向改化。 “曲改直” 椭球面网归算到平面上，所有的方向都必须加方向改化,（二）方向改化公式推导,1、方向改化近似公式的推导在球面上四边形ABED的内角之和等于360+ 由于是等角投影，所
6、以这两个四边形内角之和应该相等，即,方向改化公式推导,2、顾及方向，方向改化公式为: 计算误差小于0.1,3、方向改化较精密公式,平均边长为13km，ym250km时，计算精度为0.01,用于二等测量,若ym250km时，用此公式，计算精度达到0.001,用于一等测量,（三）方向改化的计算,首先为计算方向改正的数值，必须预先知道点的平面坐标。然而要精确知道点的平面坐标，却又要先算出方向改正值，所以这是一个矛盾。解决这个矛盾的办法，就要采用逐次趋近计算。对微分得：令0.1，并设 ym350km，x2-x1=10km，则得L0.1km。概略坐标计算至0.1km，即可满足三等方向改化计算精度的要求。
7、故三等不必进行趋近计算。同理，对于二等及一等来说，平面坐标计算至10m和1m，即可满足方向改化的计算。,（四）方向改化的计算检核,定义改正数总是加,三、 距离改化计算公式,（一）定义：把椭球面上大地线长S变为大地线描写形曲线的弦长所加的改正。 （二）推导思路：1、求出大地线描写形s与弦线D的差别2、利用投影长度比m公式，导出S与D的关系式。,1) s与D的关系,当取最大40，s=50km时，代入上式得1mm。因此，用D代替s在最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D。,用平面坐
8、标 (x , y)表示的长度比m的公式,更精确的公式：,(1)长度比m只与点的位置 (B，l)或 (x ,y) 有关。 (2)中央子午线投影后长度不变。 (3)当y0(或l)时， m恒大于1。 (4)长度变形(m-1)与y2（或l2）成比例地增大 ,而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形 。,2）长度比和长度变形,3）距离改化公式,由：,用于边长几km,上式计算精度达0.001m,与方向改化一样，计算距离改化也要进行采用逐次趋近计算,距离改化计算没有检核公式，为了保证计算无误，要求两人对算。,(1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带)的控制网。 (2)在分界子午线附近地区测图
9、时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 (3)当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带(或1.5带、任意带)之间的相互坐标换算问题。,四、高斯投影坐标的邻带换算,规定： 东延30，西延15。,四、高斯投影坐标的邻带换算（续）,高斯投影的换带计算一般采用高斯投影反正算法。 即把点的旧带平面坐标x旧，y旧经高斯投影反算得椭球面坐标B，L，再将B，L经高斯投影正算得该点在新带的坐标x新，y新。具体做法为： x旧，y旧经投影反算得B，l旧 L=L0旧+l旧 l新=L-L0新 B， l
10、新经投影正算得x新，y新 这里L0旧，L0新分别表示旧带和新带中央子午线经度。 这种换带方法也适用于任意中央子午线的换带。,邻带换算的算例,我国某点的54坐标高斯平面坐标为：x =3813779.63m，y=20349981.60m，试换算为中央子午线为115的地方坐标系坐标。 解：由给定的y坐标知，该点在第20带， y坐标自然值为-150018.40m。 用 x旧=3813779.63，y旧=-150018.40经投影反算得B=342625.1132，l旧=-13755.9409 L0旧=206-3=117L=L0旧+l旧=117 -13755.9409=1152204.0591 l新=L-
11、L0新=1152204.0591-115=02204.0591 用B=342625.1132 ， l新=02204.0591经投影正算得：x新=3812632.326m，y新=33802.920+500000=533802.920m 思考：如何求该点在3带投影坐标系中39带和38带的坐标？,结束,再见!,适用于电算的高斯坐标计算的实用公式,将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式，经过一些简单变化，可得高斯投影正、反算公式。 高斯投影正算（使用）公式:,高斯投影反算（使用）公式:,实用公式的系数,适用于电算的实用公式,将75国际椭球参数代入平面子午线收敛角计算公式，经过一些简单变化，可得:,E，F，G 的含义,将上述两式代入ds2式，整理，并令,
